运筹学习题集.docx
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运筹学习题集
练习题
〖引言章节习题〗
一、试给出象形、模拟、数学模型各一例。
二、“许多模型被建立后得不到实施，因而发展模型的全部劳动都白白浪费了。
”如何理解这句话？
三、“不同的模型常常被用于相同的情况”－－试解释之。
四、假设你打算驾驶汽车到d公里以外的城市去度假，请建立一个数学模型，以决定你的汽油成本。
在建立模型中需要使用哪些假设或近似来使模型成为确定型模型？
五、什么是决策？
决策主要可以分成哪两类？
如何作决策？
试简述之。
〖线性规划图解法章节习题〗
一、求解下列线性规划：
max5x1+5x2
s.t.
x1≤100
x2≤80
2x1+4x2≤400
x1,x2≥0
二、考虑下列线性规划模型：
max3x1+2x2
s.t.
2x1+2x2≤8
3x1+2x2≤12
x1+0.5x2≤3
x1,x2≥0
1）求最优解；
2）模型有多余约束？
若有是哪个？
若多余约束从模型中取消解发生变化？
试解释之。
三、环亚货运公司拟以16,000,000元购置如下三类汽车：
汽车类型
一次装载量（吨）
速度（公里/小时）
价格（元）
A类
10
35
320,000
B类
20
30
520,000
C类
18
30
600,000
其中C类车有一个可容纳一位司机睡觉的位置。
汽车A一人驾驶，若三班制每天可使用18小时，汽车B或汽车C均需要两个人驾驶，三班制每天可使用18个小时或21个小时。
公司虽然可雇佣150名司机，但公司的保养设施仅能容纳30辆汽车，此货运公司应该如何购置汽车？
四、某医院每天至少需要下列数量的护士：
班次
时间（日夜服务）
最少护士人数
1
6－－10点
60
2
10－－14点
70
3
14－－18点
60
4
18－－22点
50
5
22－－2点
20
6
2－－6点
30
每班护士在轮班开始时向病房报到，连续工作八小时。
医院当然要满足上述各班次的护士数量要求，但又希望尽量少雇佣护士，试作出次问题的线性规划模型。
五、高技术咨询公司的管理人员打算建立一个模型，以帮助公司在客户之间指定技术顾问和咨询时间。
为了保证现金流动，今后两周内每位技术顾问的服务总所得不应低于800元，已知技术顾问为正式签约客户服务的酬金是每次25元，而为新顾客服务的酬金平均是每次8元。
为了吸引新顾客，公司规定每一位技术顾问花在新顾客方面的时间不得少于花在老顾客上的时间的60%。
已知：
平均每一个技术顾问花在新老顾客上的时间分别是50分钟和60分钟，而平均每位技术顾问在下两周内可供安排的时间是
80小时。
1）试建立此问题的线性规划模型；
2）画出可行域并求出最优解。
六、要用一批长度为4m的圆钢，下长度为698mm的零件4,000个和518mm的零件3,600个，问应如何下料可使消耗的圆钢为最少？
试建立问题的线性规划模型。
〖线性规划敏感性分析和计算机解法章节习题〗
一、考虑下列线性规划模型：
minx1+x2
s.t.
x1+2x2≥7
2x1+x2≥5
x1+6x2≥11
x1，x2≥0
1）试用图解法和计算机软件分别求解此线性规划问题；
2）分别求出c1和c2的保优区域；
3）假定c1增加到1.5，求出新最优解；若假定c2减少到1/3，求出新最优解；
4）计算并解释各约束条件的影子价格；对偶价格是什么？
求出来并解释之。
二、用图解法和计算机软件分别求解下列线性规划问题：
max5x1+7x2
s.t.
