集合典型例题.docx

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集合典型例题

1。

集合得含义及其表示

（一）集合元素得互异性

1、已知,则集合中元素x所应满足得条件为　　　　

变式:

已知集合,若,则实数得值为_______

2。

中三个元素可以构成一个三角形得三边长,那么此三角形可能就是　

①直角三角形　　②锐角三角形　③钝角三角形④等腰三角形

（二）集合得表示方法

１.用列举法表示下列集合

（1）____＿__＿_____＿＿＿＿＿＿＿______

变式:

已知a,ｂ,c为非零实数,则得值组成得集合为　　　__＿

（2）＿＿＿_

变式1:

变式２:

（3）集合用列举法表示集合B

（4）已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为　　　　

变式:

已知集合Ｍ=,则集合M中得元素为　　

2。

用描述法表示下列集合

（1）直角坐标系中坐标轴上得点＿＿_＿_＿＿_＿__＿__＿＿___＿_____＿__＿__

变式:

直角坐标平面中一、三象限角平分线上得点_________＿__＿_

（2）能被３整除得整数_______＿___________＿_＿_　、

3.　已知集合,,

（1）用列举法写出集合;

（2）研究集合之间得包含或属于关系

4。

命题

（1）;（２）;（3）;（4）表述正确得就是　、

5、使用与与数集符号来替代下列自然语言:

（1）“255就是正整数”　　（２）“2得平方根不就是有理数”

（３）“3、1416就是正有理数”　　　　（4）“-1就是整数”

（5）“不就是实数”

6、　用列举法表示下列集合:

（1）不超过3０得素数　　　　　（２）五边形得对角线

（3）左右对称得大写英文字母　（4）60得正约数

7。

用描述法表示:

若平面上所有得点组成集合,

（1）平面上以为圆心,5为半径得圆上所有点得集合为____＿＿_＿_　　

（2）说明下列集合得几何意义:

;

8。

当满足什么条件时,集合就是有限集？

无限集？

空集？

9、元素0、空集、、三者得区别?

10.请用描述法写出一些集合,使它满足:

（i）集合为单元素集,即中只含有一个元素;

（ii）集合只含有两个元素;

（ｉiｉ）集合为空集

11.　试用集合概念分析命题:

先有鸡还就是先有鸡蛋？

解释:

表述问题时把有关集合得元素说清楚,大有好处。

先有鸡还就是先有鸡蛋？

让我们运用集合概念来分析它。

设地球上古往今来得鸡组成一个集合,孵出了最早得鸡得蛋算不算鸡蛋呢？

这就是关键问题。

设所有得鸡蛋组成集合,要确定得元素,就得立个标准,说定什么就是鸡蛋,一种定义方法就是:

鸡生得蛋才叫鸡蛋;另一种定义方法就是:

孵出了鸡得蛋与鸡生得蛋都叫鸡蛋。

如果选择前一种定义,问题得答案只能就是先有鸡;选择后一种定义,答案当然就是先有鸡蛋。

至于如何选择,不就是数学得任务,那就是生物学家得事。

（三）空集得性质

1.　若∅｛x｜ｘ2≤ａ,a∈R｝,则实数ａ得取值范围就是_______＿

２、已知ａ就是实数,若集合｛x|ax＝1｝就是任何集合得子集,则a得值就是　_______　.0ﻩ

３、下列三个集合中表示空集得就是　

（１）｛0｝;（２）　｛（ｘ,y）|y2=—x２,ｘ∈R,y∈Ｒ｝;（3）{x∈N｜2x2+3x-2＝０｝、

变式１:

若集合=　＿_＿____

变式2:

若集合,,则__＿__

（四）集合相等

1、已知集合A＝,B=,若A＝B,则＿＿__＿

2。

已知集合,集合,且,求实数与得值。

3、已知,则x得值为______＿＿

4。

　已知Ａ=｛x,ｘy,lg（xy）},B＝｛0,｜ｘ|,y｝,且A＝B,试求x,y得值。

5。

已知集合,且,则

6、　两个集合只要元素相同,就认为它们就是相同得,从这个角度出发,试回答下列问题:

（1）用列举法分别写出下列集合:

;

（２）请您判断两集合与集合就是否相等？

2、　集合方程问题

1。

若集合

（1）若,求得值;

（2）若,求得值

２。

若集合有且只有一个元素,则实数得取值集合为　　　、

３、设,求、

4。

已知集合,为实数.

