浙教版数学九年级下册 专项训练一直线与圆的位置关系.docx

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浙教版数学九年级下册专项训练一直线与圆的位置关系

　专项训练一：

直线与圆的位置关系

名师点金：

直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种情况，考查方向主要体现在：

根据已知条件判断直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系求值或取值范围，有关直线与圆的位置关系的动态探究等．

根据d与r的大小关系判断直线与圆的位置关系

1．（中考·江西）在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（　　）

A．与x轴相离，与y轴相切

B．与x轴、y轴都相离

C．与x轴相切，与y轴相离

D．与x轴、y轴都相切

2．已知⊙O的半径为2，圆心O到直线AB的距离为d，且方程x2－2x＋d＝0没有实数根，试确定直线AB与⊙O的位置关系．

根据直线与圆的位置关系求值或取值范围

3．如图，⊙P的半径为2，圆心P是抛物线y＝x2－1上的点，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为________．

（第3题）

4．如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H，已知AB＝16cm，cos∠OBH＝.

（1）求⊙O的半径；

（2）如果要将直线l向下平移到与⊙O相离的位置，平移的距离应满足什么条件？

（第4题）

有关直线与圆的位置关系的动态探究

5．如图①，在四边形ABCD中，∠D＝∠C＝90°，AB＝4，BC＝6，AD＝8.点P，Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB，BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位．当这两点中有一点到达终点时，另一点也停止运动．设这两点运动了t秒．

（第5题）

（1）动点P与Q哪一点先到达终点？

此时t为何值？

（直接写出结果）

（2）当0＜t＜2时，求证：

以PQ为直径的圆与AD相切（如图②）．

（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？

若能，求出t的值或取值范围；若不能，请说明理由．

专项训练二：

证明切线的技巧

名师点金：

有关切线的证明分两种情况：

一是直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”；二是直线和圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”．

已知半径，证明垂直

1．如图，已知⊙O的半径OB＝1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于点B，四边形BCOE是平行四边形．

（1）求AD的长．

（2）BC是⊙O的切线吗？

若是，请给出证明；若不是，请说明理由．

（第1题）

连半径，证垂直

类型1：

连一条半径证垂直

2．如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.

（1）求证：

点D是AB的中点；

（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（第2题）

类型2：

连两条半径证垂直

3．（中考·玉林）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连结AD交BC于点F，若AC＝FC.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）若BF＝8，DF＝，求⊙O的半径r.

（第3题）

作垂直，证半径

4．如图，AB＝AC，D为BC的中点，⊙D与AB切于E点．求证：

AC与⊙D相切．

　（第4题）

专项训练三：

切线性质的应用

名师点金：

在应用切线的性质时，如果只有切线，没有半径，就要添加辅助线——连结过切点的半径，则此半径必垂直于切线．应用切线的性质能解决几何计算与证明中的有关问题．

利用切线的性质求线段的长度

1．如图，AB是⊙O的直径，P为AB延长线上的一点，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D.若PC＝4，⊙O的半径为3，求OD的长．

（第1题）

利用切线的性质求角的度数

2．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延长线与AE的延长线交于F，且AF＝BF，求∠A的度数．

（第2题）

利用切线的性质证明线段相等

3．如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E.求证：

CD＝CE.

（第3题）

利用切线的性质证明角相等

4．如图，AB是⊙O的直径，BD切⊙O于点B，延长AB到C，使BC＝OB，过点C作⊙O的切线，E为切点，与BD交于点F，AE的延长线交BD于点D.

求证：

∠D＝∠DFE.

（第4题）

答案

专项训练一

1．A

2．解：

∵方程x2－2x＋d＝0没有实数根，

∴（－2）2－4d＜0，

即d＞1.

当1＜d＜2时，直线AB与⊙O相交；

当d＝2时，直线AB与⊙O相切；

当d＞2时，直线AB与⊙O相离．

3．（，2）或（－，2）

点拨：

当⊙P与x轴相切时，由⊙P的半径为2，且圆的切线垂直于过切点的半径，可得P点纵坐标为2；又P在抛物线y＝x2－1上，故将y＝2代入得：

2＝x2－1，解得：

x1＝，x2＝－.

4．解：

（1）∵直线l与半径OC垂直，∴HB＝AB＝×16＝8（cm）．

∵cos∠OBH＝＝，∴OB＝HB＝×8＝10（cm），即⊙O的半径为10cm.

（2）在Rt△OBH中，OH＝＝＝6（cm）．

∴CH＝OC－OH＝10－6＝4（cm）．

∴将直线l向下平移到与⊙O相离的位置时，平移的距离必须大于4cm.

5．

（1）解：

点P先到达终点，此时t＝5.

（2）证明：

如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，设圆与AB交于N，易得AM＝2.