2x1+x2≥3
—x1+5x2≥4
2x1—3x2≤6
3x1+2x2≤35
3/7x1+x2≤10
x1，x2≥0
1）求解此线性规划；
2）分别求出c1,c2保优区域；
3）假定c1减少到2，求出新的最优解；若假定c2增加到10，求出新的最优解；
4）若c2减少到3，新最优解是？
此时约束2和约束3的对偶价格分别是什么？
〖线性规划应用章节习题〗
一、某市消费者协会定期举办公众服务讨论会，最近又在策划今年活动。
为了更好地搞好活动，扩大影响，经调研提出下列关于广告的设想及其数据。
可选媒体是：
电视、广播、报纸三种，而各媒体估计的观、听众数量、成本及各自的限制如下表所示：
电视
广播
报纸
每次广告观、听众
100,000
18,000
40,000
每次广告观、听众
2,000
300
600
最大使用限制
10
20
10
为保证对广告媒体均衡使用，广播广告不得超过总广告次数的50%，电视广告至少要有10%
1〕若广告预算是18,200元，为了使接收人数最大，如何选择广告媒体？
三种媒体各安排多少预算？
总接收人数为多少？
2〕若广告预算额外增加100元，估计会有多少接收总人数？
二、仪表工厂正试图安排下个生产计划周期的生产。
他们面对的是两种产品的数量计划，感到唯一有约束的是三个车间的可用工时，下表给出了有关情况：
产品1
产品2
可用工时
利润/单位
30
15
1车间小时/单位
1.0
0.35
100
2车间小时/单位
0.3
0.2
36
3车间小时/单位
0.2
0.5
50
1〕建立上述问题的线性规划模型，求出产品1和产品2的最优生产量。
2〕假设在计算单位利润时，工厂已经将可用工时视为固定“开支”。
为了增加利润，现在要求在一些车间安排加班，你建议哪些车间可以加班？
加班费如何计算？
3〕假定三个车间分别可以安排出10,6,8个小时的加班，但各车间的加班费标准不同，分别是18,22.5,12元。
如果加班是可行的，试建立线性规划模型：
求最优生产量安排及修正过的利润值。
你是否建议每个车间都加班？
若真的安排了加班，利润可以增加多少？
三、五月花公司对本公司某种产品的预测是：
下一个季度需求量为5,000单位。
此产品主要由三个部件构成：
甲、乙和丙，以前都由公司自己生产这些部件的，但现在面对高达5,000单位的产品需求，令人怀疑公司是否有足够生产能力及时加工出所有的部件。
为此，公司考虑寻求一家外协作工厂以帮助加工部分部件。
有关数据如下所示：
生产时间（小时）
各车间可用工时
车间
甲
乙
丙
小时
A
0.03
0.02
0.05
400
B
0.04
0.02
0.04
400
C
0.02
0.03
0.01
400
在考虑了公司的固定成本、原料价格和劳动力成本以后，财务部门计算出了各种部件的单位生产成本，这些数据与外协作工厂对部件的报价由下表所示：
部件
制造成本
采购成本
甲
0.75
0.95
乙
0.4
0.55
丙
1.1
1.4
1）试作出制造/采购决策：
以最低成本生产5,000单位的产品，每个部件分别自制多少？
采购多少？
2）公司哪个车间限制了公司的产量？
如果加班可统一按每小时3元计算附加成本，哪个车间应该安排加班？
3）假定车间A可以安排直到80个工时的加班，你有什么建议？
四、立信纸品公司生产用于计数器、台式计算器和收款机用卷纸，这些产品的长度统一为200英尺（1英尺＝0.3048m）但宽度不同，分别是1.5,2.5和3.5英寸（1英寸＝2.54cm）。
公司现有的原料纸仅有200英尺长10英寸宽一种，故必须进行切割纸张的加工，七种切割方案及由各方案所产生的浪费如下表所示：
可出产数量（卷）
浪费
切割方案
1.5英寸
2.5英寸
3.5英寸
（英寸）
1
6
0
0
1
2
0
4
0
0
3
2
0
2
0
4
0
1
2
0.5
5
1
3
0
1
6
1
2
1
0
7
4
0
1
0.5
设对三种规格纸品的最低产量要求分别是：
1000卷、2000卷3000卷和4000卷
1〕如果公司希望将10英寸宽的原料纸用量降到最低，则每种切割方案分别加工多少卷原料纸？
共需要多少卷原料纸？
共浪费多少英寸？
2〕若公司希望所产生浪费最小，每种切割方案需加工多少卷原料纸？
浪费多少英寸？
3〕对公司面临的问题，以上两种考虑之差异在何处？
你偏爱哪个目标？
五、TW计算器公司生产两种类型的计算器：
TW100和TW200整个装配过程需要三个工人的操作，所需要的时间如下表：
一号工人
二号工人
三号工人
TW100
4分钟
2分钟
3.5分钟
TW200
3分钟
4分钟
3分钟
每天最多可用工时
8
8
8
公司的策略是尽量均衡工人的工作负担，事实上，经理希望排出这样的生产安排：
每天每个工人的实际工作时间不要比其它人多出30分钟以上。
如果公司每生产一只TW100赚取2.5元的利润，每生产一只TW200赚取3.5元利润，则每天应生产两种计算器各多少台？
每天每位工人将实际工作多少时间？
〖单形法章节习题〗
1、用单形法求解：
Max2.5x1+5x2+x3+x4
s.t.
