数学精英版教案 五升六2 替换与消元.docx

数学精英版教案 五升六2 替换与消元.docx

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数学精英版教案五升六2替换与消元

《数学》教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

五升六

授课时间

年月日

课时

2课时

课题

第二讲替换与消元

教材分析

本讲主要让学生学会用“代入消去法”和“加减消元法”解决有关消去问题，减少未知量的个数，简化解题过程。

“代入消元法”的本质也就是用含一个未知数的式子去替换另一个未知数，以达到消元的目的，发展学生分析推理能力。

例题部分例2难度较大，教师着重讲解，有些方法学生不易想到，教师循序善诱。

拓展训练部分是例题部分巩固，学生独立完成即可。

拓展延伸题目，在教材中不予体现，作为教师在课堂选讲内容。

教学目标

知识技能

1.理解消去法解题的含义和计算依据；

2.能通过观察对比和分析计算出未知量；

3.能够运用已知条件灵活计算和转化，设法抵消掉其中的一个或两个未知数，只剩下的一个未知数进而求解。

数学思考

1.使学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程，将未知转换为已知的过程，进一步体会消元的思想方法及价值。

2.学会独立思考，体会数学中替换与消元的基本思想。

问题解决

1.尝试从日常生活中发现、提出或设计用消去法解决的数学问题，并用所学的知识加以解决；

2.与他人合作交流，并能理清自己的思路，尝试解释自己的思考过程。

情感态度

1.感受数学与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识。

2.帮助学生养成自觉检验的学习习惯，培养学生的分析能力和应用能力，渗透代数的数学思想和方法。

教学重点、难点

教学重点：

了解消去问题的特征，学会用消去法解决这类问题。

教学难点：

解决稍复杂的，利用系数最小公倍数解决的消去问题。

教学准备

动画多媒体语言课件

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

同学们，之前在我们的学习中，“消元”的知识也有所接触，大家认为难吗？

生：

……

师：

今天我们的主人公小佳，最近也在学习替换与消元的问题，他有一些郁闷，我们去看看发生了什么吧。

（课件播放导入）

二、教学新授

（一）呈现问题1

师：

曹冲来到了学校的一间教室，给小佳提出了这样一个问题：

（先播放过渡场景）

例1：

学校买来6张桌子和10把椅子，一共用去1500元，买2张桌子的钱可买5把椅子。

每张桌子和每把椅子各多少元？

1.学生读题，明确题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

通过读题，大家获取到了哪些信息？

转化为数学语言如何表示呢？

（根据学生情况，适时出示课件解析）

生1：

6张桌子的价钱+10把椅子的价钱=1500元。

生2：

2张桌子的价钱=5把椅子的价钱。

师：

非常好，现在题目中有两个未知量，该怎么办呢？

通过观察两个式子，大家能否转化变为一个未知量呢？

生：

第一个式子中有6张桌子，第二个式子中有2张桌子，我可以把第二个式子中的2张桌子×3，变成6张桌子。

师：

那么等式左边发生了变化，等式右边呢？

生：

等式右边也需要扩大3倍，也就是6张桌子的价钱=15把椅子的价钱。

师：

非常好，那么现在两个式子中都有了6张桌子的价钱，下一步该如何变？

生：

可以将第一个式子中的6张桌子的价钱用15把椅子的价钱替换，这样就可以计算出椅子的价钱。

师：

椅子的钱计算出来，我们可以代入其中任意一个式子计算出桌子的价钱，或者也可以利用同样的方法，将第一个式子中的桌子用椅子的钱替换计算。

选择你喜欢的方法，进行列式解答吧。

3.学生尝试独立解答。

4.全班集体汇报。

（教师出示课件答案，规范学生解题步骤）

5.教师小结。

学会转化是替换与消元解题过程中的重要环节，要注意观察未知量式子之间的特点，逐步由未知向已知转化。

答案：

椅子的单价：

1500÷（10+6÷2×5）=60（元）

桌子的单价：

60×5÷2=150（元）

答：

每张桌子150元，每把椅子60元。

（二）举一反三

商店卖出电视机8台，空调10台，一共收款49400元。

若每台电视机比每台空调贵1000元，问每台电视机和每台空调各多少元？

1.学生读题，获取信息。

2.师生合作，教师引导。

师：

通过读题，你得到了哪些信息？

尝试用数学语言表示出来。

生1:

