复变函数与积分变换期末试题附有答案.docx
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复变函数与积分变换期末试题附有答案
复变函数与积分变换期末试题
1.填空题（每小题3分，共计15分）
1.匕竺3的幅角是（—殳+2kjk=O,±1,±2…）；2.Ln（-1+i）的主值是23
（2ln2+%i）；3.f（Z）=-^Z2，f（5）（O）=（O）,4.Z=O是z-sinz1
4—的（一级）极点；5.f（z）=—,Res[f（z）严]=（-1）；
ZZ
2.选择题（每题3分，共15分）
1.解析函数f（z^u（x,y）iv（x,y）的导函数为（）；
（A）f（Z^UXiuy；（B）f（Z^Uχ-iuy；
（C）f（Z^UXiVy；（D）f（Z^UyiVx.
）,则勺f（z）dz=0.
C
2.C是正向圆周Z=3,如果函数f（z）=（
OO
3.如果级数'CnZn在Z=2点收敛，则级数在
nM
（A）Z=2点条件收敛；（B）Z=2i点绝对收敛;
（C）1i点绝对收敛；（D）Z=1∙2i点一定发散.
4.下列结论正确的是（）
（A）如果函数f（z）在Zo点可导，则f（z）在Z点一定解析;
（B）如果f（z）在C所围成的区域内解析，贝U.cf（z）dz=0
（C）如果Cf（Z）dz=0,则函数f（z）在C所围成的区域内一定解析;
（D）函数f（z^u（x,y）iv（x,y）在区域内解析的充分必要条件是
U（X）y）、V（X）y）在该区域内均为调和函数.
5.下列结论不正确的是（）.
1
（A）：
：
为sin—的可去奇点；（B）为SinZ的本性奇点;
Z
3.按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）
（1）.设f（z）=X2∙axyby2i（cx2dxyy2）是解析函数，求
a,b,c,d.
解：
因为f（z）解析，由C-R条件
-X:
y:
y:
X
2xay=dx2yax2by=「2cx-dy,
a=2,d=2,,a--2c,2b--d,c--1,b--1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分
Z
e
（2）.计算鑒一dZ其中C是正向圆周:
C（Z_1）Z
解：
本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程
Z
因为函数f（z）=令在复平面内只有两个奇点z-0-z-1,分别以N'-为圆心画互不相交互不包含的小圆c1,c2且位于C内
Z
e
C2（z-1）2dZ
IrdZ-C3
C（Z-1）ZCIZ
2二i
ZT（Z—1）
解：
设f（Z）在有限复平面内所有奇点均在：
Z£3内，由留数定理
（8分）
=2：
iRes[f（-）4r]
ZZ
（1）15
Z
（112）2（2
（1）4）3Z2
Z
有唯一的孤立奇点z=0,
11
f（—）--2243
ZZz（1■Z）（2z-1）
点？
，如果有极点，请指出它的级
解：
f（Z）=Z（Z_I）（Z2）3（z_3）的奇点为z=k,k=0,1,2,3,，:
（Si^Z）
（1）z=k,k=0,-1,-2,一3,…为（SinZ）3=0的三级零点，
⑵Z=0,Z=1,为f（z）的二级极点，Z=-2是f（z）的可去奇点,
（3）z=3为f（z）的一级极点,
（4）z=2,-3,_4,为f（z）的三级极点；
（5）：
：
为f（Z）的非孤立奇点。
备注：
给出全部奇点给5分，其他酌情给分。
1
四、（本题14分）将函数f（z）在以下区域内展开成罗朗级数;
Z（Z—1）
（1）OCz—1Cl，
（2）
OqZ：
：
：
1，（3）1：
：
IZ：
：
：
：
：
解：
（1）当0CZ—1£1
1
而[-]T（-1）n（z-1）n]（Z-11）n=0
八（-1）nn（z-1）2
n=0
OCl
f（Z）八（-1）n
n=0
1n_2
n（z-1）
6
分
（2）当O：
：
：
Z1
1
X/-τ∖——
1
1o0
n
2Z
f（z）一2Z
2=
Z（Z-1）
Z（^Z）
Zn=0
（3）当1：
：
：
Z
每步可以酌情给分。
y"（x）_5y（x）+4y（x）=e」
y（0）=1*（0）=1
解：
对y（x）的LaPIaCe变换记做L（S）,依据LaPIaCe变换性质有
（5分）
2
SL（S）-S-1-5（SL（S）-1）4L（s）=
整理得
（7分）
=11丄1丄1
^10（s1）6（s-1）15（s-4）s-1
5—
10（s1）6（s-1）15（s-4）
y（x）IeX
106
14x
e
（10分）
六、（6分）求f（t）=^ItIC0）的傅立叶变换，并由此证明:
j+=cX
COStt∣
22de11
0—22
解：
FCHe」teTdt（0）
F^Hfe%efidtr
0
e'te'dt（0）
「i）t
e
亠i
-^O
1
F（V^Tri
（0）------4分
1⅛c
f（t）=2r-
eitF（）d（
O）5分
』丄-
：
2nF2
d（0）
⅛cβ
2.2（COStisint）d
iSintd（0）
■■■■.∣.'-2汕严2
2COSt
f（X—O-πd（O），
CoStd^iItl
o22d2e
二.选择题（每小题3分，共计15分）
1.解析函数f（Z）=u（x,y）iv（x,y）的导函数为（）；
（A）f（Z^IJyiVX；（B）f（Z）=U^iUy；
（C）f（Z^UXivy；（D）f（Z^UXiUy.
