高考数学一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和学案理.docx

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高考数学一轮复习第六章数列63等比数列及其前n项和学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第六章数列6-3等比数列及其前n项和学案理

考纲展示►　

1.理解等比数列的概念.

2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.

4.了解等比数列与指数函数的关系.

考点1　等比数列的判定与证明

1.等比数列的有关概念

（1）定义：

如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的比等于________（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的________，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.

（2）等比中项：

如果a，G，b成等比数列，那么________叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔________.

答案：

（1）2　同一个常数　公比　

（2）G　G2＝ab

2．等比数列的有关公式

（1）通项公式：

an＝________.

（2）前n项和公式：

Sn＝

答案：

（1）a1qn－1　

（2）na1

[典题1]　已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1（n≥2），且an＋Sn＝n.

（1）设cn＝an－1，求证：

{cn}是等比数列；

（2）求数列{bn}的通项公式．

（1）[证明]　∵an＋Sn＝n，①

∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②

②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，

∴2（an＋1－1）＝an－1，

∴＝，∴{an－1}是等比数列．

又a1＋a1＝1，∴a1＝，又cn＝an－1，

∴c1＝a1－1＝－.

∴{cn}是以－为首项，以为公比的等比数列．

（2）[解]　由

（1）可知，

cn＝·n－1＝－n，

∴an＝cn＋1＝1－n.

∴当n≥2时，

bn＝an－an－1＝1－n－

＝n－1－n＝n.

又b1＝a1＝，代入上式也符合，

∴bn＝n.

[点石成金]　等比数列的四种常用判定方法

（1）定义法：

若＝q（q为非零常数，n∈N*）或＝q（q为非零常数且n≥2，n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（2）中项公式法：

若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（3）通项公式法：

若数列通项公式可写成an＝c·qn－1（c，q均是不为0的常数，n∈N*），则数列{an}是等比数列．

（4）前n项和公式法：

若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k（k为常数且k≠0，q≠0,1），则数列{an}是等比数列．

[提醒]　

（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.

设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.

（1）设bn＝an＋1－2an，求证：

数列{bn}是等比数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明：

由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，得

a1＋a2＝S2＝4a1＋2.

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.

又

①－②，得an＋1＝4an－4an－1（n≥2），

∴an＋1－2an＝2（an－2an－1）．

∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，

故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．

（2）解：

由

（1）知，bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，

∴－＝，

故是首项为，公差为的等差数列．

∴＝＋（n－1）·＝，

化简，得an＝（3n－1）·2n－2.

考点2　等比数列的基本运算

（1）[教材习题改编]已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项公式an＝________.

答案：

3×2n－3

解析：

设等比数列{an}的公比为q，则

②÷①，得q7＝128，即q＝2，

把q＝2代入①，得a1＝，

∴数列{an}的通项公式为

an＝a1qn－1＝×2n－1＝3×2n－3.

（2）[教材习题改编]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.

答案：

等比数列的两个非零量：

项；公比．

（1）等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第4项等于________．

答案：

－24

解析：

由等比数列的前三项为x,3x＋3,6x＋6，可得（3x＋3）2＝x（6x＋6），

解得x＝－3或x＝－1（此时3x＋3＝0，不合题意，舍去），则该等比数列的首项为x＝－3，公比q＝＝2，所以第4项为（6x＋6）×q＝－24.

（2）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝__________.

答案：

－2

解析：

∵S3＋3S2＝0，

∴a1＋a2＋a3＋3（a1＋a2）＝0，

∴a1（4＋4q＋q2）＝0.

∵a1≠0，∴q＝－2.

[考情聚焦]　等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中低档题．

主要有以下几个命题角度：

角度一

求首项a1，公比q或项数n

[典题2]　[2017·浙江绍兴柯桥区高三二模]已知等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3，则此数列的公比为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

[答案]　B

[解析]　由a5＝2S4＋3，a6＝2S5＋3可得a6－a5＝2a5，即＝3，故选B.

角度二

求通项或特定项

[典题3]　[2017·广西南宁测试]在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列，则an＝________.

[答案]　2n

[解析]　设数列{an}的公比为q，

∵2a1，a3,3a2成等差数列，

∴2a1＋3a2＝2a3，

即2a1＋3a1q＝2a1q2，即2q2－3q－2＝0，

解得q＝2或q＝－.

∵q>0，∴q＝2.

∵a1＝2，

∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.

角度三

求前n项和

[典题4]　

（1）已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为（　　）

A.　　B．31

C.　　D．以上都不正确

[答案]　B

[解析]　设{an}的公比为q，q＞0.

由已知，得a4＋3a3＝2×5a2，

即a2q2＋3a2q＝10a2，即q2＋3q－10＝0，

解得q＝2或q＝－5（舍去），

又a2＝2，则a1＝1，

所以S5＝＝＝31.

（2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若27a3－a6＝0，则＝________.

[答案]　28

[解析]　由题可知{an}为等比数列，设首项为a1，公比为q，所以a3＝a1q2，a6＝a1q5，所以27a1q2＝a1q5，所以q＝3，由Sn＝，得S6＝，S3＝，所以＝·＝28.

[点石成金]　解决与等比数列有关问题的常用思想方法

（1）方程的思想：

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a1和q，问题可迎刃而解．

（2）分类讨论的思想：

等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论．当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.

考点3　等比数列的性质

等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·________（n，m∈N*）．

（2）若m＋n＝p＋q＝2k（m，n，p，q，k∈N*），则am·an＝________＝________.

