中考数学复习一数与式复习重点难点教学重点实数的有关概念与.docx
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中考数学复习一数与式复习重点难点教学重点实数的有关概念与
中考数学复习一数与式
复习重点、难点
教学重点：
实数的有关概念与实数的运算；代数式概念运算以及简单应用，代数式的恒等变形及化简求值。
教学过程:
知识点回顾：
（一）实数
1.实数的有关概念［知识要点］
（1）实数分类
”正整数整数*零
实数严数'
负整数
分数正分数
负分数
I无理数无限不循环小数
实数还可以分为：
正实数、零、负实数；有理数还可以分为：
正有理数、零、负有理数。
解题中需考虑数的取值范围时，常常用到这种分类方法。
特别要注意0是自然数。
（2）数轴
数轴的三要素：
原点、正方向和单位长度。
实数与数轴上的点是对应的，这种一一对应关系是数学中把数和形结合起来的重要基础。
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（3）绝对值
a（a>0）
绝对值的代数意义：
|a|=$0（a=0）
-a（av0）
绝对值的几何意义：
一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。
（4）相反数、倒数
相反数以及倒数都是成对出现的，零的相反数是零，零没有倒数。
“任意一对相反数的和是零”和“互为倒数的两个数的积是1”的特性常作为计算与变形的技巧。
（5）三种非负数
|a|、a2、•.a（a—0）形式的数都表示非负数。
“几个非负数的和（积）仍是非负数”
与“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简求值。
（6）平方根、算术平方根、立方根的概念
2.实数的运算
［知识要点］
（1）实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算，整数指数幕的运算。
（2）有理数的运算法则在实数范围仍然适用；实数的运算律、运算顺序。
（3）加法及乘法的运算律可用于实数运算的巧算。
（4）近似数的精确度、有效数字、科学记数法的形式为a10n（其中仁|a|：
：
：
10,n为整数）。
（5）实数大小的比较：
两个实数比较大小，正数大于零和一切负数；两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。
常用方法：
①数轴图示法。
②作差法。
③平方法等。
（二）代数式
1•代数式概念、运算以及简单应用
［知识要点］
（1）代数式的分类
'''单项式
整式\有理式丫|多项式
代数式=
分式
、无理式
（2）各类代数式的概念
单项式、多项式、整式、分式、有理式、二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念。
（3）代数式有意义的条件
分式有意义的条件是分式的分母不为零；分式的值为零的条件是分母不为零，分子为零。
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数。
由实际意义得到的代数式还要符合实际意义。
（4）代数式的运算
整式的加、减、乘、除、乘方运算，整式的添括号、去括号法则；分式的加、减、乘、除四则运算；二次根式的加、减、乘、除四则运算。
2•代数式的恒等变形
［知识要点］
（1）添括号、去括号、拆项是代数式恒等变形的常用方法。
（2）公式可正用、逆用、变用，因此公式可用于代数式恒等变形，特别是乘法公式，它是代数式恒等变形的重要工具。
（3）因式分解是多项式乘法的逆变形，常作为代数式恒等变形的工具使用。
因式分解主要有两种基本方法：
提取公因式法，运用公式法。
要注意方法的灵活选取和综合运用。
（4）待定系数法、配方法等都可应用代数式的恒等变形。
特别要注意待定系数法使用的前提条件是“恒等式”。
3•代数式的化简求值
［知识要点］
（1）含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性。
（2）整式化简求值时要注意以下两点：
①运用公式时，要从全局出发，有时要把某个部分看成一个整体；②灵活运用配方、换元、整体代换等方法。
