经济数学教学大纲.docx

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经济数学教学大纲

《经济数学》教学大纲

第一部分大纲说明

课程性质：

基础课

培养目标：

为适应我国在21世纪社会主义建设和经济发展，培养“厚基础、宽口径、高素质”的管理人才

基本要求：

学生学完《经济数学》后，能独自推导证明经济数学教材中的绝大多数定理，能在今后的经济管理学习和工作中熟练地应用经济数学知识进行一定的定量研究；能达到国家数学四的考试要求，并为继续深造打下基础

教学对象：

管理类各专业本科一、二年级学生

学分数：

4+3+3=16，其中《微积分学》4学分，《线性代数》3学分，《概率论与数理论统计》5学时

学时数：

4×17+3×17+3×17=170，其中《微积分学》68学时，《线性代数》51学时，《概率论与数理论统计》51学时

说明：

大纲中出现“*”的章节可根据具体情况进行选择

参考书目：

魏宗舒《高等数学》、《概率论与数理统计》高等教育出版社1990版

朱来义.《微积分学》、《线性代数》.高等教育出版社.2000版

《高等数学》.北京大学出版社.2002版

《高等数学》.科学出版社.2003版

第二部分教学内容

《微积分学》总学时：

68

第一章函数

教学要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

3、理解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念

第一节预备只知识

一、实数与数轴

1、实数

2、数轴

二、实数的绝对值及其基本性质

1、实数的绝对值

2、实数绝对值的基本性质

三、区间与邻域

1、区间

2、邻域

第二节函数概念

一、变量与函数

1、变量

2、函数的概念

二、函数的表示法

1、表格法

2、图示法

3、解析法

三、函数的定义域

第三节函数的几何特征

一、单调性

二、有界性

三、奇偶性

四、周期性

第四节反函数

一、反函数的概念

二、反函数的求法

第五节复合函数

一、复合函数的概念

二、复合函数的求法与定义域

第六节初等函数

一、基本初等函数

1、常数函数

2、幂函数

3、指数函数

4、对数函数

5、三角函数

6、反三角函数

二、初等函数

1、初等函数

2、非初等函数

三、隐函数

第七节简单函数关系的建立

一、简单函数关系的建立

二、经济学中常见的函数关系

1、总成本函数、总收入函数和总利润函数

2、需求函数与供给函数

第二章极限与连续

教学要求：

1、了解数列极限和函数极限（包括坐极限和右极限）的概念。

2、理解无穷小的概念和基本性质，掌握无穷小的比较方法，了解无穷大的概念及其无穷小的关系。

3、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限四则运算法则，会应用两个重要极限。

4、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

5、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用。

第一节数列极限

一、数列极限的概念

二、数列极限四则运算法则

三、数列极限的几个性质

四、数列极限的两个定理

1、夹逼定理

2、有界数列与无界数列

3、数列极限公理：

单调有界数列必收敛

第二节函数极限

一、函数极限的概念

二、对函数极限概念的认识

1、由函数图形认识函数极限

2、由函数值认识函数的极限

第三节函数极限的性质与运算法则

一、函数极限的性质

1、有界函数

2、局部有界性

3、局部保号性

4、函数极限的夹逼定理

二、函数极限的四则运算法则

第四节无穷大量与无穷小量

一、无穷大量与无穷小量

1、无穷大量

2、无穷小量

二、无穷大量与无穷小量的比较

1、高阶无穷小量

2、低阶无穷大量和高阶无穷大量

3、同阶无穷大量和同阶无穷小量

4、等价无穷大量和等价无穷小量

第五节函数的连续性

一、函数连续的概念