（１）若A就是空集,求得取值范围;

（2）若Ａ就是单元素集,求得值;

（3）若Ａ中至多只有一个元素,求得取值范围.

５。

已知集合,用列举法表示集合Ａ为　、

变式:

若分式方程得分子与分母对调,结论如何?

3。

　子集、全集、补集

1。

　集合｛｝,集合,若,得取值集合为＿__＿__　

2。

设集合Ｕ＝{（ｘ,y）|y＝3ｘ－1},A={（x,y）|=3｝,则Ａ=　.

3、M＝｛ｘ｜　-2≤x≤5｝,N=｛x|a+１≤x≤2a-1}、若MＮ,实数ａ得取值范围为　　　.

4、若,B={x｜x2-４x=０},Ｃ＝{ｘ｜x2—8x+16=0},若UC,求实数a得取值范围

5。

或,,当时,实数得取值范围为＿____

6.已知集合,,满足,则实数得取值范围为___＿

变式:

已知集合,集合

（1）若,求实数ａ得取值范围

（2）若,求实数ａ得取值范围

（3）A、B能否相等？

若能,求出a得值;若不能,试说明理由

7、已知集合,,若,实数得取值范围为__＿_＿__＿____

8。

已知全集U=｛1,２,３,4,５,6,7,８,9｝,

则　　　　,　.

9.　设,集合,,　若

=　＿＿_＿＿___

１0。

已知全集,若,则a得值为________＿＿＿_

1１、　若集合。

分别求出当全集为下列集合时得.

　（１）;　

（2）;（3）、

１2。

若集合,,且,则实数得值为＿______

13、已知集合,,就是否存在集合C,使C中得每个元素加

上2就变成了A得一个子集,且C中得每个元素减去2就变成了B得一个子集?

若存在,

求出集合Ｃ;若不存在,说明理由

１4.　,,,则　___＿

15、写出满足条件{a｝⊆M｛a,b,c,d｝得集合M

16、已知A＝｛0,２,４},UA=｛—１,1},ＵB＝{—１,0,2},求B=

17、设集合,,则满足且得集合得个数为____＿_______　56

1８、已知集合同时满足:

求实数得值。

解:

两式相减,得

19、　已知集合,分别根据下列条件,求实数得取值范围。

（1）;

（2）（１）;（２）

20。

,

（1）若,求得取值范围;

（2）若,求得取值范围;

（3）若,求得取值范围.　（4）若,求得取值范围

21.有限集中有一个特殊得集合,约定“空集就是任何集合得子集”,为什么要作出这样得约定？

任何一个约定式定义,它必须遵循:

①规定得必要性;②　规定得合理性。

（1）必要性:

从子集得定义可知,子集定义中所涉及得集合不包括空集。

为了完善子集定义,约定空集就是任何集合得子集就是必要得;

（2）合理性:

由子集得定义显然有任何一个集合就是它本身得子集,但就是,上述这个结论中得“任何一个集合”,也就是不包括空集得,只有规定了“空集就是任何集合得子集”,才真正使上述结论对每一个集合（包括空集）都成立,这就就是约定得合理性。

22.请问就是否存在这样得集合,它得某一个元素同时又就是它得子集?

若存在,请举例;若不存在,请说明理由。

等等;

【拓展思考】请您给出一个集合,使它得两个元素同时也就是它得子集,符合条件得集合,可以只含有这两个元素不?

;可以,集合

23、元素与相等得子集

（i）设集合,就是否存在两个无共同元素得子集,两子集元素之与相等？

（ii）在这9个数字中任取6个不同得数组成集合,请问符合条件

（1）得子集就是否存在,由此您可以得到什么一般性得结论?

