最新八年级数学上册第2章特殊三角形23等腰三角形的性质定理一 专项同步练习.docx

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最新八年级数学上册第2章特殊三角形23等腰三角形的性质定理一专项同步练习

2.3等腰三角形的性质定理

（一）

A组

1．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，则∠1的度数为（C）

A．36°B．60°　　　C．72°　　　D．108°

（第1题）

（第2题）

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC于点D，则∠CBD的度数为（B）

A．30°B．45°C．50°D．75°

3．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A作AD∥BC．若∠1＝70°，则∠BAC的度数为（A）

A．40°B．30°C．70°D．50°

（第3题）

（第4题）

4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE交于点O，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同学分析图形后得出以下结论：

①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE．上述结论一定正确的是（D）

A．①②③B．②③④

C．①③⑤D．①③④

（第5题）

5．如图，在△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC＝CD＝BD＝BE．若∠A＝50°，则∠CDE的度数为（D）

A．50°B．51°

C．51．5°D．52．5°

（第6题）

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，求∠ABD的度数．

【解】　∵AB＝AC，∠ABC＝72°，

∴∠ACB＝∠ABC＝72°，

∴∠A＝36°．

∵BD⊥AC，

∴∠ABD＝90°－36°＝54°．

（第7题）

7．如图，将△ADE沿DE折叠，点A恰好落在BC边上的点A′处．若D为AB边的中点，∠B＝50°，求∠BDA′的度数．

【解】　∵D是AB的中点，

∴BD＝AD．

由折叠的性质，得A′D＝AD，∴BD＝A′D．

∴∠BA′D＝∠B＝50°．

∵∠B＋∠BA′D＋∠BDA′＝180°，

∴∠BDA′＝180°－∠B－∠BA′D＝80°．

（第8题）

8．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝28°，求∠EDC的度数．

【解】　∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．

同理，∠ADE＝∠AED．

设∠EDC＝α，∠C＝β，

则∠ADE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝α＋β，

∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝α＋β＋α＝2α＋β．

∵∠ADC＝∠BAD＋∠B＝28°＋β，

∴2α＋β＝28°＋β，∴α＝14°，即∠EDC＝14°．

B组

（第9题）

9．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK．若∠MKN＝44°，则∠P的度数为（D）

A．44°B．66°C．88°D．92°

【解】　∵PA＝PB，∴∠A＝∠B．

在△AMK和△BKN中，∵

∴△AMK≌△BKN（SAS）．∴∠AMK＝∠BKN．

∵∠MKB＝∠MKN＋∠BKN＝∠A＋∠AMK，

∴∠A＝∠MKN＝44°，

∴∠P＝180°－∠A－∠B＝92°．

10．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，…．若∠A＝70°，则∠Bn－1AnAn－1的度数为（C）

（第10题）

A．

°B．

°C．

°D．

°

【解】　在△ABA1中，∵∠A＝70°，AB＝A1B，

∴∠BA1A＝∠A＝70°．

∵A1A2＝A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，

∴∠B1A2A1＝

＝35°．

同理，∠B2A3A2＝

∠B1A2A1＝

，∠B3A4A3＝

∠B2A3A2＝

，…，

∴∠Bn－1AnAn－1＝

＝

°．

11．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连结AE，BD交于点O，求∠AOB的度数．

（第11题）

【解】　设AC与BD交于点H．

∵△ACD，△BCE都是等边三角形，

∴CD＝CA，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠DCB＝∠ACE，

∴△DCB≌△ACE（SAS），

∴∠CDB＝∠CAE．

又∵∠DCH＋∠DHC＋∠CDB＝180°，

∠AOH＋∠AHO＋∠CAE＝180°，

∠DHC＝∠AHO，

∴∠AOH＝∠DCH＝60°．

∴∠AOB＝180°－∠AOH＝120°．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE是△ABC的两条高线，BD与CE相交于点O．

（1）求证：

OB＝OC．

（2）若∠ABC＝70°，求∠BOC的度数．

（第12题）

【解】　

（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB．

∵BD，CE是△ABC的两条高线，

∴∠BEC＝∠CDB＝90°．

又∵BC＝CB，

∴△BEC≌△CDB（AAS），

∴BE＝CD．

又∵∠BOE＝∠COD，∠BEO＝∠CDO＝90°，

∴△BOE≌△COD（AAS），

∴OB＝OC．

（2）连结DE．

∵∠ABC＝70°，AB＝AC，

∴∠A＝180°－2×70°＝40°．

∵∠A＋∠AED＋∠ADE＝180°，∠OED＋∠ODE＋∠DOE＝180°，

∴∠A＋∠AEO＋∠ADO＋∠DOE＝360°．

又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，

∴∠A＋∠DOE＝180°，

∴∠BOC＝∠DOE＝180°－40°＝140°．

（第13题）

13．如图，在△ABC中，已知BC＝AC，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D．若∠ADC＝

