高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明.docx

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高一数学人教A版必修2试题第二章平行垂直的证明

第二章2.12.1.1

A级　基础巩固

一、选择题

1．若一直线a在平面α内，则正确的图形是（　A　）

[解析]　选项B、C、D中直线a在平面α外，选项A中直线a在平面α内．

2．如图所示，下列符号表示错误的是（　A　）

A．l∈α　　B．P∉l　　C．l⊂α　　D．P∈α

[解析]　观察图知：

P∉l，P∈α，l⊂α，则l∈α是错误的．

3．下面四个说法（其中A、B表示点，a表示直线，α表示平面）：

①∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α；

②∵A∈α，B∉α，∴AB∉α；

③∵A∉a，a⊂α，∴A∉α；

④∵A∈a，a⊂α，∴A∈α.

其中表述方式和推理都正确的命题的序号是（　C　）

A．①④　　B．②③　　C．④　　D．③

[解析]　①错，应写为A∈α，B∈α；②错，应写为AB⊄α；③错，推理错误，有可能A∈α；④推理与表述都正确．

4．（2016～2017安徽蚌埠高二期中）三条两两平行的直线可以确定平面的个数为（　D　）

A．0　　B．1

C．0或1　　D．1或3

[解析]　当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面，当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面．

5．下列命题中，正确的是（　B　）

A．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面

B．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面

C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面

D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面

[解析]　因为正方体的四条体对角线相交于同一点（正方体的中心），因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B．

6.如图所示，平面α∩β＝l，A、B∈α，C∈β且C∉l，AB∩l＝R，设过A、B、C三点的平面为γ，则β∩γ等于（　C　）

A．直线AC　　B．直线BCC．直线CR　　D．以上都不对

[解析]　由C，R是平面β和γ的两个公共点，可知β∩γ＝CR.

二、填空题

7．在长方体ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有__5__条.

[解析]　如图，

由图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．

8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的是__

（2）（3）（4）__（填序号）.

（1）直线AC1在平面CC1B1B内．

（2）设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.

（3）由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1.

（4）由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面．

[解析]　

（1）错误．如图所示，点A∉平面CC1B1B，所以直线AC1⊄平面CC1B1B.

（2）正确．如图所示．

因为O∈直线AC⊂平面AA1C1C，O∈直线BD⊂平面BB1D1D，O1∈直线A1C1⊂平面AA1C1C，O1∈直线B1D1⊂平面BB1D1D，所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.

（3）（4）都正确，因为AD∥B1C1且AD＝B1C1，

所以四边形AB1C1D是平行四边形，

所以A，B1，C1，D共面．

三、解答题

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点，求证：

（1）E、C、D1、F、四点共面；

（2）CE、D1F、DA三线共点．

[解析]　

（1）分别连接EF、A1B、D1C，

∵E、F分别是AB和AA1的中点，

∴EF∥A1B且EF＝

A1B.

又∵A1D1綊B1C1綊BC，

∴四边形A1D1CB是平行四边形，

∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1.

EF与CD1确定一个平面．

∴E、F、D1、C四点共面．

（2）∵EF綊

CD1，

∴直线D1F和CE必相交．设D1F∩CE＝P，

∵D1F⊂平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.

又CE⊂平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD，

即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点．

而平面ABCD∩平面AA1D1D＝直线AD，

∴P∈直线AD（公理3），∴直线CE、D1F、DA三线共点．

B级　素养提升

一、选择题

1．空间中四点可确定的平面有（　D　）

A．1个　　B．3个

C．4个　　D．1个或4个或无数个

[解析]　当四个点在同一条直线上时，经过这四个点的平面有无数个；当这四个点为三棱锥的四个顶点时，可确定四个平面；当这四个点为平面四边形的四个顶点时，确定一个平面；当其中三点共线于l，另一点不在直线l上时，也确定一个平面，故选D．

2．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（　D　）

①P∈a，P∈α⇒a⊂α

②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β

③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α

④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b

A．①②　　B．②③　　C．①④　　D．③④

[解析]　当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；

a∩β＝P时，②错；如图∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；

两个平面的公共点必在其交线上，故④正确，选D．

3．如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C∉l，直线AD∩l＝D，过A、B、C三点确定的平面为γ，则平面γ、β的交线必过（　D　）

A．点A　　B．点B

C．点C，但不过点D　　D．点C和点D

[解析]　A、B、C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C、D∈γ，且C、D∈β，故C，D在γ和β的交线上．

4．下列各图均是正六棱柱，P、O、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是（　D　）

[解析]　在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥OR，即在此三个图形中P、O、R、S共面，故选D．

二、填空题

5．若直线l与平面α相交于点O、A、B∈l、C、D∈α，且AC∥∥BD，则O、C、D三点的位置关系是__共线__.

[解析]　∵AC∥BD，

∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.

∵l∩α＝O，∴O∈α.

又∵O∈AB⊂β，

∴O∈直线CD，∴O、C、D三点共线．

6．已知α、β是不同的平面，l、m、n是不同的直线，P为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α、n⊂β、m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为__P∈l__.

