大学物理实验数据处理基本方法.docx
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大学物理实验数据处理基本方法
实验数据处理基本方法
实验必须采集大量数据，数据处理是指从获得数据开始到得出最后结论的整个加工过程，它包括数据记录、整理、计算与分析等，从而寻找出测量对象的内在规律，正确地给出实验结果。
因此，数据处理是实验工作不可缺少的一部分。
数据处理涉及的内容很多，这里只介绍常用的四种方法。
1列表法
对一个物理量进行多次测量，或者测量几个量之间的函数关系，往往借助于列表法把实验数据列成表格。
其优点是，使大量数据表达清晰醒目，条理化，易于检查数据和发现问题，避免差错，同时有助于反映出物理量之间的对应关系。
所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每一个同学都要掌握的基本技能。
列表没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应注意以下几点：
1．各栏目均应注明所记录的物理量的名称（符号）和单位；
2．栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理；
3．表中的原始测量数据应正确反映有效数字，数据不应随便涂改，确实要修改数据时，
应将原来数据画条杠以备随时查验；
4．对于函数关系的数据表格，应按自变量由小到大或由大到小的顺序排列，以便于判
断和处理。
2图解法
图线能够明显地表示出实验数据间的关系，并且通过它可以找出两个量之间的数学关系，因此图解法是实验数据处理的重要方法之一。
图解法处理数据，首先要画出合乎规范的图线，其要点如下：
1.选择图纸作图纸有直角坐标纸（即毫米方格纸）、对数坐标纸和极坐标纸等，根据
作图需要选择。
在物理实验中比较常用的是毫米方格纸，其规格多为
1725cm。
2.曲线改直由于直线最易描绘,且直线方程的两个参数（斜率和截距）也较易算得。
所以对于两个变量之间的函数关系是非线性的情形，在用图解法时应尽可能通过变量代换
将非线性的函数曲线转变为线性函数的直线。
下面为几种常用的变换方法。
（1）
xy
c（c为常数）。
令z
1，则y
cz，即y与z为线性关系。
x
（2）
x
cy（c为常数）。
令z
x2，则
y
1
z
，即y与z
为线性关系。
c2
（3）
y
axb（a和b为常数）。
等式两边取对数得，lgy
lga
blgx。
于是，lgy与lgx
为线性关系，b为斜率，lga为截距。
（4）
y
aebx（a和b为常数）。
等式两边取自然对数得，
lny
lnabx。
于是，lny与
x为线性关系，b为斜率，lna为截距。
—1—
3.确定坐标比例与标度合理选择坐标比例是作图法的关键所在。
作图时通常以自变
量作横坐标（x轴），因变量作纵坐标（y轴）。
坐标轴确定后，用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，并注明坐标轴所代表物理量的符号和单位。
坐标比例是指坐标轴上单位长度（通常为1cm）所代表的物理量大小。
坐标比例的选取应注意以下几点：
（1）原则上做到数据中的可靠数字在图上应是可靠的，即坐标轴上的最小分度（1mm）
对应于实验数据的最后一位准确数字。
坐标比例选得过大会损害数据的准确度。
（2）坐标比例的选取应以便于读数为原则，常用的比例为“1∶1”、“1∶2”、“1∶5”（包
括“1∶0.1”、“1∶10”,），即每厘米代表“1、2、5”倍率单位的物理量。
切勿采用复杂
的比例关系，如“1∶3”、“1∶7”、“1∶9”等。
这样不但不易绘图，而且读数困难。
坐标比例确定后，应对坐标轴进行标度，即在坐标轴上均匀地（一般每隔2cm）标出所
代表物理量的整齐数值，标记所用的有效数字位数应与实验数据的有效数字位数相同。
标度不一定从零开始，一般用小于实验数据最小值的某一数作为坐标轴的起始点，用大于实验数据最大值的某一数作为终点，这样图纸可以被充分利用。
4.数据点的标出实验数据点在图纸上用“+”符号标出，符号的交叉点正是数据点的
位置。
若在同一张图上作几条实验曲线，各条曲线的实验数据点应该用不同符号（如×、⊙
