高考数学一轮复习第七章立体几何75直线平面垂直的判定及其性质课时提升作业理.docx
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高考数学一轮复习第七章立体几何75直线平面垂直的判定及其性质课时提升作业理
2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.5直线平面垂直的判定及其性质课时提升作业理
一、选择题(每小题5分,共35分)
1.(xx·佛山模拟)关于直线l,m及平面α,β,下列命题中正确的
是 ( )
A.若l∥α,α∩β=m,则l∥m
B.若l∥α,m∥α,则l∥m
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.若l∥α,m⊥l,则m⊥α
【解析】选C.A中,l与m可能平行,异面,B中,l与m可能平行、相交、异面,故A,B错;D中,m与α也可能平行,斜交,故D错;C中,由l∥β知,平面β中存在直线n∥l,则由l⊥α,可得n⊥α,由面面垂直的判定定理知α⊥β,故C正确.
2.(xx·石家庄模拟)设α,β是两个不同的平面,l是一条直线,以下命题正确的是 ( )
A.若l⊥α,α⊥β,则l⊂β
B.若l∥α,α∥β,则l⊂β
C.若l⊥α,α∥β,则l⊥β
D.若l∥α,α⊥β,则l⊥β
【解析】选C.A,B,D中,也可能有l∥β,故A,B,D错误;C中,根据一条直线垂直于两个平行平面的一个,也垂直于另一个,知C正确.
3.(xx·三明模拟)在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是 ( )
【解析】选A.A选项中,因为CD⊥平面AMB,所以CD⊥AB,B选项中,AB与CD成60°角;C选项中,AB与CD成45°角;D选项中,AB与CD夹角的正切值为.
4.(xx·郑州模拟)已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,下列判断中正确的
是 ( )
A.AB⊥PC
B.AC⊥平面PBD
C.BC⊥平面PAB
D.平面PBC⊥平面PDC
【解析】选C.由题意画出几何体的图形,
如图,显然AB⊥PC不正确;
AC不垂直PO,所以AC⊥平面PBD不正确;BC⊥AB,PA⊥平面ABCD,
PA⊥BC,PA∩AB=A,
所以BC⊥平面PAB正确.
5.(xx·南昌模拟)如图,在正四面体P-ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是 ( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面PAE
D.平面PDE⊥平面ABC
【解析】选D.因BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,所以BC∥平面PDF,A成立;易证BC⊥平面PAE,BC∥DF,所以结论B,C均成立;点P在底面ABC内的射影为
△ABC的中心,不在中位线DE上,故结论D不成立.
6.(xx·秦皇岛模拟)已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则 ( )
A.α∥β且l∥α
B.α⊥β且l⊥β
C.α与β相交,且交线垂直于l
D.α与β相交,且交线平行于l
【解析】选D.因为m,n为异面直线,所以过空间内一点P,作m′∥m,n′∥n,则l⊥m′,l⊥n′,即l垂直于m′与n′确定的平面γ,又m⊥平面α,n⊥平面β,所以m′⊥平面α,n′⊥平面β,所以平面γ既垂直于平面α,又垂直于平面β,所以α与β相交,且交线垂直于平面γ,故交线平行于l.
7.(xx·广州模拟)如图,边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,下列命题中错误的
是 ( )
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.恒有平面A′GF⊥平面BCED
C.三棱锥A′-FED的体积有最大值
D.异面直线A′E与BD不可能互相垂直
【解析】选D.由题意知,DE⊥平面A′FG,又因为DE⊂平面ABC,所以平面A′FG⊥平面ABC,且它们的交线是AF,过A′作A′H⊥AF,则A′H⊥平面ABC,所以点
A′在平面ABC上的射影一定在线段AF上,且平面A′GF⊥平面BCED,故A,B均正确;三棱锥A′-EFD的体积可以表示为V=S△EFD·A′H,当平面A′DE⊥平面ABC时,A′H最大,故三棱锥A′-EFD的体积有最大值,故C正确;连接CD,EH,当CD∥EH时,BD⊥EH,又知EH是A′E在平面ABC内的射影,所以BD⊥A′E,因此,异面直线A′E与BD可能垂直,故D错误.
二、填空题(每小题5分,共15分)
8.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是 (填序号).
