有时也将x£y记为y³x，称为y大于等于x，将xx，称为y大于x。
2.2.7定义上界和下界是偏序结构，XÍA,aÎA。
（1）a是X的上界定义为：
（"xÎX）（x£a）
（2）a是X的下界定义为：
（"xÎX）（a£x）
如果a是X的上界（下界）且b³a（b£a），则b也是X的上界
（下界），所以X的上界和下界可以有多个。
如对于N的子集Nn来说，n,n+1,……都是它的上界。
另一方面，X不一定有上界和下界，如实数R的整数子集Z就没有上界和下界。
2.2.8定义上确界和下确界是偏序结构，XÍA,aÎA。
（1）a是X的上确界定义为：
1.1a是X的上界
1.2（"xÎA）（x是X的上界®a£x）
（2）a是X的下确界界定义为：
2.1a是X的下界
2.2（"xÎA）（x是X的下界®x£a）
X的上确界（下确界）不一定存在。
X的上界（下界）不存在时，当然X的上确界（下确界）不存在，就是X的上界（下界）存在时，X的上确界（下确界）也可能不存在。
如在例2.2.4的中，子集{0,1}有上界2和3，但没有上确界，子集{2,3}有下界0和1，但没有下确界。
在偏序结构中，设{Ai|iÎI}ÍG，如果iIAiÎG，则iIAi是{Ai|iÎI}的下确界，如果iIAiÎG，则iIAi是{Ai|iÎI}的上确界。
2.2.9定理上确界（下确界）是唯一的。
证设a和b都是X的上确界。
因为b是X的上界，所以由a的上确界条件1.1得a³b，同理可得b³a，因此a=b。
■
2.2.10定义最大元和最小元是偏序结构，XÍA,aÎA。
（1）a是X的最大元定义为：
（aÎX）Ù（"xÎX）（x£a）
（2）a是X的最小元定义为：
（aÎX）Ù（"xÎX）（a£x）
与上界和下界的条件相比，可以看出最大元一定是上界，最小元一定是下界。
如果a是X的最大元，则aÎX，所以任给X的上界x，都有x³a，因此a还是X的上确界。
但X的上确界不一定是X的最大元。
如在例2.2.4中的中，3是子集{0,1,2}的上确界，但不是子集{0,1,2}的最大元。
类似地，X的最小元是X的下确界，但X的下确界不一定是X的最小元。
2.2.11定义极大元和极小元是偏序结构，XÍA,aÎA。
（1）a是X的极大元定义为：
（aÎX）Ù（"xÎX）（a£x®x=a）
（2）a是X的极小元定义为：
（aÎX）Ù（"xÎX）（x£a®x=a）
将A上偏序关系看做一种广义的大小关系，并参照熟悉的数的小于等于关系，则上界，下界，上确界，下确界，最大元，最小元是容易理解的，不容易理解的是极大元和极小元。
极大元和最大元不同，X的最大元是说它比X中其它元素都大，而X的极大元只是说X中没有比它大的元素。
所以最大元一定是极大元，但X可以没有最大元而有极大元，并且极大元可以不至一个。
如在例2.2.4中，对于偏序关系R来说，A本身就有极大元2和3，但A没有最大元。
极小元和最小元的关系是类似的。
2.2.11例是偏序结构，ÆÍA。
因为Æ没有任何元素，所以A中所有元素都是Æ的上界，因此A的最小元就是Æ的上确界。
类似地，A中所有元素都是Æ的下界，因此A的最大元就是Æ的下确界。
2.2.12例考虑整除结构（见例2.2.5）。
任给x,yÎN，{x,y}的上确界就是x,y的最小公倍数，{x,y}的下确界就是x,y的最大公因数，它们一定存在。
1是N的最小元，0是N的最大元。
任给XÍN，如果1ÏX，则X中的任何素数都是极小元。
是偏序结构。
如果x£yÚy£x，则称x,y可比较，反之，如果Ø（x£y）ÙØ（y£x），则称x,y不可比较。
如在例2.2.4中，对于偏序偏序结构来说，1和2不可比较，又如在整除结构中，任何两个素数都不可比较。
如果偏序关系£使得A中任何两个两个元素都可比较，则称£有可比较性。
和自返性、对称性、反对称性、传递性类似，A上偏序£有可比较性可表示为A2ÍRÈR1。
