1年高考数学总复习-5-1-平面向量的概念与线性运算但因为测试-新人教B版.doc
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2013年高考数学总复习5-1平面向量的概念与线性运算但因为测试新人教B版
1.（文）（2011·宁波十校联考）设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则（ ）
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
[答案] B
[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.
（理）（2011·广西六校联考、北京石景山检测）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，那么（ ）
A.＝ B.＝2
C.＝3 D．2＝
[答案] A
[解析] ∵＋＝2，
∴2＋2＝0，∴＝.
2．（文）（2011·皖南八校联考）对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b的”（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b；若a∥b，则存在实数λ，使a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故选A.
（理）（2011·广东江门市模拟）若四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是（ ）
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
[答案] B
[解析] 由＋＝0知，＝，
即AB＝CD，AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形．
又（－）·＝0，∴·＝0，即AC⊥BD，
因此四边形ABCD是菱形，故选B.
3．（文）如图所示，在△ABC中，＝，＝3，若＝a，＝b，则等于（ ）
A.a＋b B．－a＋b
C.a＋b D．－a＋b
[答案] B
[解析] ∵＝3，∴＝，
∵＝，∴＝，
∴＝－＝－＝－（＋）
＝－＝－
＝－＝b－a.
（理）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则＝（ ）
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
[答案] D
[解析] 由条件易知，＝，
∴＝＋＝a＋＝a＋（b－a）＝a＋b.故选D.
4．（2011·福建福州质量检查）如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a、b如图，则向量a－b可表示为（ ）
A．3e2－e1 B．－2e1－4e2
C．e1－3e2 D．3e1－e2
[答案] C
[解析] 连接图中向量a与b的终点，并指向a的终点的向量即为a－b，∴a－b＝e1－3e2.
5．（文）（2011·厦门模拟）已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，＝x＋＋，则x的值为（ ）
A．0 B.
C. D.
[答案] D
[解析] ∵x＋＋＝1，∴x＝.
（理）（2011·惠州模拟）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝λ＋μ，则的值为（ ）
A．1 B.
C．2 D.
[答案] C
[解析] ＝＋＝＋
＝＋（－）＝＋
∴λ＝，μ＝，∴＝2.
6．设＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP||PB|＝2，如图所示，则＝（ ）
A.e1－e2 B.e1＋e2
C.e1＋e2 D.e1－e2
[答案] C
[解析] ＝2，∴＝＋＝3，
＝＋＝－
＝－（－）＝e1＋e2.
7.（2011·山东济南市调研）如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
[答案]
[解析] （如图）因为＝＋
＝＋k＝＋k（－）
＝＋k（－）
＝（1－k）＋，
所以1－k＝m，且＝，
解得k＝，m＝.
8．（文）（2011·合肥模拟）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足＝＋，则＝________.
[答案]
[解析] ∵＝＋，＋＝1，
∴A、B、C三点共线，
∵＝－＝－＝，
∴＝.
（理）（2011·聊城模拟）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中，λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
[答案]
[解析]
如图，∵ABCD是▱，且E、F分别为CD、BC中点．
∴＝＋
＝（－）＋（－）
＝（＋）－（＋）＝（＋）－，
∴＝（＋），
∴λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.
9．（2011·泰安模拟）设a、b是两个不共线向量，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值是________．
[答案] －1
[解析] ∵＝＋＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使＝λ.
即，∴p＝－1.
10．（文）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c、d表示、.
[解析] 解法一：
＝－＝c－①
＝－＝d－ ②
由①②得＝（2d－c），
＝（2c－d）．
解法二：
设＝a，＝b，因为M、N分别为CD、BC的中点，所以＝b，＝a，于是有：
，解得，
即＝（2d－c），＝（2c－d）．
（理）如图，在△ABC中，AMAB＝13，ANAC＝14，BN与CM交于P点，且＝a，＝b，用a，b表示.
[分析] 由已知条件可求、，∵BN与CM相交于点P，∴B、P、N共线，C、P、M共线，因此，可以设＝λ，＝μ，利用同一向量的两种a，b的线性表示及a、b不共线求解；也可以设＝λ，用a、b，λ来表示与，利用与共线及a、b不共线求解．解题方法很多，但无论什么方法，都要抓住“共线”来作文章．
[解析] 由题意知：
＝＝a，＝＝b.
＝－＝b－a，＝－＝a－b
设＝λ，＝μ，则＝b－λa，＝a－μb.
∴＝－＝b－（b－λa）＝λa＋b，
＝－＝a－（a－μb）＝a＋μb，
∴λa＋b＝a＋μb，而a，b不共线．∴λ＝且＝μ.∴λ＝.因此＝a＋b.
[点评] ∵P是CD与BE的交点，故可设＝λ，利用B、P、E共线，∴与共线，求出λ，从而＝＋获解.
11.（2011·山东青岛质检）在数列{an}中，an＋1＝an＋a（n∈N*，a为常数），若平面上的三个不共线的非零向量，，满足＝a1＋a2010，三点A、B、C共线且该直线不过O点，则S2010等于（ ）
A．1005 B．1006
C．2010 D．2012
[答案] A
[解析] 由题意知，a1＋a2010＝1，
又数列{an}为等差数列，
所以S2010＝×2010＝1005，故选A.