1、函数连续的概念

2、函数单侧连续的概念

二、函数的间断点

1、第一类间断点

2、第二类间断点

三、函数连续的性质

第六节闭区间上连续函数的性质

一、闭区间上连续函数的有界性定理

二、最值定理

三、零点存在定理

四、介值定理

五、反函数连续性定理

第三章导数与微分

教学要求：

1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念）。

2、掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，掌握反函数与隐函数求导法以及对数求导法。

3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数

4、了解微分的概念，导数与微分之间的关系，以及一阶微分的形式的不变性，会求函数的微分。

教学内容：

第一节导数概念

一、导数的定义

二、函数在可导点的局部性质

1、函数的单侧可导概念

2、函数在可导点的局部性质

第二节导数运算与导数公式

一、导数的四则运算

二、反函数的导数

三、导数基本公式

第三节复合函数求导法则

第四节微分及其计算

一、微分的定义

1、函数值的改变量定义

2、微分的定义

二、微分的近似计算

三、微分的运算法则

第五节高阶导数与高阶微分

一、高阶导数

二、高阶微分

第六节导数与微分在经济学中的简单应用

一、边际分析

1、边际成本0

2、边际收益

3、边际利润

二、弹性

1、需求价格弹性

2、需求收入弹性

3、边际收益与需求价格弹性之间的关系

第四章中值定理与导数的应用

教学要求：

1、理解罗尔（Rolle）定理、拉格郎日中值定理、掌握这三个定理的简单应用。

2、会用洛必达法则求极限。

3、掌握函数单调性的判别方法及其应用，掌握函数极值、最大值和最小值的求法，（含较简单的应用题）。

4、会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点和斜渐近线。

5、掌握函数作图的基本步骤和方法，会作简单函数的图形。

第一节微分中值定理

一、函数极值概念

1、极大值

2、极小值

二、费马定理

三、罗尔定理

四、拉格郎日中值定理

五、柯西中值定理

第二节泰勒公式

一、泰勒定理

二、泰勒公式的简单应用

第三节洛必达法则

一、洛必达法则一（

型）

二、洛必达法则二（

型）

第四节函数的单调性与凹凸性

一、一阶导数的符号与函数的单调性

1、函数的严格单调性概念

2、函数单调性定理

二、二阶导数符号与函数的凹凸性

1、函数的凹凸性概念

2、函数的凹凸性定理0

3、函数的拐点定义和定理

第五节函数的极值与最值

一、极值

1、函数极值判别法一

2、函数极值判别法二

3、函数极值判别法三

二、函数最大值与最小值

1、函数最值定义

2、函数最值的求法与简单应用

第六节函数作图

一、函数的渐近线

1、函数的斜渐近线

2、函数的垂直渐近线

3、函数的水平渐近线

二、函数作图

第五章不定积分

教学要求：

理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分法和分部积分法。

第一节原函数与不定积分的概念

一、原函数

1、原函数的概念

2、原函数的一般表达式

二、不定积分

1、不定积分的定义

2、不定积分的几何意义

三、不定积分的基本性质

第二节基本积分公式

一、基本积分公式

二、利用基本积分公式求不定积分

第三节换元积分法

一、第一换元法（凑微分法）

1、凑微分法的定义

2、使用凑微分法的常见情形

二、第二换元法

第四节分部积分法

一、定理（分部积分法）

二、使用分部积分法的常见题型

第六章定积分

教学要求：

1、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定理，理解变上限定积分定义的函数并会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式，以及定积分的换元积分法和分部积分法。