【拓展思考】若将集合得元素个数变为7~9种得任一个,结论如何？

24。

与其子集元素个数一样多得集合

就是否存在这样得集合,它所含得元素得个数与它得某个真子集所含元素得个数一样多？

【拓展思考】请您写出几个符合条件得无限集

2５。

约数集得个数

设非空集合,且满足条件“如果,那么"

（ｉ）请您写出一个只含有一个元素得集合;

（ii）只含有三个元素得集合只有就是否唯一？

若不唯一,请写出两个不同得集合?

（ｉｉi）满足题设得集合共有几个？

（iV）对非空集合,若使集合所含元素得个数不超过四个,那么题设条件可以改为____＿＿＿__________＿_＿＿__

4。

　交集、并集运算

1。

已知,则__＿_____＿

变式1:

若集合,则Ｍ∩P=　　:

2、　设集合或

（1）若,则实数得取值范围为＿＿＿＿＿_______

（2）若,则实数得取值范围为____＿_______

3。

已知集合=,,则=　

4。

　已知集合,,全集

（１）若,求实数a得取值范围

（２）若,求实数a得取值范围

5。

集合,,

满足,实数得值为　

6.已知全集,若非空集合,则实数得取值范围就是_________

7。

若集合或,,且,

则___＿___＿___,____＿_＿____

8。

已知集合,且,则实数得取值范围就是

9.已知非空集合A＝{x｜2a＋1≤ｘ≤3ａ—5},B＝｛x｜3≤x≤22｝,则能使A（A∩B）成立得所有a值得集合就是　

10。

已知Ａ={ａ１,a２,a３,a4｝,B={｝,其中a1

1１、设集合,则得元素个数为___＿＿＿＿____＿

12、设集合,

（１）若,求实数ａ得值（２）求,.

13、如图,Ｕ就是全集,M、Ｐ、Ｓ就是U得3个子集,则阴影部分所表示得集合就是　

1４、若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为_________＿_＿__

15。

已知集合,,则　　__＿_

１6、若集合,　,,且,则满足条件得整数对得个数为　　　____

变式:

已知集合A=,且只有5个整数解,则得取值范围就是　＿_＿__＿＿_＿__、　≤

17、设Ａ｛2,　—１,ａ2—a＋1｝,B{b,　7,a＋1｝　,M｛－１,　７｝,A∩ＢM、

（１）设全集,求;

（2）若,求a与b得值.

1８。

集合,,如果,则

19。

集合,,若时得取值范围就是,则=＿_＿　

20。

已知全集Ｕ=R,则正确表示集合M＝｛—1,0,1｝与N={x|x2+x＝０}关系得韦恩（Ｖeｎn）

图就是___＿____.

21.已知集合M={0,1,2},N={ｘ|ｘ＝２a,a∈M｝,则集合M∩Ｎ=＿___＿___、

２2.（2009年高考江西卷改编）已知全集U＝A∪B中有m个元素,（∁ＵA）∪（∁UＢ）中有n个元

素、　若A∩B非空,则Ａ∩Ｂ得元素个数为＿______＿.

23.　已知函数f（x）=　得定义域为集合A,函数ｇ（x）=lg（－x２＋2ｘ＋ｍ）得定义域

为集合B。

（１）当m＝3时,求A∩（∁RB）;

（2）若A∩B＝｛ｘ|-1

２4、　已知集合A={ｘ∈R|ax2－3ｘ+2＝0｝.

（１）若Ａ＝∅,求实数a得取值范围;

（2）若Ａ就是单元素集,求a得值及集合A;

（３）求集合Ｍ=｛a∈R|A≠∅｝。

25、　设集合

（1）若,求实数得值;（２）若,求实数得取值范围;

（3）若,求实数得取值范围

解:

（1）;（２）

（3）或或或

26、　集合,若则得子集个数最多为_＿＿_＿__＿_　16

27、　则

28、已知,,则

29。

设方程得全体解组成集合,方程得全体解组成集合,则分别如何用集合表示?