（第5题）

又∵AB＝4，∴∠A＝60°.

连结QN，∵PQ为直径，∴∠QNP＝90°，∴∠NQA＝30°.

∵AQ＝t，AP＝2t，∴AN＝t，∴PN＝t，NQ＝t，∴PQ＝＝t.

∴AQ2＋PQ2＝AP2.

∴△APQ为直角三角形，且∠AQP＝90°.

∴以PQ为直径的圆与AD相切．

（3）解：

能．设圆心为F，作FE⊥CD于E，PH⊥AD于H.∵CP＝10－2t，DQ＝8－t，∴EF＝（CP＋DQ）＝（18－3t），PQ＝2EF＝18－3t.

∵PQ2＝PH2＋HQ2，且PH＝AB·sin60°＝2，

HQ＝（8－t）－（10－2t）＝t－2，

∴（t－2）2＋

（2）2＝（18－3t）2.

解得t＝或t＝（舍去）．

故当t＝时，以PQ为直径的圆与CD相切．

专项训练二

1．解：

（1）连结BD，∵DE是直径，∴∠DBE＝∠ABD＝90°.

∵四边形BCOE是平行四边形，

∴BC∥OE，BC＝OE＝1.

在Rt△ABD中，∵C为AD的中点，

∴BC＝AD＝1，∴AD＝2.

（2）是，理由如下：

∵BC∥OD，BC＝OD，∴四边形BCDO为平行四边形．

∵AD为⊙O的切线，∴OD⊥AD，

∴四边形BCDO为矩形．∴OB⊥BC.

∴BC是⊙O的切线．

2．

（1）证明：

连结CD.

∵BC是⊙O的直径，∴CD⊥AB.

又∵BC＝AC，∴点D是AB的中点．

（2）解：

DE与⊙O相切．证明如下：

连结OD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.

又∵BC＝AC，D是AB的中点，

∴∠BCD＝∠ACD.

∵DE⊥AC，∴∠ACD＋∠CDE＝90°，

∴∠ODC＋∠CDE＝90°，

∴OD⊥DE.又∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线．

3．

（1）证明：

如图，连结OA，OD，则OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA＋∠OFD＝90°.∴∠OAD＋∠OFD＝90°，∵∠OFD＝∠AFC，∴∠OAD＋∠AFC＝90°.∵AC＝FC，∴∠FAC＝∠AFC，∴∠OAD＋∠FAC＝90°，即∠OAC＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线．

（2）解：

∵BF＝8，OB＝r，∴OF＝8－r.∵在Rt△OFD中，OD2＋OF2＝DF2，∴r2＋（8－r）2＝（）2，解得r＝2（舍去）或r＝6.

点拨：

圆中和中点有关的问题常常结合垂径定理寻找解题方法．

（第3题）

4．证法一：

连结DE，作DF⊥AC，垂足为F.

∵AB是⊙D的切线，∴DE⊥AB.

∵DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.

∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.

又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF.

∴DF＝DE.∴点F在⊙D上．

∴AC与⊙D相切．

证法二：

连结DE，AD，作DF⊥AC，F是垂足．

∵AB与⊙D相切，∴DE⊥AB.

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴∠DAB＝∠DAC.

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.

∴点F在⊙D上．∴AC与⊙D相切．

专项训练三

1．解：

连结OC，∵PC是⊙O的切线，

∴OC⊥PC，

∴△OPC为直角三角形．

∵PC＝4，r＝3，∴OP＝5.易得OC2＝OD·OP，即5·OD＝9，

∴OD＝.

2．解：

连结OC，∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD.

∵AF⊥CD，∴AF∥OC.

∴∠A＝∠BOC.

∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.

∵AF＝BF，∴∠A＝∠B，

∴∠BOC＝∠B＝∠OCB.

∴∠B＝60°，则∠A＝60°.

3．证明：

连结OD，∵CD是⊙O的切线，

∴OD⊥CD，

∴∠CDE＋∠ODA＝90°.∵CO⊥AB，

∴∠A＋∠AEO＝90°.

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∴∠CDE＝∠AEO＝∠CED.

∴CD＝CE.

4．证明：

连结OE，

∵CE切⊙O于点E，∴OE⊥EC.

∵OB＝BC，OB＝OE，

∴在Rt△OEC中，OC＝2OE，

∴∠C＝30°，∴∠COE＝60°.

∴∠A＝∠COE＝30°.

∵BD切⊙O于点B，∴AB⊥BD.

在Rt△ABD中，∠D＝90°－∠A＝60°.

在Rt△FBC中，∠BFC＝90°－∠C＝60°.∴∠DFE＝∠BFC＝60°.

∴∠D＝∠DFE.

初中数学试卷

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