八年级数学北师大版下学期第6章《平行四边形》导学案.docx

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八年级数学北师大版下学期第6章《平行四边形》导学案

6.1平行四边形及其性质

（1）

【学习目标】

1、理解平行四边形的概念；2、经历探索平行四边形的概念和性质的过程，积累数学活动经验，发展学生的探究意识；3、证明并掌握平行四边形的性质定理，培养并发展学生的演绎推理能力. 

【知识准备】

1、我们运用三角形的全等可以解决好多数学问题，如：

证相等，证相等。

2、举出你在生活中见到平行四边形物体.例如

【自学提示】

一、自学书本第4页内容，对平行四边形的定义进行研究

1、平行四边形的定义

________________________________________________叫做平行四边形.

2、定义的双重性:

 具备__________________的四边形，才是平行四边形，

反过来，平行四边形就一定具有性质。

3、几何语言表述:

  ①∵AB∥CD ，   ∴四边形ABCD是平行四边形

②∵四边形ABCD是平行四边形∴

4、平行四边形的表示：

平行四边形ABCD记作_________,读作___________.

二、平行四边形的性质研究

1.平行四边形的性质

由定义可知平行四边形的对边平行

2、质疑：

平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？

（提示：

仿照三角形的学习方法从边和角去探索）

第一步：

猜想边和角之间的数量关系（对边，对角）

第二步：

学习课本课本4页（3）和（4）完成下列推理过程：

证明：

连结AC

∵四边形ABCD是平行四边形

∴（平行四边形定义）

∴（两直线平行，内错角相等）

∵AC=AC

∴△ABC≌△CDA（ASA）

∴∠B=∠D

∵∠1=∠2，∠2=∠4

∴∠1+∠4=∠2+∠3（等式性质）

即

∴AD=CB，AB=CD，∠DAB=∠BCD，∠B=∠D

点拨：

解决四边形问题的常用方法：

转化为三角形的问题

3、总结

平行四边形的性质定理1

平行四边形的性质定理2

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

例1求证：

（1）夹在两条平行线之间的平行线段相等.

（2）如果两条直线平行，那么一条直线上各点到另一条直线的距离相等吗？

对应练习

1.填空：

平行四边形＿＿＿平行，＿＿＿相等，＿＿＿相等；

2.如图，四边形ABCD是平行四边形，求：

（1）∠ADC，∠BCD的度数；

（2）边AB的长度

【当堂测试】

1、小明用一根36米长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长8米，其他三条边各长多少？

2、在□ABCD中，若∠A：

∠B=2：

3，求∠C、∠D的度数

3（选做题）、如图，在□ABCD中，点E,F分别是BC，AD上的点，AE∥CF,求证：

BE=FD,∠BAE=∠DCF.

6.1平行四边形及其性质

（2）

【学习目标】

1、经历探索平行四边形对角线互相平分性质的过程，积累数学活动经验，发展学生的探究意识；2、证明并掌握平行四边形的性质定理，培养并发展学生的演绎推理能力. 

【知识准备】

________________________________________________叫做平行四边形.

平行四边形的性质定理1

平行四边形的性质定理2

【自学提示】

一、自学书本第6页实验与探究，对平行四边形的性质进行研究

已知：

如图：

□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.求证：

OA=OC，OB=OD.

证明：

二、总结

平行四边形的性质定理3

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

例2已知：

如图，

ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．

求证：

OE＝OF．

对应练习

1、在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12cm，BD=18cm，AD=13cm，则△BOC的周长为.

2、在

ABCD中，周长等于48，

（1）已知一边长12求各边的长

（2）已知AB=2BC求各边的长

（3）已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长

【 当堂测试】

1.在□ABCD中，AC、BD交于点O，已知AB=8cm，BC=6cm，△AOB的周长是18cm，那么△AOD的周长是_____________.

2.□ABCD的对角线交于点O，S△AOB=2cm2，则S□ABCD=__________.

3.□ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△BOC的周长比△AOB的周长小8cm，则AB=______cm，BC=_______cm.

4.□ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若AC=8，AB=6，BD=m，那么m的取值范围是____________.

5（选做题）.□ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形.求证：

AE=CF.

6.2平行四边形的判定

（1）

【学习目标】

1、1、理解并掌握用边来判定平行四边形的方法．

2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

【知识准备】

1、平行四边形定义是____________________________________.

2、平行四边形性质是

（1）_____________________________________________.

（2）_______________________________________________________________.

【自学提示】

一、自学书本第10---12页内容，完成下列题目

平行四边形的判定定理是：

（1）________________________________________________________________.

（2）________________________________________________________________.

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

1、平行四边形的判定定理1：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

已知：

求证：

证明：

2、平行四边形的判定定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

已知：

求证：

证明：

例1详见课件

对应练习

一、判断正误

1.一组对边相等的四边形是平行四边形（）

2.一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形（）

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（）

二、证明

1.□四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，四边形ABEF和ECDF是平行四边形吗？

说说你的理由。

2.□四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD的中点，

求证：

四边形BEDF是平行四边形。

6.2平行四边形的判定

（2）

1、理解并掌握用对角线和对角来判定平行四边形的方法．

2、会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．

3、培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．

【知识准备】

1、平行四边形定义是____________________________________.