2、会利用定积分计算平面图形的面积和旋转体的体积，会利用定积分求解简单的经济应用问题。

3、了解广义积分的概念，会计算广义积分

教学内容：

第一节定积分的概念与性质

一、定积分的定义

二、定积分的几何意义

三、定积分的基本性质

1、性质一

2、性质二

3、性质三（保号性）

4、性质四

5、性质五（积分中值定理）

第二节微积分基本定理

一、变限积分与原函数

1、定理一

2、定理二

二、微分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）

第三节定积分的换元积分法与分部积分法

一、定积分的换元积分法

二、定积分的分部积分法

第四节定积分的应用

一、平面图形的面积

1、单一函数在平面直角坐标系中有界图形的面积

2、两个函数在平面直角坐标系中有界图形的面积

二、立体的体积

1、已知平行截面面积求立体的体积

2、旋转体的体积

三、定积分在经济学中的简单应用

1、由边际函数求总函数

2、利润关于时间的最大化问题

四、消费者剩余和生产者剩余

第五节反常积分初步

一、无穷限积分

1、无穷限积分的定义

2、无穷限积分敛散性的判别

二、瑕积分

1、瑕积分的定义

2、瑕积分敛散性的判别

*三、

函数与

函数

1、

函数

2、

函数

第七章多元函数微积分学

教学要求：

1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义。

2、了解二元函数的极限与连续的直观意义，了解有界闭区域上二元连续函数的性质。

3、了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数会求全微分，会用隐函数的求导法则。

4、了解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，会求解一些简单的应用题。

5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算无界区域上的较简单的二重积分。

第一节预备知识

一、空间直角坐标系

1、坐标系的建立

2、空间中的点与三元有序数组的对应

*二、量代数简介

1、向量概念

2、向量的加减法

3、数量与向量的乘积

4、向量的分解与向量的坐标

5、空间中两点的距离公式

6、两个向量的内积

三、空间曲面与方程

1、平面

2、柱面

3、二次曲面

四、平面区域的概念及其解析表示

第二节多元函数的概念

一、多元函数的定义

1、

维空间

2、

元函数定义

3、二元函数的定义域与几何图形

二、二元函数的极限与连续性

1、二元函数的极限

2、二元函数的连续性

第三节方向导数、偏导数与全微分

一、方向导数与偏导数

*1、方向导数

2、偏导数

二、全微分

1、定义

2、定理

*三、梯度

1、定义

2、性质定理

第四节多元复合函数与隐函数微分法

一、多元复合函数微分法

二、一阶全微分的形式不变性

三、隐函数微分法

第五节高阶偏导数与高阶全微分

一、高阶偏导数

二、高阶全微分

*三、二函数的泰勒公式

第六节多元函数的极值

一、多元函数的极值

1、定义

2、定理

3、二元函数极值判别法（

判别法）

二、条件极值（拉格朗日乘数法）

第七节二重积分

一、二重积分的概念和性质

1、二重积分的义

2、二重积分的性质

二、二重积分的计算

1、直角坐标系下二重积分的计算

2、极坐标系下二重积分的计算

3、二重积分的一般变量替换法

三、无界区域上的反常二重积分

第八章常微分方程

教学要求：

1、了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法。

第一节微分方程的基本概念

一、微分方程的定义

1、定义

2、

阶微分方程的一般形式0

二、微分方程的解

1、微分方程的通解

2、微分方程的特解

第二节一阶微分方程

一、可变分离变量方程

二、齐次微分方程

1、齐次微分方程

2、可化为齐次微分方程的方程

三、一阶线性微分方程

1、一阶齐次线性微分方程

2、一阶非齐次线性微分方程

3、伯努利方程

第三节二阶常系数线性微分方程

一、二阶常系数线性微分方程

1、定义

2、二阶常系数线性微分方程的通解

二、二阶常系数非齐次线性方程

1、二阶常系数非齐次线性方程的通解

2、几种常见类型

第四节微分方程在经济学中的应用

《线性代数》总学时：

51

第一章行列式

教学要求：

1、了解行列式的概念，掌握行列式的性质。

2、会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式

第一节

阶行列式

一、二阶和三阶行列式

二、排列与逆序数

1、逆序数的定义

2、逆序数的定理

三、

阶行列式

1、

阶行列式的定义

2、

阶行列式的展开式的一般项定理

第二节

阶行列式的性质

一、性质

阶行列式的五个性质定理

二、

阶行列式的代数余子式

1、

阶行列式的代数余子式的概念

2、

阶行列式的性质6

第三节

阶行列式的计算

第四节克拉默定理

第二章矩阵0

教学要求：

1、理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵的定义及性质，了解对称矩阵，反对称矩阵及正交矩阵等的定义和性质。

2、掌握矩阵的线性运算、乘法、以及它们的运算规律，掌握矩阵转置的性质，了解方阵的幂，掌握方阵乘积的行列式的性质。

3、理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

4、了解矩阵的初等变换和初等矩阵及矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，会用初等变换求矩阵的秩和逆。

5、了解分块矩阵的概念，掌握分块矩阵的运算法则。

第一节矩阵的概念

一、矩阵的定义

二、矩阵与线性方程组

1、元线性方程组的一般表达式

2、元线性方程组的系数矩阵与增广矩阵

三、常用的一些特殊矩阵

1、行矩阵和列矩阵

2、零矩阵

3、方阵

4、三角矩阵

5、对角矩阵、数量矩阵和单位矩阵

6、对称矩阵和反对称矩阵

第二节矩阵的运算

一、矩阵的加法和数与矩阵的乘法

1、矩阵的加法定义

2、数与矩阵的乘法定义

3、矩阵的加法和数乘运算律

二、矩阵的乘法

1、矩阵的乘法定义

2、矩阵的乘法运算性质

3、方阵的幂及其性质

三、矩阵的转置

1、矩阵的转置定义

2、矩阵的转置性质

第三节逆矩阵

一、逆矩阵的概念

二、矩阵可逆的条件

三、可逆矩阵的性质

第四节分块矩阵

一、分块矩阵的概念

二、分块矩阵的加法与数乘运算

三、分块矩阵的乘法

四、分块矩阵的转置

五、分块对角矩阵

第五节矩阵的初等变换与矩阵的秩

一、矩阵的初等变换

1、矩阵的初等变换概念

2、梯形矩阵的概念

3、标准形矩阵

二、矩阵的秩

三、矩阵的等价

第六节求解线性方程组的消元法

第七节初等矩阵与初等变换求逆矩阵

一、初等矩阵

二、初等变换求逆矩阵

第三章维向量与线性方程组

教学要求：

1、了解向量的概念，掌握向量的加法和数乘运算法则。

2、理解向量的线性组合与线性表示、向量组线性相关、线性无关等概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。