∠CAD，求∠ABC的度数．

（第13题解）

【解】　如解图，设∠ABC＝x，∠CAD＝y，

则∠ACD＝2x，∠ADC＝

∠CAD＝

y，

∴

解得

∴∠ABC＝36°．

数学乐园

14．

（1）已知在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67．5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）．

（2）已知在△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．

（第14题）

导学号：

91354010

【解】　

（1）如解图①②（共有2种不同的分割法）．

（第14题解）

（第14题解③）

（2）设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D．

在△DBC中，

①若∠C是顶角，如解图③，则∠CBD＝∠CDB＝90°－

x，∠A＝180°－x－y．

故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋

x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，

即180°－x－y＝y－

，

∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－

∠C．

②若∠C是底角，

第一种情况：

如解图④，当DB＝DC时，∠DBC＝x．在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x．

若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，

∴∠ABC＝3∠C．

若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C．

若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．

④）

⑤）

（第14题解）

第二种情况：

如解图⑤，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝

∠BDC＝

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．

∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．

综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－

∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°（∠C是小于45°的任意锐角）．

1.1认识三角形

（一）

A组

1．如图，图中共有__6__个三角形，以AD为边的三角形有△ABD，△ADE，△ADC，以E为顶点的三角形有△ABE，△ADE，△AEC，∠ADB是△ABD的内角，△ADE的三个内角分别是∠ADE，∠AED，∠DAE．

（第1题）

（第2题）

2．在“三角尺拼角实验”中，小明同学把一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1＝__120°__．

3．在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为__40°__．

4．

（1）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（B）

A．14　　　B．10　　　C．3　　　D．2

（2）若长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是（C）

A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．9

（第5题）

5．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的度数为（C）

A．54°B．62°

C．64°D．74°

6．若一个三角形三个内角的度数之比是2∶3∶7，则这个三角形一定是（C）

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

（第7题）

7．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5．

（1）求CD的取值范围．

（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．

【解】　

（1）∵在△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴1

（2）∵AE∥BD，∠BDE＝125°，

∴∠AEC＝55°，

∴∠C＝180°－∠AEC－∠A＝70°．

B组

8．现有3cm，4cm，7cm,9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是（B）

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4

【解】　四根木棒任取三根的所有组合为3，4，7；3，4，9；3，7，9和4，7，9，其中3，7，9和4，7，9能组成三角形．

9．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为（D）

A．2a＋2b－2cB．2a＋2b

C．2cD．0

【解】　∵a＋b>c，

∴a＋b－c>0，c－a－b<0，

∴|a＋b－c|－|c－a－b|

＝a＋b－c＋（c－a－b）

＝a＋b－c＋c－a－b＝0．

10．各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有多少个？

【解】　∵各边长度都是整数、最大边长为8，

∴三边长可以为：

1，8，8；2，7，8；2，8，8；3，6，8；3，7，8；3，8，8；4，5，8；4，6，8；4，7，8；4，8，8；5，5，8；5，6，8；5，7，8；5，8，8；6，6，8；6，7，8；6，8，8；7，7，8；7，8，8；8，8，8．

故各边长都是整数，且最大边长为8的三角形共有20个．

（第11题）

11．在农村电网改造中，四个自然村分别位于如图所示的A，B，C，D处，现计划安装一台变压器，使到四个自然村的输电线路的总长最短，那么这个变压器应安装在AC，BD的交点E处，你知道这是为什么吗？

【解】　如图，另任取一点E′（异于点E），分别连结AE′，BE′，CE′，DE′．

在△BDE′中，DE′＋BE′>DB．

在△ACE′中，AE′＋CE′>AC．

∴AE′＋BE′＋CE′＋DE′>AC＋BD，即AE＋BE＋CE＋DE最短．

数学乐园

12．观察并探求下列各问题：

（1）如图①，在△ABC中，P为边BC上一点，则BP＋PC__＜__AB＋AC（填“＞”“＜”或“＝”）．

（2）将

（1）中的点P移到△ABC内，得图②，试观察比较△BPC的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（3）将

（2）中的点P变为两个点P1，P2，得图③，试观察比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并说明理由．

（第12题）

【解】　

（1）BP＋PC＜AB＋AC．理由：

三角形两边的和大于第三边．

（2）△BPC的周长＜△ABC的周长．理由如下：

如解图①，延长BP交AC于点M．

∵PC

∵BM

∴BP＋PC＜AB＋AC，

∴BP＋PC＋BC＜AB＋AC＋BC，

即△BPC的周长＜△ABC的周长．

（第12题解）

（3）四边形BP1P2C的周长＜△ABC的周长．理由如下：

如解图②，分别延长BP1，CP2交于点M．

由

（2）知，BM＋CM＜AB＋AC．

又∵P1P2＜P1M＋P2M，

∴BP1＋P1P2＋P2C＜BM＋CM＜AB＋AC，

∴BP1＋P1P2＋P2C＋BC

即四边形BP1P2C的周长<△ABC的周长．