（3）分式的化简求值一般可先对分子、分母的多项式因式分解、约分，再运用分式的性质化简计算。
（4）在给定字母的取值范围的情况下，对二次根式进行化简。
典型例题
例1.已知x、y是实数，且满足（X-4）2•y_1=0，求x+2y的值。
解：
因为（X-4）2_0,y-1_0
又（x一4）2.y-1=0
所以（x-4）0，.y-1=0
所以x=4，y=1
所以x2y421=6
说明：
这是一个条件求值问题，利用非负数的性质可求出x、y的值，从而问题可解。
例2.2005年10月中旬，我国“神舟六号”载人飞船准确进入预定轨道，飞船返回地面，期间飞船绕地球共飞行了76圈，飞行路程约为324万千米，用平常记数法表示，结果保留
三位有效数字，则“神舟”六号飞船绕地球平均每圈约飞行（）
A.4.28105千米B.4.26105千米
C.4.281C6千米D.4.26106千米
简析：
32万千米=32400千米0324P00E076,426316保留三位有
效数字用科学记数法表示为4.26105。
解：
选B。
说明：
运用近似数和有效数字表示生活中的数据问题，是新课标的主要内容之一。
本题综合运用了近似数、有效数字、科学记数法等知识。
例3.计算:
6（-152）
解:
d（-1.52）
3-1
8
=——
9
说明：
进行计算时，首先要注意观察题目中有哪几种运算，思考有无简便方法，然后确定运算顺序。
注意遇到同一级运算时，应按自左向右的顺序进行计算，并要随时检查运
例4.比较下列实数大小:
（1）
—
兰与
28
-9；
（2）
14
35与4、2
解：
（1）
解1
（作差法）：
19
9
19-92
1门
因为
0
28
14
28
28
19
9
所以
>
28
14
19
9
因此
——-
<-
因此
2814
解2（作商法）：
19
28191419“
因为281
928918
14
199
所以—
2814
199
因此__
2814
（2）解1（平方法）：
因为（3.5）2=45,（4.3）2=48
又45:
:
48,350,4、30
所以35:
:
4.3
解2（比较被开方数法）：
因为35=.325=-45，413=•.423=-48
又4845
所以.48•、45
因此4335
说明：
比较两个分数的大小，还可以化为小数或同分子的分数、同分母的分数来比较。
（3）x2y2「8xy316y4
二y2（x2-8xy16y2）=y2[x2-8xy（4y）2]
y2（x_4y）2
说明：
在解题前应先观察题目特征，灵活选取分解方法，往往一题有几种解法或一题需要综合运用几种方法。
分解因式一定要彻定。
6.
已知
x1=2.3，求x4
1
-:
的值。
x
X
解:
4
1/21、
2-
x
4-（x2）
-2
xx
=[（X丄）2
-2]2-2
=[（2.3）2-2]2-2
=102-2
11
X4变形为关于X•—的代数式，从而
xx
=98
说明：
此题是反复运用完全平方公式，把
使问题得解。
这是条件求值问题的一个基本思路。
例7.当x取何值时，下列分式有意义？
分式的值等于零？
X2-3x+2
（1）丁
x+2x-3
简析：
当分母等于零时，分式没有意义，此外分式都有意义；当分子等于零时，并且分母不等于零时，分式的值等于零。
x2_3x+2
（2）当分母x2•2x-3=0,即卩x=1且x=-3时，分式飞有意义。
x+2x—3
2
解：
根据题意，得
x-3x2二0<1
二2
x2x-3=0：
：
2
由：
：
：
1-解得x=1或x=2
由：
:
：
2
解得x=1且x一3
x3x2
所以，当x=2时，分式2的值等于零。
X2+2x-3
说明：
（1）讨论分式有无意义时，一定对原分式进行讨论，而不能先化简，再对化简
后的分式讨论。
（2）讨论分式的值何时为零必须在分式有意义的前提下进行。
（3）在解分式的有关问题时，应特别注意分母不为零这个隐含条件。
例8•实数a、b、c在数轴上对应的点分别是A、B、C,其位置如图所示。
试化简:
|c|-|cb||a-c「|ba|。
BC.A
―>_I1>
01
解：
由图可知：
a0,b:
:
0,c：
：
0,bc,|b||a|,|c|：
：
|a|
所以|c|=_c,|cb|c-b
