等边三角形综合题Word文档下载推荐.docx

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A.1/3　　　　B.1/2　　　C.2/3　　　D．不能确定

7．如图所示，边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上，将△ABO绕原点O逆时针旋转30°

得到三角形OA１B１，则点A１的坐标为（　　）A.（√3,1）B.√3,-1）C.（1,-√3）D.（2,-1）

8.边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（　　）A.（1/3×

1/2）5aB.（1/2×

1/3）5aC.（1/3×

1/2）6aD.（1/2×

1/3）6a

9．如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，且∠EBD=∠CBD，连接DE、CE，则下列结论：

①∠DAC=∠DBC；

②BE⊥AC；

③∠DEB=30°

；

④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

10.如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且PA=CQ，连PQ交AC边于D．下列结论：

PD=DQ；

DE=1/2AC；

AE=1/2CQ；

PQ⊥AB。

其中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个

11.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．下列结论：

①∆ACE≌∆DCB②∠AFD=60③∆CMN是等边三角形④FC平分∠AFB⑤MN∥AB．，其中结论正确的个数是（）A2个B3个C4个D5个

二．填空题

1．如图，在等边△ABC中，D为AB上一点，连接CD，在CD上取一点E，连接BE，且∠BED=60°

，若CE=5，△ACD的面积为，则线段DB的长为．

2．如图，已知等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是度．

3.如图，已知∠MON=30°

，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A5B5A6的边长为16，△A2012B2012A2013的边长为．

4.如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是．

①BE=CD；

②∠BOD=60°

③∠BDO=∠CEO．

三．解答题

1．如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点P，∠APB=60°

，点E在BC边上，且BE=BP，

（1）推理说明：

线段BE可由线段BP经过怎样的变换得到？

（注：

怎样的变换不仅要说明什么变换，而且要说明变换的过程是怎样的．）

（2）试判断∠BAE与∠EAD的大小关系，并推理说明你的道理．

2．如图，△ABC是等边三角形，D是AC边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE，那么△ADE是什么特殊的三角形？

请证明你的结论．

3.如图所示，已知等边△ABC的边长为a，P是△ABC内一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，点D、E、F分别在BC、AC、AB上，猜想：

PD+PE+PF=a，并证明你的猜想．

6．如图，直角三角形OAB中，∠AOB=90°

，∠A=60°

，∠BOD=30°

，AB与y轴的交点D的坐标为（0，4）．求点A的坐标．

4．如图，点A、B、C在同一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形．

（1）求证：

AE=CD；

（2）△DBC能否由△ABE绕点B点按顺时针方向旋转而得到？

若能，指出旋转度数；

（不用写过程，直接写结果）（3）若M，N分别是AE，CD的中点，试判断△BMN的形状，并证明你的结论．

5．如图，点P在等边△ABC内，点D在△ABC外，且∠ABP=∠ACD，BP=CD，问：

△APD是什么形状三角形，试说明理由．

7．如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得△BMN．

（1）求证：

△ABE≌△DBC．

（2）试判断△BMN的形状，并说明理由．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°

，BD+DC=AB．求证：

∠ACD=60°

．

9．如图，在△ABC中，∠C为直角，AB上的高CD及中线CE恰好把∠ACB三等分，若AB=20，求△ABC的两锐角及AD、DE、EB各为多少？

1．上午8时，甲、乙两船以20海里∕小时的速度同时从A港出发，甲沿正北方向航行，乙沿北偏西60°

方向航行，11时甲到达B处，乙到达C处，求此时两船的距离．

2．已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，

（1）如图1，若∠ACD=60°

，则∠AFB=120°

如图2，若∠ACD=90°

，则∠AFB=90°

如图3，若∠ACD=120°

，则∠AFB=60°

（2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=180°

-α（用含α的式子表示）；

（3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？

并给予证明．

4．如图，线段BE上有一点C，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边三角形ABC、DCE，连结AE、BD，分别交CD、CA于Q、P．

（1）找出图中的一组相等的线段（等边三角形的边长相等除外），并说明你的理由．

（2）取AE的中点M、BD的中点N，连结MN，问△CMN是否是等边三角形？

若是请你说明理由；

若不是，请给出你正确结论，不必证明．

8．如图，已知等边△ABC中，D是BC上一点，△DEB为等边三角形，连接CE并延长交AB的延长线于点M，连接AD并延长与BE的延长线交于点N，再连接MN．求证：

△BMN是等边三角形．

9．已知，等边三角形ABC，D是AB上一点，DE⊥BC，垂足为E，EF⊥AC，垂足为F，FD⊥AB．

（1）说明△DEF为等边三角形理由；

（2）若AD=2，试求△ABC和△DEF的面积．

10．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：

△ADE是等边三角形．

14．如图，已知△ABC与△ACD都是边长为2的等边三角形，如图有一个60°

角的三角板绕着点A旋转分别交BC、CD于点P、Q两点（不与端点重合）．

（1）试说明：

△PAQ是等边三角形；

（2）求四边形APCQ的面积；

（3）填空：

当BP=1时，S△APQ最小．

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=∠ACB．

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）若D为AB的中点，P为CD上的点，Q为PC的中点，且PE⊥AC于点E，QF⊥BC于点F，试求4PE/QF的立方根．

