用描述函数法研究二阶环路.docx

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用描述函数法研究二阶环路

一：

用描述函数法分析二阶环路

描述函数法是将控制系统中非线性元件在特定的输入信号（正弦，直流偏置，高斯随机变量或它们的组合>作用下，用等效线性增益来等效该元件的非线性特性，从而用线性系统的理论去分析非线性系统。

在“非线性最子线路”中，分析混频器采用变领跨导分析法就是这一方法运用的实例。

假定非线性元件输入是正弦变化的信号，一般来说这时非线性元件的输出不是正弦的。

现在我们假设输出是用期性变化的信号，并且其周期与输入信号周期相同。

这时输出中

除了有一次谐波分量之外，还包含有高次谐波。

在描述函数法分析中，认为感兴趣的是输出中的基波分量或某一高次谐波分量。

这种假设通常是正确的，因为在输出中高次谐波分量的振幅通常比—次谐波分量振幅要小，而且大多数系统中非线性元件后跟有滤波器，使需要的那部分分量通过，因而相对基波或所需的那个分量来说，其它分量可以忽略。

非线性元件的描述函数在此主要讲正弦输入情况下的描述函数，是输出的—次谐波分量与输入信号的复数比来定义，即

式中KN为描述函数；E为正弦输入的振幅；G1为输出的一次谐波分量的振幅；

为输出的一次谐波分量对输入信号的相位移。

”

如果在非线性元件中不包含储能元件，则

，K只是输入信号振幅的函数。

若包含储能元件，那么Kn为一复数，是输入信号振幅和频率的函数。

必须指出，描述函数法是线性方法应用于非线性系统研究的进一步推广，它只适用于非线性程度较低的系统。

在非线性程度较高的系统分析中，用它可能会出现一些不正确的结论。

在运用描述函数时，一定不要忘记它的基本假设和限制条件。

例如上面的描述函数是在正弦输八条件下得到的。

另外它比相图法有一个优点，就是可以分析高阶环路，也就是无论什么阶次的非线性元件并不影响分析的复杂性，反而阶次越高对高谐波衰减越大，近似条件也越合理。

二：

用描述函数法分析二阶环路的捕捉时间和捕捉带

若在正弦鉴相器上加入输入信号>和VCO的输出信号分别为

这时环路固有频差为

，鉴相器的输出是一个上下不对称的周期差拍信号，包含直流分量和各次谐波，其后的环路滤波器可滤除高次谐波分量，这样用描述函数的基本思路，可以看成VCO的控制电压为

（3—4—2>

在此，U为控制电压中的直流分量；△U为其基波分量的幅度值，其余谐波分量经环路滤波后可忽略，

为瞬时平均频差，它是一变量，它随时间变化而变化。

VCO的瞬时频率为

；

这样VCO的输出电压可写成

而这PD的输出为：

将此式用贝塞尔函数展开，可知它有直流分星和各次谐波；根据描述函数法的原则，只近似考虑直流分量和它的一次谐波。

若

时，使用描述函效法就更合理，因为这时Ud（t>的高次谐波振幅要比一次谐波分量的振幅要小得多.