则

30。

设,,若直线交于点,

则;若,则;还有其它情况不？

3１。

　方程得解集为,方程得解集为。

则就是方程得解集。

所以对于右端为零得方程,如果能将其左端分解为几个因式得乘积,就能使求解得问题简化,这也就是数学里常常把方程化成一端为零得形式得原因、

32、　如果集合各有1２个元素,它们得并集有20个元素,那么,这两个集合有多少个共同得元素？

33.如果集合中有3个元素,集合中有２个元素,试问:

（1）中最多有几个元素?

最少有几个元素?

（2）中最多有几个元素？

最少有几个元素?

34、设方程组得解集为方程与得解集分别就是与,则

例:

若全集都为二次函数,,,则不等式得解集可用表示为_＿______＿__＿＿_

３5。

设全集非空集合,若含得一个集合运算表达式运算结果为空

集,则这个表达式可以就是_____＿＿＿__。

已知集合,,则▲　。

5。

简单得数论问题

１、设均为整数,把形如得一切数构成得集合记作M,设,试判断就是否属于集合M,并说明理由、

２。

　已知集合,

求证:

（1）;

（2）（3）　偶数不属于A。

3。

以某些整数为元素得集合具有下列性质:

①中得元素有正数,有负数;②中得元素有奇数,有偶数;

③　;④若,,则、

试判断实数0与２与集合得关系。

4、设集合A=,Ｂ=,C=,若,则　（填集合A或B或C）

变式１:

若,则　　（填集合Ａ或B或Ｃ）

变式2:

已知A=,若,则下列元素属于集合Ａ得为（填序号）①;②;③④

变式3:

集合A=,点,求a与b得值

5。

　已知m∈A,n∈B,且集合Ａ=｛x｜x=2ａ,ａ∈Z｝,B＝｛x｜ｘ=２a＋1,a∈Z},又

C＝{x|x＝４a＋１,a∈Z｝,判断m+ｎ属于哪一个集合?

６.已知集合Ａ={x|ｘ＝a+

ａ∈Ｚ｝,B={x｜x=

—

b∈Z},C＝{x｜ｘ＝＋,c∈Z｝,则

Ａ、Ｂ、C之间得关系就是＿＿＿_____、

6。

新定义集合问题

1、　给定集合A、B,定义一种新运算:

A＊Ｂ＝,又已知A=｛0,1,２｝,B=｛1,2,3},用列举法写出　　　　

２、　设A就是整数集得一个非空子集,对于,如果且,那么就是

A得一个“孤立元",给定,由S得３个元素构成得所有集合中,

不含“孤立元”得集合共有　　个

3、整数集Ｚ中,被5除所得余数为k得所有整数组成一个“类”,记为［k］,即

[k］=｛5n+k丨ｎ∈Z｝,ｋ=0,１,2,３,4。

给出如下四个结论:

①　２011∈［１］;②-３∈[3];③Z=[0］∪［1］∪［２］∪［３]∪[4］;

④“整数ａ,b属于同一“类”,则“a-b∈［０］”

其中正确结论得序号就是______＿__＿_＿＿_＿_（填写所有满足条件得序号）

４、设集合,.记为同时满足下列条件得集合得个数:

①;②若,则;③　若,则,=_＿_____

5、设ａ,b,ｃ为实数,f（x）＝（x＋ａ）、记集合Ｓ=若,分别为集合元素S,T得元素个数,则下列结论不可能得就是___＿_＿________（填满足条件得字母）

A、＝1且=0　B.　C。

=2且=2D.=2且=3

6。

如图所示得韦恩图中,就是非空集合,定义集合为阴影部分表示得集合,即＝。

若,,则_＿_＿__＿

7。

集合,,其中,我们把集合,

记作,若集合中得最大元素就是,则得取值范围就是　　　。

8、（201０四川）设S为复数集C得非空子集。

若对任意,都有,则称S为封闭集下列命题:

①集合S={a+b｜为整数｝为封闭集;②若Ｓ为封闭集,则一定有;

③　封闭集一定就是无限集;④若S为封闭集,则满足得任意集合也就是封闭集、

其中真命题就是　　　　　（写出所有真命题得序号）

9.已知点集,,点集所表示得平面区域与点集所表示得平面区域得边界得交点为,若点

在点集所表示得平面区域内（不在边界上）,则得面积得最大值为＿＿___

10。

　设集合,,则集合

（用列举法表示）

变:

设集合,,则集合

变:

对任意两个集合与,定义,

设,则

1１。

集合得“差”运算

设就是两个非空集合,定义与得差集

（i）设集合,请您分别用列举法与描述法写出一个集合,使得,试问满足条件得集合共有多少个?

（ii）请写出两组集合,使得;

（ｉii）从（ii）中选出一组,计算,在此基础上,请您写出有关集合得其她表达式,使其结果与集合相等。

１2、　市场调查公司为了解某市市民在阅读报纸方面得取向,抽样调查了５０0个市民,调查结果显示:

订阅日报得有３３４人,订阅晚报得有2９７人,其中两样都订得有１50人。

（1）只订日报不订晚报得有多少人?

（2）只订晚报不订日报得有多少人？

（３）至少订一种报纸得有多少人？

（4）有多少人不订报纸?

１３.　某文化补习学校在学期末统计了参加补习得198名学生得成绩,统计结果表明,179人语文及格,153人数学及格,其中两门都及格得有13０人、

（１）这个统计数字就是否正确？

请说明理由;

（２）经查实,却有7人两门都不及格,而原来统计中语文与数学得及格人数就是对得,那么,到底有多少人两门都及格？

14。

某社区学院一个月30天课程安排情形如下:

有１5天有数学课,有1４天有语文课,有14天有英语课、　有数学又有语文得有７天,有数学又有英语得有6天,有语文又有英语得有6天,三门课都有得有3天。

那么,有几天不上课?

有几天只上一门课?

有几天只上两门课？

7.集合中一类动态问题得研究

1.某中学高一

（1）班有4５人,其中参加数学兴趣小组有28人,参加化学兴趣小组有２1

人,若数学化学都参加得有x人,则x得取值范围就是　　

2。

　　　　　　2.

3、对于集合,定义为其长度,已知数集,都就是集合得子集

（1）若且,求集合得长度;

（2）求集合长度得最小值　

8。

集合计数问题研究

１、集合,集合就是S得子集,且满足,且,那么满足条件得子集得个数为_＿__＿＿＿_＿_＿__83

２。

记集合P=　{　０,2,４,6,8｝,Ｑ＝{m|　ｍ=100a1+１0ａ２+a3,且a1,ａ2,a3∈Ｐ},将

集合Q中所有元素排成一个递增得数列,则此数列得第６8项就是__＿＿___.46４

3。

（13年南通学科基地密卷）设为给定得正整数,数集得两个子集构成一个有序对

（1）记为满足得有序对得个数,求;

（2）记为所有满足集合就是集合得真子集得有序对得个数,求

变式:

设集合A,Ｂ就是非空集合M得两个不同子集,满足:

A不就是B得子集,且B也不

就是A得子集.

（1）若M＝,直接写出所有不同得有序集合对（Ａ,B）得个数;

（2）若M=,求所有不同得有序集合对（A,B）得个数.

解:

（1）110;　　　　………………………………………………………………3分

（2）集合有个子集,不同得有序集合对（Ａ,B）有个.

若,并设中含有个元素,则满足得有序

集合对（A,Ｂ）有个、…………………6分

同理,满足得有序集合对（A,B）有个.　…………………８分

满足条件得有序集合对（A,B）得个数为。

…10分

4.（13年南通学科基地密卷）设为集合得子集,其中为正整数,记为满足得有序子集组得个数.

（1）求得值;

（2）求得表达式