2.C是正向圆周z=2,如果函数f（z）=（）,则勺f（z）dz=O.
'C
（A）3；（B）玉；（C）JZT;（D）
ZTZT（ZT）（ZT）
共6页第页
3•如果级数JCnZn在z=2i点收敛，则级数在
n=1
（A）Z=—2点条件收敛;（B）z=—2i点绝对收敛；
（C）i点绝对收敛；（D）z=1∙2i点一定发散.
4.下列结论正确的是（）
（A）如果函数f（z）在Zo点可导，则f（z）在Zo点一定解析;
（B）如果；cf（z）dz=0,其中C复平面内正向圭寸闭曲线,则f（z）在C所围成的区域内一定解析；
（C）函数f（z）在Zo点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为Z-Z0的幕级数，而且展开式是唯一的；
（D）函数f（Z^U（X）y）iv（x,y）在区域内解析的充分必要条件是U（X）y）>
V（X）y）在该区域内均为调和函数.
5.下列结论不正确的是（）.
（A）、n是复平面上的多值函数；（B）、CoSZ是无界函数；
（C）、Sinz是复平面上的有界函数；（D）、ez是周期函数.
（1）求a,b,C,d使f（z）=x2axy'by2i（cx2'dxyy2）是解析函数,
解：
因为f（z）解析，由C-R条件
共6页第页
-X:
y:
y:
X
2xay=dx2yax2by=「2cx-dy,
a=2,d=2,,a--2c,2b--d,c--1,b--1,
给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
（2）.Iz（z[1）2dZ•其中C是正向圆周∣z=2;
解：
本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程
因为函数f（Z）1■亍在复平面内只有两个奇点z1=0,z2=1,分别以Z1,Z2
（z-1）2z1
=0
Z=Q
=2巧
1
3Z
（3）.计算:
ZezI
Cdz,其中C是正向圆周z=2；
C（I_z）
解：
设f（Z）在有限复平面内所有奇点均在：
z<2内，由留数定理
<皑f（Z）dz=-2引Res[f（z）,o°]=21ic^—（5分）
仁IZ：
：
：
1
z3ez
（T^
z2ez
Z
2-Z
（1+丄+
Z2!
z23!
z
11XZII1
）（1-
2323
ZZZ
Z1r）（11
2!
3!
z4!
z2Z
CJ--（IV--）
2!
3!
IZj（z）dz—IRi
极点，请指出它的级
f（z）的奇点为z=k,k=0,一1,一2,一3,,：
：
z=k,k=0,-1,-2,-3,…为（SinZ）3=0的三级零点，
Z^1,为f（Z）的二级极点，Z=「2是f（z）的可去奇点,
z=0,2,-3,-4…，为f（z）的三级极点；
为f（Z）的非孤立奇点。
给出全部奇点给5分。
其他酌情给分。
共6页第页
朗级数;
四、
（本题14分）将函数f⑵二
1
B在以下区域内展开成罗
（1）
OCz+1
：
：
1
（2）
当0c∣z+1c1
<1,
（2）0：
：
：
Z：
：
1,（3）
1•；：
IZ：
：
：
：
：
Z2（Z1）（Z1）[（1—（Z1）]
1
而［心」丁1门：
n（z1）2
QO
f（z）='n（z1）n^
n=0
（2）当O：
Z1
1
z2（z1）
、（T）nZn
n=0
八（T）Zz
n=0
10
（3）当1：
：
：
Z<:
:
f（z）
f（z）二
z2（z1）
z3（1+l）
Z
Zn-0Z
n=0
八（-1）n
n=0
n：
3
Z
14
五.
（本题10分）用LaPIaCe变换求解常微分方程定解问题
y（x）2y（x）-3y（x）=^X
y（0）=0,y（0）=1
解：
对y（χ）的LaPlaCe变换记做L（S）,依据LaPIaCe变换性质有
S2L（S）-12sL（s）-3L（S）=1
整理得
⅛c
SinCOStd=
解：
FC）
e"Ltf（t）dt
FC）
1..
JeJtdt
f（t）
e-
-i■
.e=I
"l-ei,2sin
ωω
eitF（）d
r⅛0
5CoStd
1Sin•
（CoStiSint）d
JrqOCC
i=SinSIntI
Jd⑷
JlSω
：
：
1
=1
1
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