简单的线性规划问题.docx

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简单的线性规划问题

学案35　简单的线性规划问题

导学目标：

1.从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

自主梳理

1．二元一次不等式（组）表示的平面区域

（1）判断不等式Ax＋By＋C>0所表示的平面区域，可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧的半平面内选取一个特殊点，如选原点或坐标轴上的点来验证Ax＋By＋C的正负．当C≠0时，常选用______________．

对于任意的二元一次不等式Ax＋By＋C>0（或<0），无论B为正值还是负值，我们都可以把y项的系数变形为正数，当B>0时，

①Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域；

②Ax＋By＋C<0表示直线Ax＋By＋C＝0______的区域．

（2）画不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域时，其边界直线应为虚线；画不等式Ax＋By＋C≥0表示的平面区域时，边界直线应为实线．画二元一次不等式表示的平面区域，常用的方法是：

直线定“界”、原点定“域”．

2．线性规划的有关概念

（1）线性约束条件——由条件列出一次不等式（或方程）组．

（2）线性目标函数——由条件列出一次函数表达式．

（3）线性规划问题：

求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题．

（4）可行解：

满足________________的解（x，y）．

（5）可行域：

所有________组成的集合．

（6）最优解：

使______________取得最大值或最小值的可行解．

3．利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域．

（2）作出目标函数的等值线．

（3）确定最优解：

在可行域内平行移动目标函数等值线，从而确定__________．

自我检测

1．（2011·北京东城1月检测）在平面直角坐标系中，若点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（　　）

A．（－∞，1）B．（1，＋∞）

C．（－1，＋∞）D．（0,1）

2．不等式（x－2y＋1）（x＋y－3）≤0在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示）应是（　　）

3．（2010·重庆）设变量x，y满足约束条件

则z＝3x－2y的最大值为（　　）

A．0B．2C．4D．6

4．（2010·浙江）若实数x，y满足不等式组

且x＋y的最大值为9，则实数m等于（　　）

A．－2B．－1C．1D．2

5．（2010·天津河西高三期中）已知实数x，y满足

则z＝2x－y的最大值为________.

探究点一　不等式组表示的平面区域

例1

　画出不等式组

表示的平面区域，并回答下列问题：

（1）指出x，y的取值范围；

（2）平面区域内有多少个整点？

变式迁移1　（2011·安庆模拟）在平面直角坐标系中，有两个区域M、N，M是由三个不等式y≥0，y≤x和y≤2－x确定的；N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t＋1（0≤t≤1）所确定．设M、N的公共部分的面积为f（t），则f（t）等于（　　）

A．－2t2＋2tB.

（t－2）2

C．1－

t2D．－t2＋t＋

探究点二　求目标函数的最值

例2

　（2010·天津）设变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝4x＋2y的最大值为（　　）

A．12B．10C．8D．2

变式迁移2　（2010·山东）设变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为（　　）

A．3，－11B．－3，－11

C．11，－3D．11,3

探究点三　线性规划的实际应用

例3

　某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分和200元/分．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问：

该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

变式迁移3　（2010·四川）某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为（　　）

A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱

B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱

C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱

D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱

数形结合思想的应用

例

　（12分）变量x、y满足

（1）设z＝4x－3y，求z的最大值；

（2）设z＝

，求z的最小值；

（3）设z＝x2＋y2，求z的取值范围．

【答题模板】

解　

由约束条件

作出（x，y）的可行域如图所示．

由

，解得A

.

由

，解得C（1,1）．由

，

解得B（5,2）．[4分]

（1）由z＝4x－3y，得y＝

x－

.

当直线y＝

x－

过点B时，－

最小，z最大．

∴zmax＝4×5－3×2＝14.[6分]

（2）∵z＝

＝

，∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．

观察图形可知zmin＝kOB＝

.[9分]

（3）z＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，

dmin＝|OC|＝

，dmax＝|OB|＝

.∴2≤z≤29.[12分]

【突破思维障碍】

1．求解目标函数不是直线形式的最值的思维程序是：

→

→

→

2．常见代数式的几何意义主要有以下几点：

（1）

表示点（x，y）与原点（0,0）的距离；

表示点（x，y）与点（a，b）的距离．

（2）

表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率；

表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．

【易错点剖析】

本题会出现对

（2）（3）无从下手的情况，原因是学生没有数形结合思想的应用意识，不知道从目标函数表示的几何意义入手解题．

1．在直角坐标系xOy内，已知直线l：

Ax＋By＋C＝0与点P（x0，y0），若Ax0＋By0＋C>0，则点P在直线l上方，若Ax0＋By0＋C<0，则点P在直线l下方．

2．在直线l：

Ax＋By＋C＝0外任意取两点P（x1，y1）、Q（x2，y2），若P、Q在直线l的同一侧，则Ax1＋By1＋C

与Ax2＋By2＋C同号；若P、Q在直线l异侧，则Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号，这个规律可概括为“同侧同号，异侧异号”．

3．线性规划解决实际问题的步骤：

①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数（直线）求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解．

（满分：

75分）

一、选择题（每小题5分，共25分）

1．（2011·龙岩月考）下面给出的四个点中，位于

表示的平面区域内的点是（　　）

A．（0,2）B．（－2,0）

C．（0，－2）D．（2,0）

2．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{（x，y）|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{（x＋y，x－y）|（x，y）∈A}的面积为（　　）

A．2B．1C.