[解析]　因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∈β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.

C级　能力拔高

1．如图，在四面体A－BCD中作截面PQR，若PQ、CB的延长线交于点M，RQ、DB的延长线交于点N，RP、DC的延长线交于点K.

求证：

M、N、K三点共线．

[解析]　∵M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，

M∈BC，直线BC⊂平面BCD，

∴M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，

∴M在平面PQR与平面BCD的交线上．

同理可证，N、K也在平面PQR与平面BCD的交线上．

∴M、N、K三点共线．

2．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

（1）画出直线l的位置；

（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．

[解析]　

（1）延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．

（2）∵M为AA1的中点，AD∥ED1，

∴AD＝A1E＝A1D1＝a.

∵A1P∥D1N，且D1N＝

a，

∴A1P＝

D1N＝

a，

于是PB1＝A1B1－A1P＝a－

a＝

a.

第二章2.12.1.2

A级　基础巩固

一、选择题

1．异面直线是指（　D　）

A．空间中两条不相交的直线

B．分别位于两个不同平面内的两条直线

C．平面内的一条直线与平面外的一条直线

D．不同在任何一个平面内的两条直线

[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行（共面），另一个是异面．∴A应排除．

对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如右图，就是相交的情况，∴B应排除．

对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．

2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（　C　）

A．3条　　B．4条　　C．6条　　D．8条

[解析]　与AC1异面的棱有：

A1D1，A1B1，DD1，CD，BC，BB1共6条．

3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则（　D　）

A．a∥c　　B．a、c是异面直线

C．a、c相交　　D．a、c平行或相交或异面

[解析]　例如在正方体ABCD－A1B1C1D1中，取AB，CD所在直线分别为a，c，B1C1所在直线为b，满足条件要求，此时a∥c；又取AB，BC所在直线分别为a，c，DD1，所在直线为b，也满足题设要求，此时a与c相交；又取AB，CC1所在直线分别为a，c，A1D1所在直线为b，则此时，a与c异面．故选D．

4．过直线l外两点可以作l的平行线条数为（　D　）

A．1条　　B．2条　　C．3条　　D．0条或1条

[解析]　以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例．

令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B、C不能作直线与l平行，故选D．

5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（　A　）

A．30°　　B．45°　　C．60°　　D．90°

[解析]　取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，故选A．

6．下列命题中，正确的结论有（　B　）

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

[解析]　②④是正确的．

二、填空题

7．已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若

＝

＝

，

＝

＝

，则四边形EFGH形状为__梯形__.

[解析]　如右图

在△ABD中，∵

＝

＝

，

∴EH∥BD且EH＝

BD.

在△BCD中，∵

＝

＝

，

∴FG∥BD且FG＝

BD，∴EH∥FG且EH>FG，

∴四边形EFGH为梯形．

8．已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M、N分别为CD、AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是__平行__.

[解析]　如图所示，MN綊

AC，

又∵AC綊A′C′，

∴MN綊

A′C′.

三、解答题

9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点．

求证：

∠NMP＝∠BA1D.

[解析]　如图，连接CB1、CD1，∵CD綊A1B1，

∴四边形A1B1CD是平行四边形，

∴A1D∥B1C.

∵M、N分别是CC1、B1C1的中点，

∴MN∥B1C，∴MN∥A1D.

∵BC綊A1D1，∴四边形A1BCD1是平行四边形，

∴A1B∥CD1.

∵M、P分别是CC1、C1D1的中点，∴MP∥CD1，

∴MP∥A1B，

∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反，

∴∠NMP＝∠BA1D.

B级　素养提升

一、选择题

1．若直线a、b分别与直线l相交且所成的角相等，则a、b的位置关系是（　D　）

A．异面　　B．平行

C．相交　　D．三种关系都有可能

[解析]　以正方体ABCD－A1B1C1D1为例．

A1B1、AB所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1∥AB；A1B1、BC所在直线与BB1所在直线相交且所成的角相等，A1B1与BC是异面直线；AB、BC所在直线与AC所在直线相交且所成的角相等，AB与BC相交，故选D．

2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是（　D　）

A．梯形　　B．矩形C．平行四边形　　D．正方形

[解析]　∵E、F、G、H分别为中点，如图．

∴FG綊EH綊

BD，

HG綊EF綊

AC，

又∵BD⊥AC且BD＝AC，

∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．

3．点E、F分别是三棱锥P－ABC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为（　D　）

A．60°　　B．45°　　C．30°　　D．90°

[解析]　如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则

EG綊

AB，GF綊

PC，则∠EGF（或其补角）即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝

AB＝3，FG＝

PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.

4．如图所示，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于（　A　）

A．5　　B．6C．8　　D．10

[解析]　如图，取AD的中点P，连接PM、PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝

AC＝4，PM＝

BD＝3，∴MN＝5.

二、填空题

5．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线（面对角线是指正方体各个面上的对角线）共有__1__条.

[解析]　与AD1异面的面对角线分别为：

A1C1、B1C、BD、BA1、C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.

6．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

①AB∥CM；

②EF与MN是异面直线；

③MN∥CD.