12．如图1，点B是线段AD上一点，△ABC和△BDE分别是等边三角形，连接AE和CD．

（1）求证：

（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断△PBQ的形状，并证明．

13．

（1）如图1，△ADE为等边三角形，AD∥EB，且EB=DC，求证：

△ABC为等边三角形．

（2）相信你一定能从

（1）中得到启示并在图2中作一个等边△ABC，使三角形的三个定点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，（l1∥l2∥l3且这三条平行线两两之间的距离不相等）．请你画出图形，并写出简要作法．（3）①如图3，当所作△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l2、l3、l1上时，如图所示，请结合图形填空：

a：

先作等边△ADE，延长DE交l3于B点，在l1上截取EC=BD，连AC、BC，则△ABC即为所求．b：

证明△ABC为等边三角形时，可先证明△AEC≌△ADB从而为证明等边三角形创造条件．

②若使等边△ABC的三个定点A、B、C分别在直线l3、l1、l2上时，请在图4中用类似的方法作出图形，并将构造的全等三角形用阴影标出．（只需画出图形，不要求写作法及证明过程）

16．已知：

如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=a，∠BAD=120°

，M为BC上的点（M不与B、C重合），若△AMN有一角等于60°

（1）当M为BC中点时，则△ABM的面积为3/8a2（结果用含a的式子表示）；

（2）求证：

△AMN为等边三角形；

（3）设△AMN的面积为S，求出S的取值范围（结果用含a的式子表示）．

15．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE=60°

，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE，且CE=BD．求证：

17．如图，在等边△ABC中，AB=9cm，点P从点C出发沿CB边向点B点以2cm/s的速度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5cm/s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．

（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？

请你表示出来．

（2）请问几秒钟后，△PBQ为等边三角形？

（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿△ABC三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？

18．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°

，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，连接OD．

（1）△COD是什么三角形？

说明理由；

（2）若AO=n2+1，AD=n2-1，OD=2n（n为大于1的整数），求α的度数；

（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

19．如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°

角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．

（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：

△ADE是等边三角形；

（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述

（1）的结论是否成立？

若成立，请给予证明；

若不成立，请说明理由．

21．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q运动到点C时，P，Q都停止运动．

（1）出发后运动2s时，试判断△BPQ的形状，并说明理由；

那么此时PQ和AC的位置关系呢？

请说明理由；

（2）设运动时间为t，△BPQ的面积为S，请用t的表达式表示S．

22．如图所示，△ABC和△ACD都是边长为4厘米等边三角形，两个动点P，Q同时从A点出发，点P以1 

厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为t秒时．解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是4秒；

（2）在P、Q两点运动过程中，当t取何值时，△APQ也是等边三角形？

并请说明理由；

（3）当0＜t＜2时，∠APQ始终是直角，请画出示意图并说明理由．

25．如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、BE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．

（1）请说出AD=BE的理由；

（2）试说出△BCH≌△ACG的理由；

（3）试猜想：

△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．

26．如图，△ABC是等边三角形，AB=AC=BC=12cm，点P从点B开始以3cm/s的速度向点A运动，点Q从点C开始以2cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，当有一点到达目标点之后另一点也随之停止运动，连结PQ，设运动的时间为t，请解答下面的问题：

（1）用含t的代数式表示：

BP=3tcm，BQ=（12-2t）cm；

（2）当t=2s时，求BQ，BP的长；

（3）当t为何值时，△BPQ是等边三角形？

（4）当t为何值时，△BPQ是直角三角形？

27．如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE=BD．求证：

28．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？

如存在，请求出此时M、N运动的时间．

29．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=10°

，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°

得△ADC，连结OD．

（1）求证：

△COD是等边三角形；

（2）探究：

当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

21．如图，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F．

（1）试说明△MAF为等边三角形；

（2）请探索AB，BC，EF，DE之间的关系（等量关系或位置关系）并说明理由．

22．如图，一个六边形的六个内角都是120°

，连续四边的长依次是2.7，3，5，2，求该六边形周长．

15．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：

△CMN是等边三角形．

14．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD，QAE和RAB，求证：

P、Q、R是等边三角形的三个顶点．

2．如图，△DAC、△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：

（1）AE=BD；

（2）CM=CN；

（3）△CMN为等边三角形；

（4）MN∥BC．

14．如图，点C是线段AB上除A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边三角形ACD和等边三角形BEC，连结AE交DC于M，连结BD交CE于N，AE与BD交于F

（1）求证：

AE=BD；

（2）连结MN，仔细观察△MNC的形状，猜想△MNC是什么三角形？

说出你的猜想，并加以证明．

19．已知：

在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD．

（1）如图①，若∠AOB=∠COD=60°

，求证：

①AC=BD 

②∠APB=60°

．

（2）如图②，若∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB的大小为（直接写出结果，不证明）

（1）如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：

△ABP≌△ACQ；

②若AB=6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．

（2）已知，△EFG中，EF=EG=13，FG=10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF'

G'

的位置，点M是边EF'

与边FG的交点，点N在边EG'

上且EN=EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．

26．已知：

等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°

．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°

．求证：

PA+PD+PC＞BD．

27．等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：

CE+CD=AB；

（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？

请加以证明．

28．如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：

（1）AG=1/2AD；

（2）DF=EF；

（3）S△DGF=S△ADG+S△ECF．