因为

瞬时平均频差为：

代入上式有

这式中有直流分量，基波分量和二次谐波分量。

若不计二次谐波分量，则有

我们知道，环路在固有频作用下，能够进入锁定必须是环路能使基波控制电压消失，即为零才行。

鉴相器输出中的直流分量起了使环路锁定的作用。

它通过环路滤波器时，不断地给积分电路充电，产生积累的直流控制电压输出。

使压控振荡器中心频率朝着减小平均频差A。

。

一大。

F／的方向移动。

苦平均频差能减小到进入快捕带z＝2Z，那么一定会消失，即为零，环路进入锁定。

反之，若这个直流控制电压始终不能积累到使A‘，减小到快捕带以内，则环路就不能锁定。

显然，环路使M从t＝0的平均频差减小到等于快捕带，这一过程所需时间就是环路的频率捕捉时间；能使平均频差减小列快捕带以内的固有频差值就是环路的捕捉带。

为了得到捕捉时间和捕捉带的表达式，必须从计算ud0和ud1的环路滤波器输出端的响应uc0和uc1入手。

因为环路滤波器为一线性电路，可以应用叠加原理分别从Ud0求Uc0。

和由Ud1求Uc1。

另外为了保证环路锁定，一般环路滤波器的带宽远小于检相器输出的基波分量，即

在此条件下，Uc1（t>的振幅是Ud1（t>的振幅乘上环路滤波器的高频传输系数

得

用这结果和式（3—4—2>的假设相比较，可得

上面分析知，已知

又因为

这说明只要瞬时平均频差大于环路快捅带

，就可以使β＜l。

这个条件在捕捉过程中总是满足的，因为只要

快捕带，捕捉过程就结束了。

下面再用环路滤波器的线性微分方程从Udo求Uc。

再用上面得到的近似结果和假设条件，求二阶环路的捕捉时间与捕获带的表达式。

因为捕捉过程主要是直流分虽不断积累。

使

靠拢。

对于有源滤波器其微分方程为

上面有：

综合上面的分析结论：

有

所以根据上面得到的结果。

间的关系。

为了同时得到二阶环路的捕捉时间与捕捉带，必须采用环路滤波器的线性微分方程进行时域分析。

下面先分析环路滤波器对基波电压的输出响应．对于有源或无源比例积分滤波器，利用滤波器的线性微分方程，如（门与?

“（f>的关系可写成

rl。

丛系1L＝f：

4宅i量—?

”“（门（有W>

fl半个?

、N＝f2斗严?

hN（湖>

因为环路滤波器是一线性系统，所以vd（f>也是和山l（f>频率相同，锁定，一阶环路滤波形的带宽远小于鉴相器的基波频率AM，即满足

A。

＞1／?

z或AM＞。

。

／25

考虑到此条件庸，由—L面两个微分方程可解得

儿l（f>＝足‘J。

（夕>十stn（AMf—日o>

显然求得的”d（f>就是前面假设的压控振荡器控制电压（4‘41>式个

／c。

sAof＝尺dJ。

（点>斗szn（AMf一60>

Ar；A／dJ。

（A>子

6。

＝一90。

使用了两个假设条件，即

Ar。

Ar

月—：

L—撇＜1mA。

＞。

?

n／2Z

下面进—·步说明两个假设的意义和如何满足它们。

对于第一个假设，用（4—58>式代入得

因为J。

（劝＜1，所以可得

p‘警52余

AM＞久半＝250。

＝AM‘

（4—54>

为了保证环路的

（4—55>

（4—56>

的基波项，故

（4—57>

（4—58>

（4—59>

x‘等六＝：

i

即第一个条件可满足。

至于满足第二个条件，已由（4—55>式说明。

以—L分析说明，为保证描述函数法用于分析环路捕挠性能的合理性和有效性，存在两个条件，一是为保证近似分析的合理性条件夕＜l而导出的A。

＞250。

，即要求平均差：

频A。

?

处于环路恢捕带A。

*以外；二是保证分桥捕捉时间与捕促带的有效性条件，即要A。

处于环路滤波器通；带以外而哥出的AM＞。

。

／2C9从两个条件导出的结果AM＞260。

及AM＞M：

／25看出，红＞1／2时，只要入M＞2EM”必定同时满足。

＼M＞Mn／25I恰恰相反，当6＜l／2时，只要先满足A。

＞M。

／25，则AM＞25D，也自然满足。

我们使用描述函数炔的；删在于求得环路的捕捉时间与捕捉带，而汁甥捕权时间必定要求描述两数法在环路快捕带AMi＝260n以外频域内部有效。

这对于6＞l／2的情况是可以保证的，而对于5＜l／z时，情况就不同了。

若充满足A。

＞Mn／2Z，则可白然满足A。

＞2铀。

，这样一来在快捕带260。

勺Mn／25之间却有—‘段频域，描述函数法是无效的。

达就使得征E＜l／2时，不能用扔述函数法来完整地计算环路的捕捉时间，好在实际上不常用5＜?

／2的环路。

冈4—28表示了上述父系。

·

环路伙捕带

（u9

——2坠壁—音。

一m

24M，b————飞广—————‘

‘s记达函数法k效K

z418t666数日6女R；意M

（a>5＞I／：

，（b>C＜1／2

根据贝塞尔函数性质，

Ar＝XdJ。

（月>令

如何应用—亡面的结果和近似条件进一步求得：

：

阶环捕捉时间与捕捉带呢?

为此，必须在一定冈有频差及具体使用的环路26被器情况下，通道滤波器的线性微分方程来分析”do与儿。

间的关系。

对于有源比例积分滤波器

tl‘露＝b蚜?