（3）若数列{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，（λ≠0）仍然是等比数列．

（4）在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.

答案：

（1）qn－m　

（2）ap·aq　a

等比数列的基本公式：

通项公式；前n项和公式．

（1）在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝4，则公比q＝________.

答案：

2

解析：

由a4＝a1q3，得4＝q3，解得q＝2.

（2）各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则公比q＝________.

答案：

解析：

易知公比q不为1，由等比数列求和公式得＝，即1＋q4＝，所以q4＝，得q＝或q＝－（舍去）.

应用等比数列的前n项和公式的两个注意点：

公比应分q＝1与q≠1讨论；注意利用性质．

（1）设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则此数列的公比q＝________.

答案：

1或－

解析：

当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，符合题意；当q≠1时，＝3a1q2，

∵a1≠0，所以1－q3＝3q2（1－q），

∴2q3－3q2＋1＝0，

即（q－1）2（2q＋1）＝0，

解得q＝－.

综上所述，q＝1或q＝－.

（2）在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝1，a4＋a5＋a6＝－2，则该数列的前15项的和S15＝________.

答案：

11

解析：

由题意知a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，…成等比数列，其公比q＝＝－2，首项为a1＋a2＋a3＝1，因此该数列的前5项和就是数列{an}的前15项的和，故S15＝＝11.

[典题5]　

（1）[2017·广东广州综合测试]已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7（a1＋2a3）＋a3a9＝（　　）

A．10　B．20

C．100　　D．200

[答案]　C

[解析]　a7（a1＋2a3）＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝（a4＋a6）2＝102＝100.

（2）[2017·吉林长春调研]在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.

[答案]　14

[解析]　设数列{an}的公比为q，

由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得

q9＝3，又an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，

因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14.

[点石成金]　等比数列常见性质的应用

等比数列的性质可以分为三类：

（1）通项公式的变形；

（2）等比中项的变形；（3）前n项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.

1.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝（　　）

A．2　　B.

C.　　D．1或2

答案：

B

解析：

设S2＝k，S4＝3k，由数列{an}为等比数列，得S2，S4－S2，S6－S4为等比数列，∴S2＝k，S4－S2＝2k，S6－S4＝4k，∴S6＝7k，S4＝3k，

∴＝＝.

2．[2017·甘肃兰州诊断]数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2015），则a21＝________.

答案：

2015

解析：

由bn＝，且a1＝1，得

b1＝＝a2，

b2＝，a3＝a2b2＝b1b2，

b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，

an＝b1b2…bn－1，

∴a21＝b1b2…b20.

∵数列{bn}为等比数列，

∴a21＝（b1b20）（b2b19）…（b10b11）＝（b10b11）10

＝（2015））10＝2015.

[方法技巧]　1.判断数列为等比数列的方法

（1）定义法：

＝q（q是不等于0的常数，n∈N*）⇔数列{an}是等比数列；也可用＝q（q是不等于0的常数，n∈N*，n≥2）⇔数列{an}是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同．

（2）等比中项法：

a＝anan＋2（anan＋1an＋2≠0，n∈N*）⇔数列{an}是等比数列．

2．常用结论

（1）若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．

（2）若数列{an}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.

[易错防范]　1.特别注意当q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．

2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.

3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列（例如：

当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列），但等式（S2n－Sn）2＝Sn·（S3n－S2n）总成立．

真题演练集训

1．[2015·新课标全国卷Ⅱ]已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝（　　）

A．21　　　　　　　B．42　　　　　　　　　　

C．63　　　　　　　D．84

答案：

B

解析：

设等比数列{an}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，得3（1＋q2＋q4）＝21，解得q2＝－3（舍去）或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2（a1＋a3＋a5）＝2×21＝42，故选B.

2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．

答案：

64

解析：

设等比数列{an}的公比为q，

∴⇒

解得

∴a1a2…an＝（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）

＝n（n－7））＝），

当n＝3或4时，取到最小值－6，

此时）取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.

3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.

答案：

6

解析：

∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.

4．[2015·安徽卷]已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列的前n项和等于________．

答案：

2n－1

解析：

设等比数列的公比为q，

则有解得或

又{an}为递增数列，

∴∴Sn＝＝2n－1.

5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S5＝，求λ.

解：

（1）由题意，得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1（λ－1）＝λan，

由a1≠0，λ≠0，得an≠0，所以＝.

因此{an}是首项为，公比为的等比数列，

从而得通项公式an＝n－1.

（2）由

（1），得Sn＝1－n.

由S5＝，得1－5＝，

即5＝，解得λ＝－1.

课外拓展阅读

分类讨论思想在等比数列中的应用

[典例]　已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），且－2S2，S3,4S4成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证：

Sn＋≤（n∈N*）．

[审题视角]

（1）利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；

（2）求出前n项和，根据函数的单调性证明．

（1）[解析]　设等比数列{an}的公比为q，

因为－2S2，S3,4S4成等差数列，

所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，

可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.

又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为

an＝×n－1＝（－1）n－1·.

（2）[证明]　由

（1）知，Sn＝1－n，

Sn＋＝1－n＋

＝

当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S1＋＝；

当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，

所以Sn＋≤S2＋＝.

故对于n∈N*，有Sn＋≤.

方法点睛

1．分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：

（1）已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况讨论．

（2）等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论．

（3）项数的奇、偶数讨论．

（4）等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．

2．数列与函数联系密切，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别．