①平面ABC⊥平面ABD;
②平面ABC⊥平面BCD;
③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;
④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.
【解析】由AB=CB,AD=CD,点E为AC中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,
又因为DE∩BE=E,从而AC⊥平面BDE,故③正确.
答案:
③
9.(xx·厦门模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法错误的是 .(填序号)
①在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB;
②异面直线AD与PB所成的角为90°;
③二面角P-BC-A的大小为45°;
④BD⊥平面PAC.
【解析】对于①,取AD的中点M,连接PM,BM,
则因为侧面PAD为正三角形,所以PM⊥AD,
又因为底面ABCD是∠DAB=60°的菱形,
所以三角形ABD是等边三角形,
所以AD⊥BM,
因为PM∩BM=M,
所以AD⊥平面PBM,故①正确.
对于②,因为AD⊥平面PBM,
所以AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故②正确.
对于③,因为底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,平面PAD⊥平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,
PM⊥AD,所以PM⊥平面ABCD,
又BM⊥BC,BC⊥PB,
则∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,
设AB=1,则BM=,PM=,
在直角三角形PBM中,tan∠PBM==1,
即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故③正确.故错误的是④.
答案:
④
10.(xx·泉州模拟)点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:
①三棱锥A-D1PC的体积不变;
②A1P∥平面ACD1;
③DP⊥BC1;
④平面PDB1⊥平面ACD1.
其中正确的命题序号是 .
【解析】连接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1∥BC1,所以BC1∥平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥P-AD1C的体积不变.
又因为=,所以①正确.
因为平面A1C1B∥平面AD1C,A1P⊂平面A1C1B,所以A1P∥平面ACD1,②正确.
由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1即DP不垂直BC1,故③不正确;由于DB1⊥D1C,DB1⊥AD1,D1C∩AD1=D1,所以DB1⊥平面AD1C.DB1⊂平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面ACD1,④正确.
答案:
①②④
(20分钟 40分)
1.(5分)(xx·合肥模拟)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在底面ABC上的射影H必在 ( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC内部
【解析】选A.连接AC1,因为BC1⊥AC,BA⊥AC,BA∩BC1=B,
所以AC⊥平面ABC1,
所以平面ABC⊥平面ABC1,
因为平面ABC∩平面ABC1=AB,
所以C1在底面ABC上的射影H在直线AB上.
2.(5分)(xx·濮阳模拟)如图,在正四棱锥S-ABCD中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC,则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是 ( )
【解析】选A.取CD的中点F,连接EF,BD,则AC⊥EF,
又因为点S在平面ABCD内的射影在BD上,且AC⊥BD,
所以AC⊥SB,取SC的中点Q,
连接EQ,FQ,
则EQ∥SB,
所以AC⊥EQ,又因为AC⊥EF,EQ∩EF=E,
所以AC⊥平面EQF,
因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP.
3.(5分)《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在鳖臑PABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AP=AC=1,过A点分别作AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F,连接EF.当△AEF的面积最大时,tan∠BPC的值是 ( )
A.B.C.D.
【解析】选B.显然BC⊥平面PAB,则BC⊥AE,
又PB⊥AE,PB∩BC=B,则AE⊥平面PBC,
于是AE⊥EF,且AE⊥PC,结合条件AF⊥PC得PC⊥平面AEF,
所以△AEF,△PEF均为直角三角形,由已知得AF=,而S△AEF=AE·EF≤(AE2+EF2)=(AF)2=,当且仅当AE=EF时,取“=”.所以,当AE=EF=时,△AEF的面积最大,此时tan∠BPC===.
【加固训练】
(xx·成都模拟)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的是 (填序号).
①AC⊥SB;②AB∥平面SCD;③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角;④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角.
【解析】因为四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又因为SD⊥底面ABCD,所以SD⊥AC,其中SD∩BD=D,所以AC⊥平面SDB,从而AC⊥SB.故①正确;易知②正确;设AC与DB交于O点,连接SO,则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,又因为OA=OC,SA=SC,所以∠ASO=∠CSO,故③正确;由AB∥CD知,AB与SC所成的角就是CD与SC所成的角∠SCD,易知∠SCD<,DC与SA所成的角就是AB与SA所成的角∠SAB,易知∠SAB=,故④错误.
