四川成都市届高三数学第二次诊断试题理科有答案.docx

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四川成都市届高三数学第二次诊断试题理科有答案

四川成都市2018届高三数学第二次诊断试题（理科有答案）

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A．B．C．D．

2.已知向量，，.若，则实数的值为（）

A．B．C．D．

3.若复数满足，则等于（）

A．B．C．D．

4.设等差数列的前项和为.若，，则（）

A．B．C．D．

5.已知，是空间中两条不同的直线，，为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，则B．若，，则

C．若，，则D．若，，则

6.若的展开式中含项的系数为，则实数的值为（）

A．B．C．D．

7.已知函数的部分图象如图所示.现将函数图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（）

A．B．

C．D．

8.若为实数，则“”是“”成立的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

9.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形.若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）

A．B．C．D．

10.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中的条件可以是（）

A．B．C．D．

11.已知函数在区间内有唯一零点，则的取值范围为（）

A．B．

C．D．

12.已知双曲线：

右支上的一点，经过点的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于，两点.若点，分别位于第一，四象限，为坐标原点.当时，的面积为，则双曲线的实轴长为（）

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.

13.已知，，则．

14.如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢该项运动的频率.已知该年级男生女生各名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取人，则抽取的男生人数为．

15.已知抛物线：

的焦点为，准线与轴的交点为，是抛物线上的点，且轴.若以为直径的圆截直线所得的弦长为，则实数的值为．

16.已知数列共项，且，.记关于的函数，.若是函数的极值点，且曲线在点处的切线的斜率为.则满足条件的数列的个数为．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数.

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求.

18.近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的列联表如下：

对优惠活动好评对优惠活动不满意合计

对车辆状况好评

对车辆状况不满意

合计

（1）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

（2）为了回馈用户，公司通过向用户随机派送每张面额为元，元，元的三种骑行券.用户每次使用扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得元券，获得元券的概率分别是，，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.

参考数据：

参考公式：

，其中.

19.如图，是的中点，四边形是菱形，平面平面，，，.

（1）若点是线段的中点，证明：

平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

20.已知椭圆：

的左右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，点是椭圆上的动点，的面积的最大值为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线与椭圆相交于不同的两点，，线段的中垂线为.若直线与直线相交于点，与直线相交于点，求的最小值.

21.已知函数，.

（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；

（2）当时，证明：

.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。

22.选修4-4：

极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；

（2）若是曲线上的动点，为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.

23.选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.

成都市2015级高中毕业班第二次诊断性检测

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-5:

DBADC6-10:

BDBCD11、12：

AA

二、填空题

13.14.15.16.

三、解答题

17.解：

（1）.

由，，

得，.

∴函数的单调递减区间为，.

（2）∵，，∴.

∵，∴由正弦定理，得.

又由余弦定理，，

得.

解得.

18.解：

（1）由列联表的数据，有

.

因此，在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.

（2）由题意，可知一次骑行用户获得元的概率为.的所有可能取值分别为，，，，.

∵，，

，，

，

∴的分布列为：

的数学期望为（元）.

19.解：

（1）连接，.

∵四边形为菱形，且，

∴为等边三角形.

∵为的中点，∴.

∵，，又是的中点，

∴.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

又平面，∴.

由，，，

∴平面.

（2）设线段的中点为，连接.易证平面.以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，.

∴，，，.

设平面，平面的法向量分别为，.

由.

解得.

取，∴.

又由解得.

取，∴.

∵.

∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

20.解：

（1）由已知，有，即.

∵，∴.

设点的纵坐标为.

则，

即.

∴，.

∴椭圆的方程为.

（2）由题意知直线的斜率不为，故设直线：

.

设，，，.

联立，消去，得.

此时.

∴，.

由弦长公式，得.

整理，得.

又，∴.

∴.

∴，

当且仅当，即时等号成立.

∴当，即直线的斜率为时，取得最小值.

21.解：

（1）由，得.

整理，得恒成立，即.

令.则.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数的最小值为.

∴，即.

∴的取值范围是.

（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.

∴只需证明即可.

由

（1），当时，有，即.

令，即得.

∴.

现证明，

即.

现证明.

构造函数，

则.

∴函数在上是增函数，即.

∴当时，有，即成立.

令，则式成立.

综上，得.

对数列，，分别求前项和，得

.

22.解：

（1）∵直线的极坐标方程为，即.

由，，可得直线的直角坐标方程为.

将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.

（2）设.

点的极坐标化为直角坐标为.

则.

∴点到直线的距离.

当，即时，等号成立.

∴点到直线的距离的最大值为.

23.解：

（1）.

∴等价于或或.

解得或.

∴原不等式的解集为.

（2）由

（1），可知当时，取最小值，即.

∴.

由柯西不等式，有.

∴.

当且仅当，即，，时，等号成立.

∴的最小值为.