12．（文）（2011·安徽安庆模拟）已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3＋5＋2＝0，设△ABC的面积为S，则△PAC的面积为（ ）
A.S B.S
C.S D.S
[答案] C
[分析]
由系数3＋2＝5，可将条件式变形为3（＋）＋2（＋）＝0，故可先构造出＋与＋，假设P为P′点，取AB、BC中点M、N，则＝（＋），＝（＋），条件式即转化为与的关系．
[解析] 设AB，BC的中点分别为M，N，
则＝（＋），
＝（＋），
∵3＋5＋2＝0，
∴3（＋）＝－2（＋），
∴3＝－2，即点P在中位线MN上，
∴△PAC的面积为△ABC面积的一半，故选C.
（理）（2011·东北三校联考）在△ABC中，点P是AB上的一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为（ ）
A. B.
C. D.
[答案] C
[解析] ∵＝＋，
∴3＝2＋，即2－2＝－，
∴2＝，
因此P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋（1－x）
＝＋（x－1）（0∵＝－，∴＝＋（－1）.
∵＝－＝－＋，
且＝t（0∴＋（－1）＝t（－＋），
∴＝且－1＝－t，解得t＝，故选C.
13．已知点A（2,3），C（0,1），且＝－2，则点B的坐标为________．
[答案] （－2，－1）
[解析] 设点B的坐标为（x，y），则有＝（x－2，y－3），＝（－x,1－y），因为＝－2，
所以解得x＝－2，y＝－1.
14．（文）（2010·浙江宁波十校）在平行四边形ABCD中，＝e1，＝e2，＝，＝，则＝________（用e1，e2表示）
[答案] －e1＋e2
[解析] ∵＝＝e2，∴＝－e2，
∵＝，＋＝＝－＝e2－e1，
∴＝（e2－e1），∴＝＋＝（e2－e1）－e2＝－e1＋e2.
（理）（2010·聊城市模拟）已知D为三角形ABC的边BC的中点，点P满足＋＋＝0，＝λ，则实数λ的值为________．
[答案] －2
[解析] 如图，∵D是BC中点，将△ABC补成平行四边形ABQC，则Q在AD的延长线上，且|AQ|＝2|AD|＝2|DP|，∵＋＋＝＋＝0，∴＝，
又＝，∴P与Q重合，
又∵＝λ＝－2，∴λ＝－2.
15．（文）已知四点A（x,0）、B（2x,1）、C（2，x）、D（6,2x）．
（1）求实数x，使两向量、共线．
（2）当两向量与共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析]
（1）＝（x,1），＝（4，x）．
∵∥，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
（2）当x＝±2时，∥.
当x＝－2时，＝（6，－3），＝（－2,1），
∴∥.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
（理）（2011·济南模拟）已知△ABC中，＝a，＝b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足＝＋λa＋λb，则动点P的轨迹是什么？
其轨迹是否过定点，并说明理由．
[解析] 依题意，由＝＋λa＋λb，
得－＝λ（a＋b），
即＝λ（＋）．
如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，
则＝λ，
∴A、P、D三点共线，
即P点的轨迹是AD所在的直线，由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点（或△ABC的重心）．
1．（2010·新乡市模考）设平面内有四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为（ ）
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一：
设AC的中点为G，则＋＝b＋d＝a＋c＝＋＝2，∴G为BD的中点，∴四边形ABCD的两对角线互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．
解法二：
＝－＝b－a，
＝－＝d－c＝－（b－a）＝－，
∴AB綊CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
2．（2011·银川模拟）已知a、b是两个不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb（λ，μ∈R），那么A、B、C三点共线的充要条件是（ ）
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1 D．λμ＝1
[答案] D
[解析] ∵A、B、C三点共线，∴与共线，
∴存在t∈R，使＝t，
∴λa＋b＝t（a＋μb）＝ta＋tμb，
∵a，b不共线，∴，即λμ＝1.
3．设两个非零向量a与b不共线，
（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．求证：
A、B、D三点共线；
（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
[解析]
（1）证明：
∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），
∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）
＝5（a＋b）＝5.
∴、共线，
又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．
（2）解：
∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），
∴（k－λ）a＝（λk－1）b.
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.
4．已知点O（0,0）、A（1,2）、B（4,5），向量＝＋t.
（1）t为何值时，点P在x轴上？
（2）t为何值时，点P在第二象限？
（3）四边形ABPO能否为平行四边形？
若能，求出t的值；若不能，说明理由．
（4）求点P的轨迹方程．
[解析] ∵＝＋t＝（1,2）＋t（3,3）
＝（1＋3t,2＋3t），
∴P（1＋3t,2＋3t）．
（1）∵P在x轴上，∴2＋3t＝0即t＝－.
（2）由题意得.∴－（3）∵＝（3,3），＝（1＋3t,2＋3t）．
若四边形ABPO为平行四边形，则＝，
∴，而上述方程组无解，
∴四边形ABPO不可能为平行四边形．
（4）∵＝（1＋3t,2＋3t），
设＝（x，y），则，
∴x－y＋1＝0为所求点P的轨迹方程．
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