D.

3．（2011·广东）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组

给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为（

，1），则z＝

·

的最大值为（　　）

A．4

B．3

C．4D．3

4．（2011·安徽）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为（　　）

A．1，－1B．2，－2

C．1，－2D．2，－1

5．（2011·四川）某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于（　　）

A．4650元B．4700元

C．4900元D．5000元

二、填空题（每小题4分，共12分）

6．（2010·北京改编）设不等式组

表示的平面区域为D.若指数函数y＝ax的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是________．

7．（2011·长沙一中月考）已知实数x、y同时满足以下三个条件：

①x－y＋2≤0；②x≥1；③x＋y－7≤0，则

的取值范围是______________．

8．（2011·湖南师大月考）设不等式组

表示的平面区域为M，若函数y＝k（x＋1）＋1的图象经过区域M，则实数k的取值范围是____________．

三、解答题（共38分）

9．（12分）（2010·广东）某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

10．（12分）已知

求：

（1）z＝x＋2y－4的最大值；

（2）z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；

（3）z＝

的范围．

11．（14分）（2011·杭州调研）预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？

学案35　简单的线性规划问题

自主梳理

1．

（1）原点（0,0）　①上方　②下方　2.（4）线性约束条件

（5）可行解　（6）目标函数　3.（3）最优解

自我检测

1．B　2.C　3.C　4.C

5．7

课堂活动区

例1

　解题导引　在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．

解　

（1）不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．

所以，不等式组

表示的平面区域如图所示．

结合图中可行域得x∈

，y∈[－3,8]．

（2）由图形及不等式组知

当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；

当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；

当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；

当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；

当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；

当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；

∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42（个）．

变式迁移1　D　[作出由不等式组

组成的平面区域M，即△AOE表示的平面区域，

当t＝0时，

f（0）＝

×1×1＝

，

当t＝1时，

f

（1）＝

×1×1＝

，

当0

＝

×2×1－

t2－

[2－（t＋1）]2＝－t2＋t＋

，

即f（t）＝－t2＋t＋

，此时f（0）＝

，f

（1）＝

，

综上可知选D.]

例2

　解题导引　1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，据题意确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．

2．线性目标函数z＝ax＋by取最大值时的最优解与b的正负有关，当b>0时，最优解是将直线ax＋by＝0在可行域内向上平移到端点（一般是两直线交点）的位置得到的，当b<0时，则是向下方平移．

B

　[画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝4x＋2y可转化为y＝－2x＋

，

作出直线y＝－2x并平移，显然当其过点A时纵截距

最大．解方程组

得A（2,1），∴zmax＝10.]

变式迁移2　A　[作出可行域如图所示．

目标函数y＝

x－

z，则过B、A点时分别取到最大值与最小值．易求B（5,3），A（3,5）．

∴zmax＝3×5－4×3＝3，zmin＝3×3－4×5＝－11.]

例3

　解题导引　解线性规划应用问题的一般步骤是：

（1）分析题意，设出未知量；

（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．

解　设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，

由题意得

目标函数为z＝3000x＋2000y.

二元一次不等式组等价于

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．

作直线l：

3000x＋2000y＝0，即3x＋2y＝0.

平移直线l，从图中可知，当直线l过点M时，目标函数取得最大值．

由方程

解得x＝100，y＝200.

所以点M的坐标为（100,200）．

所以zmax＝3000x＋2000y＝700000（元）．

答　该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．

变式迁移3　B　[

设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，

由题意可知

甲、乙两车间每天总获利为z＝280x＋200y.

画出可行域如图所示．

点M（15,55）为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M（15,55）处z取得最大值．]

课后练习区

1．C　2.B　3.C　4.B　5.C

6．（1,3]

7.

解析　由

⇒A（1,6），

⇒B

，

∴kOA＝6，kOB＝

.

∴k∈

，即

∈

.

8.

解析　

作可行域，如图．

因为函数y＝k（x＋1）＋1的图象是过点P（－1,1），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点A（1,2）时，k取最大值

，当直线l过点B（3,0）时，k取最小值－

，故k∈

.

9．解　设该儿童分别预订x，y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z＝2.5x＋4y.（2分）

可行域为

　即

（6分）

作出可行域如图所示：

（9分）

经试验发现，当x＝4，y＝3时，花费最少，为2.5×4＋4×3＝22（元）．故应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．（12分）

10．解　

作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A（1,3）、B（3,1）、C（7,9）．

（1）易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方，故x＋2y－4>0，将点C（7,9）代入z得最大值为21.（4分）

（2）z＝x2＋y2－10y＋25＝x2＋（y－5）2表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0,5）的距离的平方，过M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，

故z的最小值是|MN|2＝

.（8分）

（3）z＝2×

表示可行域内任一点（x，y）与定点Q

连线的斜率的两倍，

因此kQA＝

，kQB＝

，

故z的范围为

.（12分）

11．解　设桌子、椅子分别买x张、y把，

目标函数z＝x＋y，（2分）

把所给的条件表示成不等式组，

即约束条件为

（6分）

由

　解得

所以A点的坐标为

.

由

　解得

所以B点的坐标为

.（9分）

所以满足条件的可行域是以A

、B

、

O（0,0）为顶点的三角形区域（如图）．（12分）

由图形可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为

B

，但注意到x∈N*，y∈N*，故取

故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．（14分）