数学人教版八年级上册三角形内角和定理.docx

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数学人教版八年级上册三角形内角和定理

三角形的内角和定理

 一、教材分析

这是一节定理证明教学课，主要学习三角形内角和定理及其证明，以及利用定理解决简单的角度计算问题。

本节的核心内容为三角形内角和定理的证明，同时这也是本节课的教学重点。

教材中本节课的内容可以称之为核心内容，关键是它的地位举足轻重，在知识的学习中起到了承上启下的作用。

在这之前学生已经学过平行线的性质、平角定义，为这节课中三角形内角和定理的证明起了铺垫的作用，而这节课也为后面学习的多边形内角和及三角形全等的推理证明起了一定的奠基作用。

本节课定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供了一个发展提高的平台，其论证过程总体体现为化归思想。

本课的基本定位在于，通过三角形内角和定理证明的教学实践，感受几何证明的思想，体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用。

同时，引领学生体会数学中的重要思想——数形结合。

最后，进一步体会辅助线添加方法的多样性，渗透“最优化”思想。

二、教学目标

【知识技能】 

掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

【数学思考】 

1、通过分析、对比，感受三角形内角和定理证明的必要性； 

2、通过对三角形内角和定理的证明，初步体会几何定理学习的方法； 

3、能独立思考，体会化归思想、数形结合思想、最优化思想。

【问题解决】 

1、通过探究实验，寻求辅助线的做法及证明方法的多样性，培养创新思维；

 2、在与他人的合作与交流过程中，能较好地理解他人的思考方法。

【情感态度】 

经历三角形内角和定理不同方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

三、学生学情分析 

【学生已有知识结构】 

“三角形的内角和是180度”，这一结论在人教版义务教育课程标准实验教科书四年级下册第五单元第6小节三角形的知识学习中，学生通过动手操作已经得出，而本学期学生已经学习了平行线的性质与判定、平角的知识，学习了平移的知识，初步感受了几何推理的结构，本节课是在此基础上，进一步地了解这个结论成立的道理。

同时引导学生回忆与180°有关的知识，想办法将三角形的三个角拼成一个平角或同旁内角的形式，再利用所学的知识证明三角形内角定理，启发学生正确添加辅助线并证明。

【学生学习的困难】 

学生知道“三角形的内角和是180度”是正确的，至于为什么是正确的，只能从撕纸拼图或测量角度解答。

而对于任意三角形的多样性、复杂性估计不足，至于利用这个结论去解决其他问题时的可靠性则不清楚（课文为了弥补不足，特意另配了一个阅读与思考P78，来加以强化说明证明的必要性），这就是学生学习这个定理证明时必然要碰到的第一个困难；如何获取证明的思路，如何引导学生利用所学知识将三角形的三个角拼在一起，正确添加辅助线是学生在学习中的第二个困难。

第一个难点学生通过课本78页的阅读与思考及教师讲解可以突破，第二个的难点突破则需要以探究实验为载体，通过学生的动手操作，充分借助实物图形的直观性来发现问题，从而对问题产生猜想，找到解决问题的方法。

四、教学策略分析 

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教学的一切活动都以强调学生的主动性、积极性为出发点。

根据这一教学理念，结合本节课的内容特点和学生的年龄特征，我采用启发式、讨论式以及小组合作交流的教学方法，倡导学生主动参加教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，给学生以足够的时间和空间去猜想、探究，从而真正理解三角形的内角和结论。

由于这个定理的证明是课本第一次出现的几何证明，学生如何获得证明思路，如何合理添加辅助线解决问题是本节课教学中的难点。

本节课的教学重点是三角形内角和定理的证明，在探索定理证明的过程中重视在思路和方法上对学生的引导，帮助学生分析添加辅助线在三角形内角和定理证明中的实质作用。

在教学中引导学生探索证明的不同方法，提倡证法的多样性，并引导学生比较证法的异同，提高逻辑思维水平，为学生创造一次很好的思维开创机会。

五、教学过程

（一）、学生回忆，引出课题 

问题1：

复习平行线的性质

如图1

（1），已知：

直线上有一点A，过点A作射线AM、AN，

1.若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于多少度，为什么？

2.若在AM上任取一点B，过点B作BC∥DE交AN于点C如图1

（2），则：

（1）∠2等于多少度？

为什么？

（2）∠3等于多少度？

为什么？

（3）∠EAN+∠1+∠2等于多少度？

为什么？

（4）∠1+∠2+∠3等于多少度？

为什么？

【设计意图】通过复习相交线与平行线的相关知识，为本节课学生顺利学习三角形内角和定理及证明做好准备。

（二）、探究实验，寻找思路

问题2：

小学学习的三角形三个内角的和等于

，是如何证明的？

【设计意图】通过回忆小学时结论的得出，进行分析、对比，感受证明的必要性。

教师引导学生将命题进行图形语言、符号语言的转化，为定理的证明做准备。

问题3：

我们已经学习的与“

”有关的知识有哪些？

【设计意图】从这里入手为探究实验的操作指明方向，同时从“数”的方面引导学生探索定理的证明思路，逐步渗透“化归”的数学思想。

探究活动

把准备好的三角形拿出来，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为

？

有几种拼法？

拼完后与小组成员交流，比一比看哪组的拼法最多。

【设计意图】探究实验一方面可以激发学生的兴趣，另一方面为证明

从“形”的方面提供思路。

从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。

同时，学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。

师生活动：

让学生每人提前准备几个硬纸剪的三角形，并把角剪下来，拼在一起，让他们自己得出结论。

学生可以展示不同的拼法：

（1）

（2）

（三）活用化归，证明定理

问题4：

证明三角形内角和定理：

三角形的三个内角和等于180?