以上结论中正确结论的序号为__①②__.

[解析]　把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①②正确．

C级　能力拔高

1．已知空间四边形ABCD中，AB≠AC，BD＝BC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：

AE与DF是异面直线.

[解析]　由已知，得E、F不重合．

设△BCD所在平面为α，

则DF⊂α，A∉α，E∈α，E∉DF，

∴AE与DF异面．

2．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G、H分别为AD′和BC′的中点，求证：

四边形EFGH为平行四边形.

[解析]　∵梯形ABCD中，AB∥CD，

E、F分别为BC、AD的中点，

∴EF∥AB且EF＝

（AB＋CD），

又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB.

∵G、H分别为AD′、BC′的中点，

∴GH∥AB且GH＝

（AB＋C′D′）＝

（AB＋CD），

∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．

第二章2.12.1.32.1.4

A级　基础巩固

一、选择题

1．正方体的六个面中相互平行的平面有（　B　）

A．2对　　B．3对　　C．4对　　D．5对

[解析]　正方体的六个面中有3对相互平行的平面．

2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B′之间的关系是（　A　）

A．相交B．平行

C．直线在平面内D．平行或直线在平面内

[解析]　由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在的直线都交于同一点，而任一侧面所在的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的任意一个侧面所在的平面都相交．

3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是（　D　）

A．平行　　B．相交

C．异面　　D．以上都有可能

[解析]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面AC，A1D1∥平面AC，有A1B1∩A1D1＝A1；又D1C1∥平面AC，有A1B1∥D1C1；取BB1和CC1的中点M、N，则MN∥B1C1，则MN∥平面AC，有A1B1与MN异面，故选D．

4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（　D　）

A．唯一一条直线不相交B．仅两条相交直线不相交

C．仅与一组平行直线不相交D．任意一条直线都不相交

[解析]　根据直线和平面平行定义，易知排除A、B．对于C，仅有一组平行线不相交，不正确，应排除C．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确．

5．平面α∥平面β，直线a∥α，则（　D　）

A．a∥β　　B．a在面β上C．a与β相交　　D．a∥β或a⊂β

[解析]　如图

（1）满足a∥α，α∥β，此时a∥β；

如图

（2）满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D．

6．设P是异面直线a，b外一点，则过P与a，b都平行的直线有（　　）条（　C　）

A．1　　B．2　　C．0　　D．0或1

[解析]　反证法．若存在直线c∥a，且c∥b，则a∥b与a，b异面矛盾．故选C．

二、填空题

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：

（1）AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__平行__；

（2）平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__相交__.

8．两个不重合的平面可以把空间分成__三或四__部分.

[解析]　两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．

三、解答题

9.如图所示，直线A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的六个面所在的平面有什么位置关系？

平面A′B与长方体ABCD－A′B′C′D′的其余五个面的位置关系如何？

[解析]　∵直线A′B与平面ABB′A′有无数个公共点，

∴直线A′B在平面ABB′A′内．

∵直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′都有且只有一个公共点B，

∴直线A′B与平面ABCD，平面BCC′B′相交．

∵直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′都有且只有一个公共点A′，

∴直线A′B与平面ADD′A′，平面A′B′C′D′相交．

∵直线A′B与平面DCC′D′没有公共点，

∴直线A′B与平面DCC′D′平行．

平面A′B∥平面CD′，

平面A′B与平面AD′、平面BC′、平面AC平面A′C′都相交．

10.如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？

证明你的结论.

[解析]　平面ABC与平面β的交线与l相交．

证明：

∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，

∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，

则P∈AB，P∈l.

又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，

∴P∈平面ABC，P∈β.

∴点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，且P，C是不同的两点，

∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．

即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交．

B级　素养提升

一、选择题

1．直线a在平面γ外，则（　D　）

A．a∥γ　　B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A　　D．a与γ至多有一个公共点

[解析]　直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．

2．若平面α∥平面β，则（　A　）

A．平面α内任一条直线与平面β平行

B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行

C．平面α内存在一条直线与平面β不平行

D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交

3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（　C　）

A．5部分　　B．6部分　　C．7部分　　D．8部分

[解析]　垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C．

4．如图所示，用符号语言可表示为（　D　）

A．α∩β＝l　　B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄α　　D．α∥β，l⊂α

[解析]　由图可知，α∥β，l⊂α.

二、填空题

5．下列命题正确的有__①⑤__.

①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；

④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；

⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；

⑥若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a∥b.

[解析]　①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线中的另一条直线和该平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面内，所以④是错误的；⑤中，直线l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以平行，也可以异面，所以⑥是错误的．

6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成__27__部分.

C级　能力拔高

1．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.

（1）判断c与α的位置关系，并说明理由；

（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解析]　

（1）c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α.

（2）c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ

∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a、b⊂γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a.

2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.

[解析]　如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF.

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.

∴E、F、C、D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.

∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.

第二章2.22.2.1

A级　基础巩固

一、选择题

1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是（　A　）

A．平行　　　B．相交C．在平面内　　D．不确定

[解析]　圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则