”“（d—62>

内（4—51>式与（4—59>式可得

比。

＝足cJl（夕>s：

n（一60>＝尺‘Jl（月>

（4—63>

、。

＝xdJL（；给·>＝xJJl（

所以充满足A。

＞A。

‘条件下得d帕＼，?

‘、就是加入几控振荡器卜的且沈电历，项以（4—50>式可马咸

土u＝A6>。

一J（。

p／＝Au。

一A／。

uM（4—66>

将（4—65>及（1—66>式代入（4—62>式，即得到平均频整AM随时间f业化的微分力

对（4—G7>式川边积分得

i拌>d4c*df

＝入’（?

：

／2?

1>，八。

，2＝Jf（八／八>代入—L式得

ffn＝哈彩二，n给（d—ro>

今开＝A。

八‘八和Xo＝AM。

从M‘，根据（440>式关系，以父。

为参变量什出又—f／fs天

线，如图449所示．

”厂二二二二——————————飞竹效：

m（d—01>女，2MM日u女6：

x’IM曰

小团[：

可不以，只要衣又＞l的区域，平均频釜AM是在A。

，o与AMl间单调递减的时间函数，即无论固有频哭A。

。

多大，随着时间的增长AM必定全减小到AMi估。

义结论就是：

环路的捕捉带为无穷大。

这月相图出所得结论一致。

捕捉时间厂，定义为；输入信号与爪控振荡器输出信号间的起始频整（固定频差>AM。

减小到决捕带Ad，i所需的时间。

内（4叶o>式可得

J‘☆*Mn：

mw96MM?

”M；x7，＝、n默>‘

Mw小／g22KUR

督儿b足够大，上式右边后两项可忽略，上：

C可近似为

7—Pcr，（e：

>。

—锻

此站见挪川驯奶＞析所得的（4—11>式一致。

对于无肋比例积分滤波器格（4—65>及（4—66>式代入上式，得

（eI?

：

一Ao’f1>警＝A08一AMoAM。

十。

’AM

，—f。

—oIT：

JAi环黑zZ研—J16占黑话5F

式中积分常如e可根据f＝o时AM＝A6。

来确定。

根据特征方程A02一AM。

AM十

实根，上述方程的解有两种可能的情况：

（1>当Ad，：

＞4。

z＝久。

（2?

：

／赢>时，特征方程有两个实根，Bp

d。

8＝些——J挚墨已

由（4—75>式可作出A。

—f曲线，如图4’20所示。

由曲线看出；当f＝o时，AM，AM。

；随时间的增长，曲线上半部逐渐下降；当f‘M时，Ad。

AM’。

可见lA叨。

[＞久√21zZZf时，捕获不可能发生。

但是，因为频率牵引作用，环路平均频差AM接近于A。

’，此时环路处于稳定差拍状态．当AM。

逐渐减小时，AM：

与AM：

合适渐靠扰．在A。

。

趋近于足√—5天万了时，AMl将趋近于A。

a，也趋近于AM。

／?

．这表明因为牵引作用，可使环路频差成小到原来的一半．这个现象可以用实验清楚地证明。

’根据上式可画出A。

—f曲线图，如图4—2l所“先腮院深’”品罗器默；品x翘腮器失态静tg—’而挡雨，于，“万羌5f

r9c气绊；的羔外

盒孟地

到A。

i．因此，司把A4，勿，着作虾皮必始锁走所允许的最大固有频差值，井定义为此环路的捕授带，即

A。

：

＝d02＝久’（zf：

／?

n>；z尼（签专>

；2尺（250。

A。

’＝2V久（5g”

图d“zl非66三阶环貉捕获状态下通常总满足260．》1／勘，所以无源比例积分油A。

随时目变化自B波器二阶环路的捕捉带为A。

，影2√互员于（4—78>

考虑采用有源比例积分滤波器的二阶环时，因为又增大众倍，所以它的捕捉带为

AM，＝2√五万不万z—（4H79>

在捕获状态下，我们把AM从A。

。

下降到A。

s所需的时间定义为捕捉时间厂。

．若A“。

＞

，则根据（4—76>式可得假若环路增益较高，足》Ao。

，则（4—80>式中第二顷可赂去．

40。

》Ao：

，所以上式可进一步简化为可见，无源比例积分滤波器的二阶环捕湿时间与高增益二阶5F捕捉时间表达式近似而且与相图治得到的结果相．

申明：

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