2、平行四边形性质是

（1）_______________________________________________________________.

（2）_______________________________________________________________.

（3）_______________________________________________________________.

3、平行四边形的判定定理1：

_______________________________________________________________.

平行四边形的判定定理2：

_______________________________________________________________.

4、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是____________________________________.

【自学提示】

一、自学书本第13---14页内容，完成下列题目

平行四边形的判定定理3是：

________________________________________________________________.

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

1、平行四边形的判定定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形。

已知：

求证：

证明：

例1详见课件

对应练习

1、在四边形ABCD中，如果AB=ＣＤ，∠Ｂ＝∠Ｄ，求证：

四边形ＡＢＣＤ是平行四边形。

２、证明两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

３、如图，

ABCD中，对角线AC、BD交于点O点，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＡＯ，ＢＯ，

ＣＯ，ＤＯ的中点。

求证四边形ＥＦＧＨ是平行四边形。

课后小结：

我们学习了平行四边形的定义，性质、判定。

平行四边形的性质和判定尤为重要，同学们要掌握好。

平行四边形的五个判定方法，这些判定的方法是：

从边看：

①的四边形是平行四边形；

②的四边形是平行四边形；

③的四边形是平行四边形．

从对角线看：

的四边形是平行四边形．

从角看：

的四边形是平行四边形．

【当堂测试】

1、在四边形ABCD中，AC交BD于点O，若AO=1/2AC,BO=1/2BD,则四边形ABCD是平行四边形。

（）

2、在四边形ABCD中，AC交BD于点O，若OC=且,则四边形ABCD是平行四边形。

3、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．

A、对角线互相垂直B、对角线相等C对角线互相垂直且相等D对角线互相平分

4、已知如图，O为平行四边形ABCD的对角线AC的中点，EF经过点O，且与AB交于E，与CD交于F。

求证：

四边形AECF是平行四边形。

5、已知：

如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是OA、OC的中点，求证：

BM∥DN，且BM=DN。

6.3特殊的平行四边形

（1）

【学习目标】

1.理解矩形的概念，以及它与平行四边形之间的关系.

2.探索并证明矩形的性质定理.

3.探索并证明性质定理：

直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半.

【知识准备】

根据平行四边形的性质和判定定理，完成下表

性质

判定

边

角

对角线

【自学提示】

1.自学书本17－19页，填空：

_________________________的平行四边形叫做______.

注：

矩形即我们所熟悉的________，是生活中常见的一种特殊的平行四边形.

2.前面我们知道了平行四边形的性质，那矩形会有哪些性质呢？

⑴矩形是特殊的平行四边形，它具备平行四边形的所有性质.

⑵矩形与平行四边形比较又有其特殊的性质:

矩形是轴对称图形，它有____条对称轴.分别是_______________________的两条直线.

特殊在“角”上的性质是____

_________________________________________.

特殊在“对角线”上的性质是：

_______________________________________.

3.直角三角形的性质定理：

__________________________________________________________.

练习：

如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AC，BC上的点，在下列三个条件：

⑴AE＝CF；⑵BE

∥DF；∠1＝∠2中，选择其中一个，求证：

BE＝DF.（可用多种方法）

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】（用多媒体出示）

预习书本19页例1，完成下列题目

例：

已知如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，DC=4cm，求BD的长．

对应练习

【当堂测试】

1.下列说法错误的是（）．

A、矩形的对角线互相平分　　　　　　　B、矩形的对角线相等

C、有一个角是直角的四边形是矩形　　D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）.

A、对角线相等B、对边相等C、对角相等D、对角线互相平分

3.在△ABC中，∠B＝∠C，AD⊥BC，E、F分别是AB、AC的中点，

求证：

DE＝DF

4.（选做题）已知：

如图3，矩形ABCD中，

于E，且

。

求：

的度数。

6.3特殊的平行四边形

（2）

【学习目标】

1.探索并证明矩形的判定定理.

2.会用矩形的判定定理解决问题.

【知识准备】

1.____________________的平行四边形是矩形.

2.矩形的性质

性质

边

角

对角线

3.直角三角形斜边上的中线_____________________.

【自学提示】

1.自学书本21-22页，填空：

矩形的判定定理1　_________________________________________.

矩形的判定定理2　_________________________________________.

2.思考：

⑴如何说明矩形的两个判定定理的正确性？

⑵对角线相等的四边形是矩形吗？

举例说明

3.总结矩形的判定方法有哪些？

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

例1：

如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，

求证：

四边形ABCD是矩形。

【当堂测试】

1、在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为

矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案

，其中正确的是（）．

A．测量对角线是否相互平分

B．测量

两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角D．测量其中三个角形是否都为直角

2、能判断四边形是矩形的条件是（）

A、两条对角线互相平分B、两条对角线相等

C、两

条对角线互相平分且相等D、两条对角线互相垂直。

3.已知

的对角线

，

相交于

，△ABO是等边三角形，

求证：

ABCD为矩形.