x1+1.4x2+0.2x3+0.8x41600
2x1+2x2+1.6x3+x41300
1.2x1+x2+x3+1.2x4960
x1,x2,x3,x40
2、用单形法求解：
Min4x1+2x2+33
s.t.
x1+3x215
x1+2x310
2x1+x220
x1,x2,x30
〖运输、转运、指定问题章节习题〗
一、某产品在三家不同工厂里进行生产然后运输到三处不同的仓库，每单位的运输成本如下表所示：
仓库
W1
W2
W3
工厂产量
P1
20
16
24
300
工厂
P2
10
10
8
500
P3
12
18
10
100
仓库需求
200
400
300
1）建立最小运输成本之线性规划模型，并求解此模型求出最小成本解；
2）假若上表中各项的数据代表从生产厂家i到销售仓库j的单位利润，所求得的模型会发生什么变化？
3）利用特殊解法求解1）之问题。
二、虽然K公司目前的产品供不应求，但已有四位客户下了订单，总量超过了K公司的产量，这使得公司经理面临要决定分别向每一家客户发运多少货物的问题。
在考虑了K公司甲乙二家工厂不同的生产成本及向四家不同客户发货运输成本也不相同等因素，K公司得到下列厂－商单位利润表：
客户
1
2
3
4
工厂甲
32
34
32
40
工厂乙
34
30
28
38
工厂的产能及客户的订货量如下：
工厂
工厂产能
客户
订单
甲
5000
1
2000
乙
3000
2
5000
3
3000
4
2000
为使得利润最大，如何决定出货计划？
哪些客户的订单无法得到满足？
三、大众出租车公司配备有无线调度系统，现有五位客人电话要车。
公司调度从卫星定位系统了解到本公司分别有五辆合适的可用车，车与客人的距离如下所示：
（单位：
公里）
客人
车号
A
B
C
D
E
1
3
4
2
1
5
2
3
5
2
1
4
3
5
3
2
1
4
4
4
3
2
1
5
5
3
4
1
2
3
为了使空驰数最小，如何为每一位客人安排车辆？
空驰公里总数是多少？
〖整数规划章节习题〗
一、考虑全整I.P.：
Max5x1+8x2
s.t.
6x1+5x2≤30
9x1+4x2≤36
x1+2x2≤10
x1,x2≥0，整数
1〕用图形表示出问题的约束并求LP松驰最优解，用取整法求一个可行整数解
2〕求最优整数解。
二、试用分枝定界法求解下列I.P.：
max10x1+3x2
s.t.
6x1+7x2≤40
3x1+1x2≤11
x1,x2≥0，整数
三、用分枝定界法求解下列混合I.P.：
maxx1+2x2＋x3
s.t.