答案:
①②③
4.(12分)(xx·江苏高考)如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.
求证:
(1)直线PA∥平面DEF.
(2)平面BDE⊥平面ABC.
【证明】
(1)因为D,E分别为棱PC,AC的中点,
所以PA∥DE,
又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,
所以PA∥平面DEF.
(2)由
(1)知PA∥DE,
又因为PA⊥AC,
所以DE⊥AC,
又因为F是AB的中点,E是AC的中点,
所以DE=PA=3,EF=BC=4,
又因为DF=5,
所以DE2+EF2=DF2,
所以DE⊥EF,
因为EF,AC是平面ABC内两条相交直线,
所以DE⊥平面ABC,
又因为DE⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABC.
5.(13分)(xx·福州模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,点M是棱PC的中点,PA⊥平面ABCD,AC,BD交于点O.
(1)已知:
PA=,求证:
AM⊥平面PBD.
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于,求PA的长.
【解题提示】
(1)由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,
∠ABC=60°,点M是棱PC的中点,得到AM,PO交点G是△PAC的重心,根据三角形重心的性质,我们易得AG,OG的长,由勾股定理,我们易得AG⊥PO,由线面垂直的判定定理易得到BD⊥平面PAC,再由线面垂直的性质得到BD⊥AM,结合AM⊥PO,即可得到AM⊥平面PBD.
(2)由MO∥PA,结合已知中PA⊥平面ABCD,过O作AB的垂线,垂足为N,连接MN,易得到∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角,由已知中二面角M-AB-D的余弦值等于,我们可构造一个关于OM的方程,解方程求出OM值,即可求出满足条件时PA的长.
【解析】
(1)底面ABCD是边长为2的菱形,AC,BD交于点O,故O为AC的中点,连接OM,
又因为点M是棱PC的中点,
所以AM,PO的交点G是△PAC的重心,
所以AG=AM=,OG=PO=,AG2+OG2=1=AO2,
所以AG⊥PO,
又因为BD⊥AO,BD⊥PA,PA∩AO=A,
所以BD⊥平面PAC,
又因为AM⊂平面PAC,
所以BD⊥AM,
又因为AM⊥PO,PO∩BD=O,
所以AM⊥平面PBD.
(2)因为MO∥PA,
所以MO⊥平面ABCD,
过O作AB的垂线,垂足为点N,
则ON=BO=,
连接MN,则MN⊥AB,
所以∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角,
则
=,
解得OM=1,
所以PA=2OM=2.
2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.6空间直角坐标系空间向量及其运算课时提升作业理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是 ( )
A.a∥b,a∥c B.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥bD.以上都不对
【解析】选C.因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1),
所以a∥c.
又a·b=(-2)×2+(-3)×0+1×4=0,
所以a⊥b.
2.(xx·长沙模拟)已知a=(2,1,-3),b=(-1,2,3),c=(7,6,λ),若a,b,c三向量共面,则λ= ( )
A.9 B.-9 C.-3 D.3
【解析】选B.由题意知c=xa+yb,
即(7,6,λ)=x(2,1,-3)+y(-1,2,3),
所以
解得λ=-9.
3.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,2),B(1,-3,1),点M在y轴上,且M到A与到B的距离相等,则M的坐标是 ( )
A.(1,0,1)B.(0,1,0)
C.(0,-1,0)D.(0,0,1)
【解析】选C.设M(0,y,0),则有=
解得y=-1.
4.(xx·黄山模拟)在棱长为1的正四面体ABCD中,点E是BC的中点,则
·= ( )
A.0B.C.-D.-
【解析】选D.=(+),=-,
所以·=(+)·(-)
=(·-·+·-)
=·-
=-=-.
5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:
①(-)-;②(+)-;
③(-)-2;④(+)+.
其中与向量相等的是 ( )
A.①②B.②③C.③④D.①④
【解析】选A.①(-)-=-=;
②(+)-=-=;
③(-)-2=-2≠;
④(+)+=+=≠,
综上,①②符合题意.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(xx·湖北四校联考)向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=,且a⊥b,则x+y= .