|a_c|=a_c,|ba|=_b「a
所以|c|-|cb||a_c||ba|
=-ccba-c-b-a
=-C
说明：
这类绝对值化简问题，关键是脱去绝对值的符号，转化为一般的实数运算，而脱去绝对值的符号，又得先判定绝对值符号中各个数的正负性，本题无论是数形结合还是绝对值问题的化简都很有代表性。
L2
例9.化简：
a-6a9|^4|，其中3：
：
：
a4。
解：
、a2-6a9|a-4|
二.（a一3）2|a-4|
=|a-3||a-4|
因为3:
:
:
a:
:
:
4
所以a2-6a9|a-4|
=|a-3||a-4|
二a「34「a=1
说明：
化简二次根式，往往把被开方数化为完全平方式，根据二次根式性质.a2=|a|化
去根号，转化为绝对值问题，然后再根据绝对值定义化去绝对值符号。
（a1）
当a--2时，原式
（a1）2
21）22
说明：
对于分式条件求值问题，要特别注意求得的未知数的值应使原分式有意义。
例11.现定义两种运算“二”“：
”对任意两个整数a,b
a二b=ab-1,a：
b=ab-1
求4：
［（6二8）二（3：
5）］的值。
解：
由a二b=ab-1知6二8=68-1=13
由a：
b=ab-1知3：
5=35-1=14
.4：
［（6二8）二（3：
5）］
=41（13二14）
=^41（1314-1）
=4：
26
=426-1
=103
例12.请你将
1，
1
1
—?
一
1
1—?
1
--按一定规律排列如下
2
3
4
5
6
第1行
1
1
1
第2行
—•
2
3
第3行
1
1
1
4
5
6
1
1
1
1
第4行
―
—
7
8
9
10
第5行
1
1
1
1
1
11
12
13
14
15
1
1
1
1
1
1
第6行
—
16
17
18
19
20
21
则第20行第十个数是多少？
解：
观察①每行的数的个数与行数相同；②每个数的分母都是自然数呈递增趋势；③分母为偶数的数为负数；④每行最后一个数的分母是每行个数之和。
所以第19行最后一个数的分母为
（1+19）汉19
123,,19190
2
11
第20行第一个数就为——，第20行第十个数就为—
191200
巩固练习
1.已知a、b、m是实数4a2-4amm2|m-2b|.b-2=0，求（ab）m的值。
2.已知实数a、b、c（在数轴上的位置如图所示）
acb
-3-2-101234
化简2a-2|-|c-b卜|ab2|
3•比较23与1.6的大小。
1212
4.已知x，y=4，求一xxyy的值。
22
x2-11
5.化简求值：
x
（1），其中x=2-1o
x-1x
22
6.如果代数式4y-2y+5的值为7,则代数式2y-y+1的值是
241
7.已知：
x-2x-1=0，求x-4的值。
x
2F2
8.当19.定义新运算：
x*y=x2y，求a*b[b*（-a）]。
x—y
10.
计算：
（1、2）0（寸）'2cos30
1=②1+孑二，@1+3+5=32④；⑤:
12.观察下列等式:
9一1=8,
16-4=12，
25-9=16，
36-16=20,
这些等式反映自然数间的某种规律，设n（n_1）表示自然数，用关于n的等式表示
这个规律为。
13.如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：
则第n个图
形中需用黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）。
14.--amb^^与-32abm是同类项，则m—n=
5
15.因式分解：
（1）x2-y2-6x9
（2）a3-5a2
11
16.已知a+—=10，求（a——）2的值。
aa
参考答案
1.256
2.—3a—2b+c-4
3.2316
4.8
5.2x2=22
6.2
7.34
8.2
9.
22
-2a-3ab2b
2.2
a-b
10.
3,3
11.
④1357=42⑤13579=52
12.
（n2）2-n2=4（n1）
13.
4n8
14.
-1
15.
（1）（x-3y）（x-3-y）
2
（2）a（a-5）
16.
96
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