7x1+4x2＋3x3≤28
4x1+7x2＋2x3≤28
x1,x2,x3≥0，x1,x2整数
〖网络模型章节习题〗
一、求下列网络中结点1和10之最短路径：
二、路路达速递公司是一家总部设在上海的区域性快递公司，为上海与江、浙两省10城市之间提供快速取、送物品业务，旅行成本如下网络所示：
1）求上海到其余10个城市的各最短路径之里程；
2）上海到城市7和城市9的最短路径是什么？
三、求下列网络之最小支撑总长度（单位：
公里）
四、化工厂管道网络如下：
从1到9的最大流是多少？
五、某企业的一种设备有效寿命为一年，但若经一定的保养则还可以继续使用。
已知在今后五年中，每年年初购买该设备的购买费用为：
第一、二年年初需要11单位，第三、四年年初需要12单位，第五年年初时需要13单位。
该设备一经使用以后所需要的保养费与连续使用期的长短有关，在使用的第一年内，保养费为5个单位，在使用的第二年，保养费增加到6单位，使用的第三年则为8单位，第四年11单位，第五年增至18个单位。
现在要决定在未来五年中的设备更新计划，试给出这个计划。
六、要从三个仓库运送商品到四个市场去，仓库的供应量分别是20，20和100件，市场的需求量分别是20，20，60和20件。
并非所有的仓库与市场之间都能直接运货，下表给出了各条线路的容量。
问：
利用现有的供应，能否满足市场的需要？
市场
仓库
1
2
3
4
供应量
1
30
10
0
40
20
2
0
0
10
50
20
3
20
10
40
5
100
需求量
20
20
60
20
〖项目管理：
PERT/CPM章节习题〗
一、某项目各作业如下表所示，试作出其统筹图：
作业
A
B
C
D
E
F
G
H
紧前工序
---
---
A
AB
AB
C
DF
EG
二、考虑下列统筹图：
1）加入虚拟作业以消除有相同起、终结点的问题；
2）加入虚拟作业以使统筹图满足下列紧前工序要求。
作业
H
I
G
紧前工序
BC
BC
DE
三、某项目有关作业之信息如下所示：
作业
A
B
C
D
E
F
G
紧前工序
---
---
A
A
CB
CB
DE
时间（月〕
4
6
2
6
3
3
5
1）求出此项目的关键路线；
2）如若此项目要求在一年半内完成，是否可能？
四、给出下列项目之进度表：
（周）
五、对下列给定的统筹图：
有关的经理人员对各作业之完成天数作出下列估计：
作业
A
B
C
D
E
F
G
客观
5
5
6
4
5
7
4
最可能
6
12
8
10
6
7
7
悲观
7
13
10
10
13
10
10
1）求关键路线；
2）作业C是否有松驰？
若有，有多少？
3）求出期望项目完成时间及其方差；
4）求出项目在30天内或更少天内得以完成的概率。
六、某项目有关信息如下：
作业
紧前工序
正常工期
应急工期
正常工期成本
应急工期成本
A
---
3
1
900
1700
B
---
6
3
2000
4000
C
A
2
1
500
1000
D
B，C
5
3
1800
2400
E
D
4
3
1500
1850
F
E
3
1
3000
3900
G
B，C
9
4
8000
9800
H
F，G
3
2
1000
2000
1）为上述项目作出应急安排，应如何给出L.P.模型？
2）试求出L.P.，以确定16周完成此项目的附加成本；
3）确定应急之下的进度表。
〖库存模型章节习题〗
一、求证EOQ库存模型性质：
在最佳订货量Q*处，总仓储成本与总订货成本相等。
二、昭阳计算机器材商店常年供应家用电脑用稳压电源，进货单价600元，仓储成本率22％/年，订货成本70元/笔。
1）如果需求均衡，每月20台，求最佳订货量；
2）年度仓储成本与订货成本之和是多少？
3）每年大约需要订货几次？
此商品的销售周期是？
三、白猫牙膏公司生产众多品牌的牙膏产品，公司始终利用最佳批量模型安排各品牌牙膏的生产和库存。
其中的白玉牌牙膏含增白成份，需求稳定，长期以来都是按照每批5000打进行生产，每批生产持续10天。
最近由于短缺，增白成份供应商提出要涨价23％，求：
1）涨价对最佳批量的影响是什么？
2）采用新的最佳批量后，每批量生产应持续多久？
四、大卖场销售复印纸的折扣计划是：
订货量（包）
折扣率
单价
0－49
0％
30.00
50－99
5％
28.50
>99
10％
27.00
某贸易公司平均年消耗量120包，若采购成本每次20元，年度仓储成本率25％，应该选择哪种折扣率对公司比较有利？
一、某自行车商店年销售约1000辆，C0=25.5元，Ch=8元，过去的销售记录表明：