；

已知：

如图2，

.

求证：

∠A+∠B+∠C=

教师引导学生对拼合的图形进行分析，得出辅助线的做法及证明的思路。

【设计意图】教师指导学生从不同角度思考，展示证法的多样性。

通过定理的证明使学生感受几何证明的思想，体会辅助线添加方法的多样性以及在几何问题解决中的桥梁作用，渗透“最优化”思想。

师生活动:

学生自主探索，教师一边巡视，一边指学习有困难的学生，根据学生完成的情况，然后由学生展示自己的探索结果，教师补充。

证法一：

（课本证法，利用平角180?

）:

过点A作直线m∥BC,

∵  

∥BC

∴  ∠1=∠B,∠2=∠C（两直线平行,内错角相等）

∵ ∠1,∠3,∠2组成平角

∴ ∠1+∠3+∠2=180?

（平角定义）

∴ ∠B+∠3+∠C=180?

（等量代换）

师：

这里可以看出，证明就是由题设（已知）出发,经过一步步的推理,最后推出结论（求证）正确的过程.

证法二：

（利用平角180?

）:

如图，延长BC到点D,过点C作CE∥AB

∵ CE∥AB 

∴ ∠2=∠A,（两直线平行,内错角相等）

 ∠1=∠B.（两直线平行,同位角相等）

又根据平角定义,

∴ ∠1+∠2+∠3=180?

∴ ∠A+∠B+∠3=180?

（等量代换）

师：

刚才同学们采用搬动两个角使得三角形的三个内角化为成一个平角的方法来证明，请问还有哪一位同学的方法与刚才的方法不相同？

能否只搬动一个角？

证法三：

（利用两直线平行,同旁内角互补）

过顶点C作CD∥BA，则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）．

∵CD∥BA

∴∠1+∠ACB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

师：

大家做的非常好，前三种方法都是通过做平行线，利用平行线的性质，把角转移到三角形的一个顶点处。

只要把它们拼到一起成为平角就可以了，那么能不能转移到其它地方呢？

证法四：

（利用平角180?

）

过

内任一点p作ED∥AC,MN∥AB,FG∥B

∵DE∥AC，MN∥AB，FG∥BC

∴∠1=∠6=∠C

∠3=∠4=∠B

∠2=∠5=∠A

∵∠2+∠6+∠3=1800

∴∠A+∠B+∠C=1800

证法五：

（利用平角180?

）

在BC上任取一点D，过点D作DE∥AB交AC于E，再过点D作DF∥AC交AB于F

∵DE∥AB，DF∥AC

∴∠EDC=∠B，

∠A=∠BFD=∠FDE，

∠FDB=∠C。

∵∠BDF+∠FDE+∠EDC=1800，

∴∠A+∠B+∠C=1800。

证法六：

（利用平角180?

）

在

外任取一点p，过点P作DM∥BC,GH∥AC,EF∥AB

∵DM∥BC，GH∥AC，EF∥AB

∴∠B=∠EPM

∠A=∠FPH

∠C=∠GPD=∠MPH

∵∠EPM+∠MPH+∠FPH=1800

∴∠ABC+∠C+∠BAC=1800

教师引导学生对证明方法进行对比、分析，达到优化的目的。

（四）、反馈练习，小试牛刀

1.求下列各图形中角的度数：

∠1=                    ∠2=                     ∠3=            

【设计意图】让学生通过计算，巩固三角形内角和定理，并明确在不同三角形中已知两个角，可以求出第三个角。

2.已知：

三角形三个内角的度数之比为1:

3:

5，求这三个内角的度数。

【设计意图】从“数”的角度考察三角形内角和定理，培养学生的推理能力和有条理的表达能力。

（五）、归纳小结，布置作业

课堂小结：

今天我们学习了什么内容？

你有什么收获？

让我们分享吧！

【设计意图】通过总结回忆，使学生加深对三角形内角和定理的进一步认识。

作业：

三角形内角和定理个性化作业：

（1）办手抄报，用A4纸，每人用三种或三种以上方法证明三角形内角和定理；

（2）对作品（A4纸）进行整体规划设计，合理安排每个证明方法的位置，在右上角或右下角写上班级姓名；

（3）对作品（A4纸）进行色彩设计，颜色搭配要自然和谐，色彩要鲜艳，有美感。

【设计意图】个性化作业不仅注重学生的学习经验和兴趣，还能减少机械训练的内容，通过作业提高学生的数学素养和审美能力，有利于学生的持续发展。