等）标出，以示区别。
5.曲线的描绘由实验数据点描绘出平滑的实验曲线，连线要用透明直尺或三角板、曲线板等拟合。
根据随机误差理论，实验数据应均匀分布在曲线两侧，与曲线的距离尽可能小。
个别偏离曲线较远的点，应检查标点是否错误，若无误表明该点可能是错误数据，在连线时不予考虑。
对于仪器仪表的校准曲线和定标曲线，连接时应将相邻的两点连成直线，整个曲线呈折线形状。
6.注解与说明在图纸上要写明图线的名称、坐标比例及必要的说明（主要指实验条
件），并在恰当地方注明作者姓名、日期等。
7.直线图解法求待定常数直线图解法首先是求出斜率和截距，进而得出完整的线性方程。
其步骤如下：
（1）选点。
在直线上靠近实验数据两端点内侧取两点A（x1,y1）、B（x2,y2），并用不同
于实验数据的符号标明，在符号旁边注明其坐标值（注意有效数字）。
若选取的两点距离较
近，计算斜率时会减少有效数字的位数。
这两点既不能在实验数据范围以外取点，因为它
已无实验根据，也不能直接使用原始测量数据点计算斜率。
（2）求斜率。
设直线方程为yabx，则斜率为
y2
y1
（
1-5-1）
b
x2x1
（3）求截距。
截距的计算公式为
ay1bx1（1-5-2）
—2—
【例7】金属电阻与温度的关系可近似表示为
R
R0（1t），R0为t
0℃时的电阻，
为电阻的温度系数。
实验数据见下表，试用图解法建立电阻与温度关系的经验公式。
i
1
2
3
4
5
6
7
t（℃）
10.5
26.0
38.3
51.0
62.8
75.5
85.7
R（）
10.423
10.892
11.201
11.586
12.025
12.344
12.679
R（）
12.700
R~t图
+
坐标比例：
5.0℃/cm，0.100Ω/cm
△B（83.5,12.600）
12.500
+
12.300
12.100
11.900
+
11.700
+
11.500
11.300
+
11.100
10.900
+
0101101班陈建军
2001年3月15日
10.700
10.500△+A（13.0,10.500）
10.300
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
60.0
70.0
80.0
90.0
t（
C）
图1-5-1铜丝电阻与温度关系曲线
【解】温度t起点10.0C，电阻R起点10.400
。
比例测算，t轴：
90.010.0
4.7，
17
—3—
故取为5.0C/cm；R轴：
12.800
10.400
0.096，故取为0.100
/cm。
对照比例选择原
25
则知，选取的比例满足要求。
所绘图线见图
1-5-1。
在图线上取两点
A（13.0,10.500）和B（83.5,12.600），斜率和截距计算如下：
b
y2
y112.600
10.500
2.100
/C
x2
x1
83.5
13.0
0.0298
70.5
R0R1
bt1
10.500
0.0298
13.0
10.5000.387
10.113
b0.02982.95103/CR010.113
所以，铜丝电阻与温度的关系为
R10.113（12.95103t）
3逐差法
当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，用逐差法处理数据，既能充分利用实验数据，又具有减小误差的效果。
具体做法是将测量得到的偶数组数据分成前后两组，将对应项分别相减，然后再求平均值。
例如，在弹性限度内，弹簧的伸长量x与所受的载荷（拉力）F满足线性关系
Fkx
实验时等差地改变载荷，测得一组实验数据如下表：
砝码质量（Kg）
1.000
2.000
3.000
4.000
5.000
6.000
7.000
8.000
弹簧伸长位置（cm）
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
求每增加1Kg砝码弹簧的平均伸长量
x。
若不加思考进行逐项相减，很自然会采用下列公式计算
x
1
x1）（x3x2）
（x8
x7）
1
x1）
（x2
（x8
7
7
结果发现除x1和x8外，其它中间测量值都未用上，它与一次增加
7个砝码的单次测量等价。