2.2.13定义全序关系和全序结构£是A上偏序关系。
（1）如果£有可比较性，即"x,yÎA（x£yÚy£x），则称R是A上全序关系，简称R是A上全序。
（2）偏序结构称为全序结构。
A上全序也称为A上线形序。
A上全序的等价条件是：
"x,yÎA（xy）
最常见的全序结构是、、、。
G是集合族，由单调集合族的定义可知：
G上的包含关系是全序关系当且仅当G是单调的。
如果将A的元素依全序关系排成次序，则它的直观形象将是一条直线。
因此，A上全序也称为A上线形序。
反之依偏序关系将A的元素排成次序，如果它的直观形象将是一条直线，则这个偏序关系就是全序关系。
2.3子结构同态和同构
2.3.1定义子结构是关系结构，BÍA。
也是关系结构，称为的子结构。
2.3.2定理
（1）偏序结构的子结构还是偏序结构。
（2）全序结构的子结构还是全序结构。
是偏序结构，BÍA。
如果是全序结构，则称B是A的线形链。
设XÍBÍA。
因为XÍA，所以对于来说，X有最大元、最小元、极大元和极小元的概念。
又因为XÍB，所以对于的子结构（£B是£A在A上的限制）来说，X也有最大元、最小元、极大元和极小元的概念。
由XÍB可知（"x,yÎX）（x£Ay«x£By），而以上四个概念的定义中只涉及到X中的元素，因此它们实际上是一样的。
然而，上界、下界、上确界和下确界就依赖于A和B了，因为这些概念的定义中，分别涉及到A和B的元素。
如对于集合X={x|xÎQ且x2<2}来说，在中它没有上确界和下确界，但在中它就有上确界
和下确界
。
在例2.2.4中，取B={0,1,2}，对于偏序结构来说，B有上界3，但对于它的子结构来说，B就没有上界。
2.3.3定义保持关系RA是A上n元关系，RB是B上n元关系。
f是A到B的映射，f称为保持RA到RB的关系，如果：
（"x1,…,xnÎA）（ÎRA«ÎRB）。
2.3.4定义同态、是两个关系结构，RAi就RBi的元数相同（1£i£n）。
f是A到B的映射。
如果任给1£i£n，f都保持RAi到RBi的关系，则称f是
到的同态映射。
如果、是偏序结构，则f是到的同态映射的条件是：
（"x,yÎA）（x£Ay«f（x）£Bf（y））。
如果同态映射f是满射，则称f是满同态。
取C=ran（f），取的子结构，则f是到的满同态。
如果同态映射f是单射，则称f是单同态。
2.3.5定理、都是偏序结构，f是到的同态，则f是单同态。
■
2.3.6定理、都是关系结构，f是到的同态，如果偏序结构，则也是偏序结构。
■
2.3.7定义同构
（1）f是到的同态映射，如果f是双射，则称f是到的同构映射。
（2）如果存在到的同构映射f，则称和同构，记为
≌。
为了将f也表示出来，可以记为
f：
≌。
2.3.8定理同构是等价关系。
（1）到。
（2）如果≌，则
≌。
（3）如果≌且
≌，则
≌。
■
如果f是单同态。
取C=ran（f），取的子结构，则f：
≌。
因此，单同态也称为嵌入。
2.3.9例B={1,2,3,5,6,10,15,30}，取是整除结构的子结构。
A={2,3,5}，取偏序结构。
定义P（A）到B的映射
f：
P（A）®B=
1
如果X=Æ
X中的数的乘积
如果X¹Æ，
如f（{2,5}）=10，f（{2,3,5}）=30等。
f是到的同构映射，所以≌。
2.3.10例是偏序集，恒等映射iA是A到自身的同构映射。
但除恒等映射外，A到自身还可能有其它的同构映射。
如：
f：
Z®Zf（x）=x+1
也是到自身的同构映射。
、是偏序关系，f是到的同构映射的另一个条件是：
（"x,yÎA）（x2.3.11例f是到的同构映射，则f一定是iN。
2.3.12定理、都是全序结构，如果f是双射且（"x,yÎA）（x£Ay®f（x）£Bf（y）），则f是到的同构映射。
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