4.（选做题）已知：

如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：

四边形EFGH是矩形。

6.3特殊的平行四边形（3）

【学习目标】

1.理解菱形的概念，以及它与平行四边形之间的关系.

2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理.

3.会用菱形的性质定理和判定定理解决问题.

【知识准备】

1.平行四边形和矩形的性质与判定

性质

判定

平行四边形

边

角

对角线

矩形

边

角

对角线

2.直角三角形斜边上的中线_____________________________.

【自学提示】

一、自学书本23页，回答

1.__________________________的平行四边形叫做菱形.

2.菱形也是一种常见特殊平行四边形，举出几个生活中见到的菱形的实例.

二、自学书本24页，回答

1.菱形是轴对称图形吗？

它有几条对称轴？

在右图中画出它的对称轴.

2.菱形是特殊的平行四边，它除具有平行四边形的所有性质外还有特殊的性质

菱形的性质定理1__________________________________

菱形的性质定理2__________________________________

菱形的判定定理1__________________________________

菱形的判定定理2__________________________________

3.思考：

如何说明菱形的性质定理和判定定理的下确性.

4.想一想，两条对角线互相第垂直且平分的四边形是菱形吗？

为什么？

已知：

四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

求证：

四边形ABCD为菱形.

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

1.

如图在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D点，过D作DE∥AC交AB于E点,过D作DF∥AB交AC于F点.

求证：

四边形AEDF是菱形

【当堂测试】　　　　　　　　　

1.利用自制的学具探究菱形的判定方法并完成下面各题

由“在一长一短的木条中点处固定一个小钉”

可知：

=，=

∴四边形ABCD是四边形

转动十字，当∠_____=°时即___⊥___时，四边形变成了菱形.

2.四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为____，对角线BD=_______．

3．菱形的两条对角线长分别为6和8，则它的面积为________，周长为_________。

4（选做题）.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？

求证：

（1）四边形ABCD是平行四边形

（2）过A作AE⊥BC于E点,过A作AF⊥CD于F.用等积法说明BC=CD.

（3）求证：

四边形ABCD是菱形.

6.3特殊的平行四边形（4）

【学习目标】

1.理解正方形的概念以及它与平行四边形、矩形和菱形之间的关系.

2.探索并证明正方形的性质定理和判定定理.

3.会用正方形的性质定理和判定定理解决问题.

【知识准备】

性质

判定

边

角

对角线

边

角

对角线

平行四边形

矩形

菱形

【自学提示】

自学书本26页内容，回答：

1.__________________________________________________叫做正方形.

2.正方形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

并在右图中画出来.

3.正方形即是特殊的平行四边形也是特殊的矩形和菱形，总结一下正方形的性质和判定方法.

性质

判定

正

方

形

边

角

对角线

【问题积累】

在学习中还存在哪些疑问？

【共同释疑】

例2：

AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F.

求证：

EC=EF=FB

【当堂测试】　　　　　　　　　

1、如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O．

（1）一条对角线把它分成_______个全等的________三角形；

（2）两条对角线把它分成_______个全等的________三角形；

图中一共有________个等腰直角三角形；

（3）∠AOB＝_____度，∠OAB＝_____度．

2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）

A、四个角相等B、对角线互相垂直平分.C、对角互补D、对角线相等.

3、正方形具有而菱形不一定具有的性质（）

A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等.

4、正方形对角线长6，则它的面积为_________,周长为________．

5、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案,其中四边形ABCD和EFGH都是正方形．

求证：

△ABF≌△DAE．

6.4三角形的中位线定理

【学习目标】

1.掌握三角形的中位线概念及定理。

2.会利用三角形的中位线定理进行计算和证明。

【知识准备】

线段的中点：

____________________三角形的中线：

____________________

【自学提示】

1.自学课本第30页的内容，完成三角形的中位线概念。

三角形的中位线：

___________________________________________________________

自学课本第31页内容，猜想归纳并证明三角形的中位线定理。

证明：

三角形的中位线定理：

____________________________________________________________

【问题积累】

你自学过程中遇到了哪些问题？

【共同释疑】

1.学习例1

如图，点E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点。

求证：

四边形EFGH是平行四边形。

2.对应练习

课本第32页挑战自我

【当堂测试】

1.三角形有----条中位线，把原三角形分成---个全等三角形，每个三角形的面积是原三角形面

积的______________,周长是原三角形周长的________________。

2.顺次连接任意四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____________________；

顺次连接对角线互相平分的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____________________；

顺次连接对角线相等的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____________________；

顺次连接对角线互相垂直的四边形各边的中点，所得到四边形的形状是____________________。

3.求证：

三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

（选做题）