3、理解向量组的极大线性无关组的概念，掌握求向量组的极大线性无关组的方法。

4、了解向量组等价的概念，理解向量组的秩的概念，了解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系，会求向量组的秩。

5、会用克莱母法则解线性方程组。

6、掌握线性方程组有解和无解的判定方法。

7、理解齐次线性方程组的基础解系的概念，掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的方法。

8、掌握非齐次线性方程组的基础解系的求法，会用其特解及相应的导出组的基础解系表示非齐次线性方程组的通解。

第一节维向量

一、维向量的定义

二、维向量的运算

1、维向量的加法和数与向量乘法

2、向量的线性运算律

第二节向量的线性关系

一、向量的线性组合

二、向量的线性相关

三、线性组合与线性相关的关系

第三节向量组的秩

一、向量组的极大线性无关组

二、向量组的秩

三、向量组的秩与矩阵的秩

第四节线性方程组解的结构

一、齐次线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组的解

2、齐次线性方程组的基础解系

二、非齐次线性方程组解的结构

1、非齐次线性方程组的导出组

2、非齐次线性方程组的通解和解的结构

*第五节线性空间与线性变换

一、线性空间的概念

二、基、维数、坐标

三、线性变换

第四章矩阵的特征问题

教学要求：

1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念，掌握矩阵特征值的性质，掌握求矩阵特征值和特征向量的方法。

2、理解矩阵相似的概念，掌握相似矩阵的性质，了解矩阵可相似对角化的充分必要条件，掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法。

3、掌握实对称矩阵的特征值和特征向量的性质。

4、了解内积的概念、掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法。

第一节矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量的概念

1、矩阵的特征方程

2、矩阵的特征值

3、矩阵的特征向量

二、矩阵的特征值与特征向量的性质

第二节相似矩阵与矩阵的相似对角化

一、相似矩阵

1、相似矩阵的概念

2、矩阵相似的基本性质

二、矩阵相似于对角矩阵的条件

第三节正交向量组与正交矩阵

一、向量的内积与夹角0

1、向量的内积概念

2、向量的内积性质

3、向量的模

4、向量的长度性质

5、向量的夹角概念

二、正交向量组

三、正交矩阵与正交向量组

第四节实对称矩阵的相似对角化

一、实对称矩阵的概念

二、实对称矩阵的相似对角化

《概率论与数理统计》总学时：

51

第一章事件与概率

教学要求：

1、了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件间的关系及运算。

2、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握计算概率的加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式，以及贝叶斯公式。

3、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法。

第一节随机事件和样本空间

一、相关概念

1、随机试验

2、随机事件

3、基本事件和复杂事件

4、样本空间

5、必然事件和不可能事件

二、事件的相互关系与运算

1、事件的关系

2、事件的运算

三、事件域

第二节概率与频率

一、概率与频率的概念

1、概率定义

2、频率定义

二、概率与频率的性质

1、频率的性质

2、概率的性质

第三节古典概型

一、古典概型的定义

二、古典概型的概率公式和计算运用

第四节概率的公理化定义及概率的性质

一、几何概率

二、概率的性质

1、非负性

2、规范性

3、可列可加性

三、概率的一般加法公式

第五节条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

一、条件概率

1、条件概率的定义

2、条件概率公式和概率的乘法公式

二、全概率公式（先验概率）

三、贝叶斯公式（后验概率）

第六节独立性

一、一般的概率乘法公式

二、事件的相互独立概念及公式

第七节贝努里概型

第二章离散型随机变量

教学要求：

1、理解离散型随机变量及其概率分布的概念；理解分布列的概念及性质；会计算与离散型随机变量相联系的事件的概率。

2、掌握0-1分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用。

3、掌握泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。

4、会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。

5、理解离散型随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式；离散型联合概率分布，掌握两个随机变量的联合分布的边缘分布和条件分布。

6、理解离散型随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件；理解随机变量的不相关性与独立性的关系。

7、理解离散型随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概念，并会运用数学特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

8、会根据离散随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据两个随机变量联合概率分布列求其数学期望。

第一节一维随机变量及分布列

一、一维离散型随机变量的概念

二、二项分布

1、二项分布的概念

2、二点分布

3、单点分布或退化分布

4、几何分布

5、泊松分布

第二节多维随机变量、联合分布列边际（缘）分布列

一、

维随机变量的概念

二、二维离散型随机变量的联合分布列

三、联合分布列的边际分布

四、离散型随机变量的相互独立性