在前置期内的销售量服从N（25,25）。
求：
1）每次订货量；
2）若商店至多容忍2％的缺货可能，则再订点是？
安全库存呢？
3）若新来的经理规定再订点为30辆，请估计：
（1）每个销售周期内缺货的可能性有多大？
（2）一年中大概会发生几次缺货情况呢？
〖计算机模拟章节习题〗
一、飞轮自行车商店过去50周的销售数据如下表所示：
销售数
周数
0
2
1
5
2
8
3
22
4
10
5
3
1）求出这些数据的相关频率分布；
2）利用随机数方法对未来12周模拟出销售情况。
二、东方广场转角处的报亭习惯每天进货250份晚报供零售。
由于天气的原因，每天卖出的晚报数是不同的。
根据过去的销售记录可以整理出如下需求概率分布：
报纸数
概率
150
0.10
175
0.30
200
0.30
225
0.20
250
0.10
报亭从每份售出的晚报可赚取0.15元利润，但如果到打烊时仍不能卖出去的话，每份晚报要亏损0.10元。
试利用10天的模拟结果决定：
每天到底是进货200份还是进货225份或者是进货250份晚报更合适些？
在得出结论之后，求出每天的平均期望利润值。
〖排队模型章节习题〗
所有排队问题都预先假定：
希望服务服从Poisson分布，服务时间服从指数分布。
一、大型计算机程序平均需要10分钟才能运行完毕。
求：
1）每小时平均服务率；
2）程序能够在5分钟之内运行完成的可能性是多少？
3）程序运行时间超过30分钟的概率呢？
二、快马汽车市区清洗点有两条自动汽车清洗装置，平均效率都是75辆/每小时。
公司了解到的平均到达率是每小时50辆，求：
1）系统空闲的概率是？
2）任意一辆脏车到达后需要等待的可能性是？
3）公司最近拟在郊区一偏僻地址处新开设一家连锁点，但调查数据显示：
新址处的脏车平均到达率只有2辆/每小时，故准备采用平均效率只有每小时3辆的人工清洗方式提供服务。
若公司雇佣两名清洗工，则某人空闲的概率、任意一辆脏车到达后需要等待的可能性是否与市区所求的结果一致？
为什么？
4）作为顾客，你认为公司的服务水平如何？
如果身临其境，将采用什么对策？
〖决策分析章节习题〗
一、达安房产公司制定了三种规模开发计划：
小、中、大，由于经济前景不明确，公司面对可能的市场需求也有三种：
低、中、高。
不同的投入会导致不同的收入，公司估计出如下的损益表：
需求
决策
低
中
高
小（d1）
400
400
400
中（d2）
100
600
600
大（d3）
－300
300
900
1）若不知道需求概率，在保守或乐观或最小最大后悔准则下分别应做什么决策？
2）若P（低）＝0.2、P（中）＝0.35、P（高）＝0.45，则在EMV准则下应作什么样决策？
3）情报的价值为多少？
4）对此问题构造出决策树，则在每一个自然状态结点处的期望值是多少？
二、甲厂从乙厂购买某种零件用于生产，过去一段时间数据表明了如下不合格率：
不合格率
概率
0
0.15
1
0.25
2
0.40
3
0.20
若对零件作100%的质检，每批500pcS要花费250元，但若不作100%质检，不合格零件将会使成品生产引起返修问题：
每一个不合格品会引致25元的返修费
1）若下表中的项表示质检和返修的总成本，试填写完全下列损益表：
不合格品率
0
1
2
3
100％质检
250
250
250
250
不质检
2）为节省250元钱之批零件质检费，生产经理拟取消品检，试用EMV来回答你是否支持这一行动？
3）求出此问题的决策树。
三、设三种自然状态S1、S2、S3事前概率分别是P（S1）=0.2、P（S2）=0.5、P（S3）=0.3，又得到下列指标信息：
P（I|S1）=0.1、P（I|S2）=0.05、P（I|S3）=0.2，试求事后概率：
P（S1|I）、P（S2|I）、P（S3|I）。
四、某工厂要决定产品中所用零件是自制还是采购，设已经得到下列损益表：
产品的市场需求
低S1
中S2
高S3
自制零件d1
-20
40
100
采购零件d2
10
45
70
概率值
0.35
0.35
0.30
对产品的潜在需求之市场调研可望给出两种结果：
要么是“合适”（记为I1），要么是“不合适”（记为I2），相关的条件概率如下：
P（I1|S1）=0.10P（I2|S1）=0.90P（I1|S2）=0.40
P（I2|S2）=0.60P（I1|S3）=0.60P（I2|S3）=0.40
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