四川省自贡市中考数学试卷.doc
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2018年四川省自贡市中考数学试卷
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）计算﹣3+1的结果是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．4 D．2
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．（a﹣b）2=a2﹣b2 B．x+2y=3xy C． D．（﹣a3）2=﹣a6
3．（4分）2017年我市用于资助贫困学生的助学金总额是445800000元，将445800000用科学记数法表示为（ ）
A．44.58×107 B．4.458×108 C．4.458×109 D．0.4458×1010
4．（4分）在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上；若∠1=55°，则∠2的度数是（ ）
A．50° B．45° C．40° D．35°
5．（4分）下面几何的主视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（ ）
A．8 B．12 C．14 D．16
7．（4分）在一次数学测试后，随机抽取九年级（3）班5名学生的成绩（单位：
分）如下：
80、98、98、83、91，关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是98 B．平均数是90 C．中位数是91 D．方差是56
8．（4分）回顾初中阶段函数的学习过程，从函数解析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（ ）
A．数形结合 B．类比 C．演绎 D．公理化
9．（4分）如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A=60°，连接OB、OC，则边BC的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y=图象的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（4分）已知圆锥的侧面积是8πcm2，若圆锥底面半径为R（cm），母线长为l（cm），则R关于l的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）
13．（4分）分解因式：
ax2+2axy+ay2= ．
14．（4分）化简+结果是 ．
15．（4分）若函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为 ．
16．（4分）六一儿童节，某幼儿园用100元钱给小朋友买了甲、乙两种不同的玩具共30个，单价分别为2元和4元，则该幼儿园购买了甲、乙两种玩具分别为 、 个．
17．（4分）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有 个○．
18．（4分）如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．（8分）计算：
|﹣|+（）﹣1﹣2cos45°．
20．（8分）解不等式组：
，并在数轴上表示其解集．
21．（8分）某校研究学生的课余爱好情况吧，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有 人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是 ．
22．（8分）如图，在△ABC中，BC=12，tanA=，∠B=30°；求AC和AB的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．
（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：
用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设
（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成
（2）问）
24．（10分）阅读以下材料：
对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．
对数的定义：
一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：
x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．
我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：
loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：
设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an
∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）
又∵m+n=logaM+logaN
∴loga（M•N）=logaM+logaN
解决以下问题：
（1）将指数43=64转化为对数式 ；
（2）证明loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）
（3）拓展运用：
计算log32+log36﹣log34= ．
25．（12分）如图，已知∠AOB=60°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个120°角的顶点与点C重合，它的两条边分别与直线OA、OB相交于点D、E．
（1）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），请猜想OE+OD与OC的数量关系，并说明理由；
（2）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA不垂直时，到达图2的位置，
（1）中的结论是否成立？
并说明理由；
（3）当∠DCE绕点C旋转到CD与OA的反向延长线相交时，上述结论是否成立？
请在图3中画出图形，若成立，请给于证明；若不成立，线段OD、OE与OC之间又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
26．（14分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3过A（1，0）、B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点．
（1）求直线AD及抛物线的解析式；
（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？
（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．
2018年四川省自贡市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．
【解答】解：
﹣3+1=﹣2；
故选：
A．
2．
【解答】解：
（A）原式=a2﹣2ab+b2，故A错误；
（B）原式=x+2y，故B错误；
（D）原式=a6，故D错误；
故选：
C．
3．
【解答】解：
445800000=4.458×108，
故选：
B．
4．
【解答】解：
由题意可得：
∠1=∠3=55°，
∠2=∠4=90°﹣55°=35°．
故选：
D．
5．
【解答】解：
从几何体正面看，从左到右的正方形的个数为：
2，1，2．故选B．
6．
【解答】解：
∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵=，
∴=，
∵△ADE的面积为4，
∴△ABC的面积为：
16，
故选：
D．
7．
【解答】解：
98出现的次数最多，
∴这组数据的众数是98，A说法正确；
=（80+98+98+83+91）=90，B说法正确；
这组数据的中位数是91，C说法正确；
S2=[（80﹣90）2+（98﹣90）2+（98﹣90）2+（83﹣90）2+（91﹣90）2]
=×278
=55.6，D说法错误；
故选：
D．
8．
【解答】解：
学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．
故选：
A．
9．
【解答】解：
延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC=R，
故选：
D．
10．
【解答】解：
∵点（m，n）在函数y=的图象上，
