数列前n项和的求法.docx

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数列前n项和的求法

专题二：

数列前n项和的求法

一、倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。

例如：

等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例1：

设等差数列{an}，公差为d，求证：

{an}的前n项和Sn=n（a1+an）/2

例2：

求

的值

二、用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。

运用公式求解的注意事项：

首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3：

求数列

的前n项和Sn：

例4：

已知

，求

的前n项和.

例5：

设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

的最大值.

点拨：

这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出：

这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例6：

求和：

例7：

求数列

前n项的和.

四、分组法求和（并项法）

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例8：

求S=12-22+32-42+…+（-1）n-1n2（n∈N*）

例9：

求数列的前n项和：

，…

五、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例]在各项均为正数的等比数列中，若

的值.

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。

我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

六、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）

（2）

（3）

（4）

例10：

求数列

的前n项和.

例11：

在数列{an}中，

，又

，求数列{bn}的前n项的和.

七.用构造法求数列的前n项和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例12：

求

之和.

练习：

求5+55+555+….+555…5之和

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