若用多项间隔逐差，即将上述数据分成前后两组，前一组（x1,x2,x3,x4），后一组
（x5,x6,x7,x8），然后对应项相减求平均，即
x
1
x1）（x6
x2）（x7x3）（x8x4）
（x5
4
4
这样全部测量数据都用上，保持了多次测量的优点，减少了随机误差，计算结果比前面的
要准确些。
逐差法计算简便，特别是在检查具有线性关系的数据时，可随时“逐差验证”，及时发现数据规律或错误数据。
—4—
4最小二乘法
由一组实验数据拟合出一条最佳直线，从而准确地求出两个物理量之间的线性函数关
系，常用的方法是最小二乘法。
设物理量
y和x之间的满足线性关系，则函数形式为
y
a
bx
最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数
a和b，即直线的斜率和截距。
我们讨论最简单的情况，即每个测量值都
y
是等精度的，且假定
x和y值中只有y有明显
yi
+
的测量随机误差。
如果
x和y均有误差，只要
i
把误差相对较小的变量作为
x即可。
由实验测
+
量得到一组数据为
（xi,yi;i
1,2,
n），其中
+
xxi时对应的y
yi。
由于测量总是有误差
+
的，我们将这些误差归结为
yi的测量偏差，并
+
记为1，2
，,，
n，见图1-5-2。
这样，将
+
实验数据（xi
yi
）代入方程y
abx后，得到
x
y1
（a
bx1）
1
xi
y2
（a
bx2）
2
图1-5-2yi的测量偏差
yn
（a
bxn）
n
我们要利用上述的方程组来确定
a和b，那么a和b要满足什么要求呢？
显然，比较合理
的a和b是使1
，2
，,，
n数值上都比较小。
但是，每次测量的误差不会相同，反映在
1，2，,，
n
大小不一，而且符号也不尽相同。
所以只能要求总的偏差最小，即
n
2
min
i
i1
n
n
令
S
i2
（yi
abxi）2
i
1
i
1
使S为最小的条件是
S
，S
0
，
2S
2
S
0
0
a2
0，
2
a
b
b
由一阶微商为零得
S
n
2
（yi
a
bxi）
0
a
i
1
S
n
2（yi
abxi）xi0
b
i
1
n
n
n
x2i
n
i
xi
（xiyi）
i1
i
yi
解得
a
1i
1
1
（1-5-3）
n
2
n
2
xi
n
xi
i1
i
1
—5—
nnn
xi
yi
n（xiyi）
b
i1
i1
i
1
（1-5-4）
n
2
n
2
i
xi
n
xi
1
i1
1n
1n
1n
2
1n
1n
令x
x1，y
2
，x
2
2
，xy
ni1
yi，x
x1
xi
（x1yi），则
ni1
ni1
ni1
ni1
a
y
bx
（1-5-5）
b
x
y
xy
（1-5-6）
x2
x2
如果实验是在已知y和x满足线性关系下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合
（又
称一元线性回归）可解得斜率a和截距b,从而得出回归方程
y
abx。
如果实验是要通过
对x、y的测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程
是否恰当。
这可用下列相关系数
r来判别
r
xy
x
y
（
1-5-7）
（x2
x2）（y2
y2）
1n
2
1n
其中y
2
2
2
。
y1
，y
ni
yi
ni1
1
可以证明，|r|值总是在0
和1
之间。
|r|值越接近1，说明实验数据点密集地分布在所
拟合的直线的近旁，用线性函数进行回归是合适的。
|r|
1表示变量x、y完全线性相关，
拟合直线通过全部实验数据点。
|r|值越小线性越差，一般
|r|
0.9时可认为两个物理量之
间存在较密切的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义，见图
1-5-3。
y
y
r
0.93
+
r
0.60
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x
x
图1-5-3
相关系数与线性关系长
—6—
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