∴mn=6．
列表如下：
m
﹣1
﹣1
﹣1
2
2
2
3
3
3
﹣6
﹣6
﹣6
n
2
3
﹣6
﹣1
3
﹣6
﹣1
2
﹣6
﹣1
2
3
mn
﹣2
﹣3
6
﹣2
6
﹣12
﹣3
6
﹣18
6
﹣12
﹣18
mn的值为6的概率是=．
故选：
B．
11．
【解答】解：
由题意得，lR=8π，
则R=，
故选：
A．
12．
【解答】解：
作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，
则BG=GC，AB∥MG∥CD，
∴AM=MN，
∵MH⊥CD，∠D=90°，
∴MH∥AD，
∴NH=HD，
由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，
∴MC=BC=a，
由题意得，∠MCD=30°，
∴MH=MC=a，CH=a，
∴DH=a﹣a，
∴CN=CH﹣NH=a﹣（a﹣a）=（﹣1）a，
∴△MNC的面积=××（﹣1）a=a2，
故选：
C．
二.填空题（共6个小题，每题4分，共24分）
13．
【解答】解：
原式=a（x2+2xy+y2）…（提取公因式）
=a（x+y）2．…（完全平方公式）
14．
【解答】解：
原式=+
=
故答案为：
15．
【解答】解：
∵函数y=x2+2x﹣m的图象与x轴有且只有一个交点，
∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0，
解得：
m=﹣1．
故答案为：
﹣1．
16．
【解答】解：
设甲玩具购买x个，乙玩具购买y个，由题意，得
，
解得，
甲玩具购买10个，乙玩具购买20个，
故答案为：
10，20．
17．
【解答】解：
观察图形可知：
第1个图形共有：
1+1×3，
第2个图形共有：
1+2×3，
第3个图形共有：
1+3×3，
…，
第n个图形共有：
1+3n，
∴第2018个图形共有1+3×2018=6055，
故答案为：
6055．
18．
【解答】解：
∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，
∴AC=AD，BC=BD，
∵AC=BC，
∴AC=AD=BC=BD，
∴四边形ADBC是菱形，
故答案为菱；
如图
作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交ABA于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF=ME，
过点A作AN⊥BC，
∵AD∥BC，
∴ME=AN，
作CH⊥AB，
∵AC=BC，
∴AH=，
由勾股定理可得，CH=，
∵，
可得，AN=，
∴ME=AN=，
∴PE+PF最小为，
故答案为．
三、解答题（共8个题，共78分）
19．
【解答】解：
原式=+2﹣2×
=+2﹣
=2．
故答案为2．
20．
【解答】解：
解不等式①，得：
x≤2；
解不等式②，得：
x＞1，
∴不等式组的解集为：
1＜x≤2．
将其表示在数轴上，如图所示．
21．
【解答】解：
（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：
40÷40%=100
（2）爱好上网的人数所占百分比为10%
∴爱好上网人数为：
100×10%=10，
∴爱好阅读人数为：
100﹣40﹣20﹣10=30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动所占的百分比为40%，
∴估计爱好运用的学生人数为：
1500×40%=600
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比40%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为
故答案为：
（1）100；（3）600；（4）
22．
【解答】解：
如图作CH⊥AB于H．
在Rt△BCH中，∵BC=12，∠B=30°，
∴CH=BC=6，BH==6，
在Rt△ACH中，tanA==，
∴AH=8，
∴AC==10，
∴AB=AH+BH=8+6．
23．
【解答】解：
（1）⊙O如图所示；
（2）作OH⊥BC于H．
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°，
∴四边形ECHO是矩形，
∴OE=CH=，BH=BC﹣CH=，
在Rt△OBH中，OH==2，
∴EC=OH=2，BE==2，
∵∠EBC=∠EBD，∠BED=∠C=90°，
∴△BCE∽△BED，
∴=，
∴=，
∴DE=．
24．
【解答】解：
（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：
3=log464，
故答案为：
3=log464；
（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，
∴==am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga，
又∵m﹣n=logaM﹣logaN，
∴loga=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；
（3）log32+log36﹣log34，
=log3（2×6÷4），
=log33，
=1，
故答案为：
1．
25．
【解答】解：
（1）∵OM是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=30°，
∵CD⊥OA，
∴∠ODC=90°，
∴∠OCD=60°，
∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=60°，
在Rt△OCD中，OD=OE•cos30°=OC，
同理：
OE=OC，
∴OD+OD=OC；
（2）
（1）中结论仍然成立，理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同
（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，
∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，
∴OD+OE=OC；
（3）
（1）中结论不成立，结论为：
OE﹣OD=OC，
理由：
过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，
∴∠OFC=∠OGC=90°，
∵∠AOB=60°，
∴∠FCG=120°，
同
（1）的方法得，OF=OC，OG=OC，
∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点，
∴CF=CG，∵∠DCE=120°，∠FCG=120°，
∴∠DCF=∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，
∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，
∴OE﹣OD=OC．
26．
【解答】解：
（1）把（1，0），（﹣3，0）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3；
当x=﹣2时，y=（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3，解得y=﹣3，
即D（﹣2，﹣3）．
设AD的解析式为y=kx+b，将A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入，得
，
解得，
直线AD的解析式为y=x﹣1；
（2）设P点坐标为（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3），
l=（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）
化简，得
l=﹣m2﹣m+2
配方，得
l=﹣（m+）2+，
当m=﹣时，l最大=；
（3）DR∥PQ且DR=PQ时，PQDR是平行四边形，
由
（2）得0＜PQ≤，
又PQ是正整数，
∴PQ=1，或PQ=2．
当PQ=1时，DR=1，﹣3+1=﹣2，即R（﹣2，﹣2），
﹣3﹣1=﹣4，即R（﹣2，﹣4）；
当PQ=2时，DR=2，﹣3+2=﹣1，即R（﹣2，﹣1），
﹣3﹣2=﹣5，即R（﹣2，﹣5），
综上所述：
R点的坐标为（﹣2，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣2，﹣1）（﹣2，﹣5），使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形．
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