【解析】由|a|=得=,
解得x=0,即a=(1,2,0),
又a⊥b,则a·b=0,即2+2y=0,
解得y=-1,从而x+y=-1.
答案:
-1
7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|= .
【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.
【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A(1,0,0),E,所以=,
所以||=
=.
答案:
8.(xx·宜昌模拟)已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,
①(++)2=32;
②·(-)=0;
③向量与向量的夹角是60°;
④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|··|.
其中正确的序号是 .
【解析】①中,(++=2+2+2=32,故①正确;②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°,但与的夹角为120°,故③不正确,④中,|··|=0,故④也不正确.
答案:
①②
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(xx·周口模拟)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以,为边的平行四边形的面积.
(2)若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.
【解析】
(1)由题意可得:
=(-2,-1,3),=(1,-3,2),
所以cos<,>====,
所以sin<,>=,
所以以,为边的平行四边形的面积:
S=2×||||sin<,>=14×=7.
(2)设a=(x,y,z),
由题意得
解得
或
所以a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).
10.(xx·唐山模拟)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=.
(1)求a和b夹角的余弦值.
(2)设|c|=3,c∥,求c的坐标.
【解析】
(1)因为=(1,1,0),=(-1,0,2),
所以a·b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.
所以cos===.
(2)=(-2,-1,2).设c=(x,y,z),
因为|c|=3,c∥,
所以=3,存在实数λ使得c=λ,
即
联立解得
或
所以c=±(-2,-1,2).
(20分钟 40分)
1.(5分)(xx·开封模拟)若A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当||取最小值时,x的值为 ( )
A.19B.-C.D.
【解析】选C.||=
=,所以当x=时,
||min=.
2.(5分)设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·=0,
·=0,·=0,则△BCD的形状是 ( )
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.无法确定
【解题提示】通过·,·,·的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.
【解析】选C.·=(-)·(-)
=·-·-·+2=2>0,
同理·>0,·>0.故△BCD为锐角三角形.
【加固训练】如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<,>=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为 ( )
A.(1,1,1) B.
C.D.(1,1,2)
【解析】选A.由已知得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
设P(0,0,a)(a>0),则E.
所以=(0,0,a),=,
||=a,||=
==.
又cos<,>=,
所以
=,
解得a2=4,即a=2,所以E(1,1,1).
3.(5分)二面角α-l-β为60°,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为 ( )
A.2aB.aC.aD.a
【解题提示】选,,为基向量,进行基向量运算求解.
【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<,>=60°,
且·=0,·=0,
所以=++,
所以||=
=
=2a.
4.(12分)已知a=(3,1,5),b=(1,2,-3),a·c=9,b·c=-4.
(1)若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标.
(2)是否存在向量c,使得c与z轴共线?
试说明理由.
【解题提示】
(1)设c=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,m)(m≠0),依题意a·c=9,b·c=-4,c垂直于空间直角坐标系的z轴,即可求得c的坐标.
(2)设c=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,n)(n≠0),则(x1,y1,z1)=λ(0,0,n),
c=(0,0,λn)(n≠0),同
(1)求得λ与n的关系式即可作出判断.
【解析】
(1)设c=(x0,y0,z0),设z轴上一点为(0,0,m)(m≠0),则由题意得:
解得
即c=.
(2)设c=(x1,y1,z1),设z轴上一点为(0,0,n)(n≠0),则由题意,知(x1,y1,z1)=λ(0,0,n)=(0,0,λn)(n≠0),
所以x1=0,y1=0,z1=λn,
即c=(0,0,λn)(n≠0),
又a·c=9,b·c=-4,
即
⇒
显然矛盾,
所以不存在满足题意的向量c,使得c与z轴共线.
5.(13分)(xx·广州模拟)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模.
(2)求cos<,>的值.
(3)求证:
A1B⊥C1M.
【解析】如图,建立空间直角坐标系Oxyz,点C为坐标原点O.
(1)依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以||=
=.
(2)依题意得A1(1,0,2),
B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
所以=(1,-1,2),
=(0,1,2),·=3,
||=,||=,
所以cos<,>==.
(3)依题意,得C1(0,0,2),M,=(-1,1,-2),=.
所以·=-++0=0,
所以⊥.所以A1B⊥C1M.