8台电视机的价钱+10台空调的价钱=49400元。

生2：

每台电视机的价钱-每台空调的价钱=1000元。

师：

知道这两个式子，有两个未知量，该如何计算？

生1：

根据第二个式子，可以用每台电视机的价钱表示出每台空调的价钱，然后将第一个式子中空调的价钱替换掉，剩一个未知数，进行计算。

生2：

也可以用每台空调的价钱表示出每台电视机的价钱，进行替换计算。

师：

很清晰的思路，尝试独立解答吧。

3.学生独立解答。

4.总结交流。

答案：

空调单价：

（49400-8×1000）÷（10+8）=2300（元）

电视机单价：

2300+1000=3300（元）

答：

每台电视机3300元，每台空调2300元。

（三）呈现问题2

师：

离开教室，沿着学校走道，曹冲来到了的体育器材室。

（播放过渡场景）

例2：

学校A、B两个校区在同一家体育用品店采购了同样的篮球和同样的排球，采购信息如下表：

请你根据表中的信息，求出篮球和排球的单价。

1.学生读题，明确题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

这道题目相比之前有了一定难度，我们并不知道篮球个数和排球个数之间的关系，该怎么办？

大家仔细观察表格，横向、纵向，上下对比，你能发现什么？

生：

我发现A校区是B校区的排球总价的2倍。

师：

非常棒的发现，那么我们能否将这两个总价变为一致呢？

其它数据是否会跟着改变呢？

生：

我可以B校区的数量整体都乘2，将排球总价和A校区的变成一样的。

师：

大家按着这个方法，尝试做一下，你有什么发现？

生：

排球总价一样了，篮球总价B校区比A校区多了3000元，球的个数也多了20个。

师：

排球总价一样了，说明排球的个数一样，那么根据多出的篮球总价和球的个数可以求出什么？

生：

篮球的单价。

3.学生独立写出过程。

4.总结交流。

在解决较复杂的含有多个未知量的题目的过程中，仔细观察各个数量之间的关系，通过扩大或缩小等变化，使其中一个量保持一致，进行计算。

答案：

解：

篮球单价：

（2250×2-1500）÷（19×2-18）=150（元）

排球单价：

800÷（18-1500÷150）=100（元）

答：

篮球和排球的单价分别为150元和100元。

（四）呈现问题3

师：

从器材室出来，曹冲来到了的展示栏，看到这样一个图形：

（播放过渡场景）

例3：

四边形BEHC是正方形，BF=12分米，DH=15分米，求长方形AFGD的周长。

1.学生读题，观察图形。

2.师生互动，教师引导。

师：

根据图形，要求长方形AFGD的周长，我们可以如何用线段表示它的周长？

生1：

长方形AFGD的周长=AF+FG+DG+AD。

师：

但是现在只已知了BF和DH的长度，如何转化到已知线段上呢？

生2：

长方形AFGD的周长=AB+BF+FG+CG+DC+AD，CG和BF的长度一样。

师：

那么其余线段的长度之和呢？

题中还有什么条件没有用到？

生：

因为BEHC是正方形，那么BC=AD=FG=CH，而且AB=CD，所以AD+AB=FG+DC=CH+DC=DH。

3.学生整理思路，独立完成。

4.总结交流.

进行几何图形的计算时，仔细观察图形，找到未知量与已知量之间的数量关系，用相等线段进行替换，计算。

答案：

（12+15）×2=54（分米）

答：

长方形AFGD的周长为54分米。

师：

离开了的展示栏，曹冲下一站又和小佳去到哪里呢？

我们下节课接着学习。

接下来的时间先到拓展问题中巩固一下今天的所学知识吧。

3、巩固应用、尝试成功.

（一）拓展问题1

1.下图中□、☆和△各代表几？

☆＋☆=□＋□＋□

□＋□＋□=△＋△＋△＋△

☆＋□＋△＋△=80

☆＝（　　）□＝（　　）△＝（　　）

（本题较为简单，建议学生独立完成，根据学生答题情况，教师酌情出示课件解析，也可请学生进行讲解。

）

答案：

☆=30，□=20，△=15

（二）拓展问题2

2.学校买来20个排球和10个篮球，共付1250元，3个排球的价格与1个篮球的价格相等。

排球和篮球的单价各是多少元？

（本题是例1的变式练习，难度不大，学生独立完成即可，然后老师找学生说说自己的解题思路，也可请学生黑板板演，教师根据学生掌握情况，酌情出示解析：

根据题意，可以得到

20个排球+10个篮球=1250元；3个排球的价格=1个篮球的价格

将第一个式子中，10个篮球的价格用30个排球的价格替换）

答案：

解：

排球单价：

1250÷（10×3+20）=25（元）

篮球单价：

25×3=75（元）

答：

排球和篮球的单价分别是25元和75元。

（三）拓展问题3

3.水果店王老板运进25千克葡萄和80千克西瓜共付360元，已知每千克葡萄比每千克西瓜贵6元，每千克西瓜和每千克葡萄各多少元？

1.学生读题，理解题意。

2.生生合作，相互讲解。

生1：

通过读题，我得出了两个关系式：

25千克葡萄的价钱+80千克西瓜的价钱=360元

每千克葡萄的价钱-每千克西瓜的价钱=6元

生2：

我可以通过第二个关系式，将每千克葡萄的价钱用每千克西瓜的价钱代替，然后代入到第一个式子中，求出每千克葡萄的价钱。

3.学生独立列式。

4.总结交流。

答案：

解：

西瓜单价：

（360-25×6）÷（25+80）=2（元）

葡萄单价：

2+6=8（元）

答：

每千克西瓜2元，每千克葡萄8元。

四、课堂小结.

这节课学习了替换与消元的一些基本题型，每种题型的方法都需要掌握，大家都掌握了吗？

休息一下，下节课我们继续学习。

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、导入

师：

上节课我们在习题中体会了替换与消元法的灵活运用，也跟随小佳的梦乡，和曹冲一起游览了学校，接下来又曹冲又会去到哪里呢？

我们接着这节课的学习。

二、教学新授

师：

曹冲又来到了的道具室，看到了一些精美的衣服：

（播放过渡场景）

（一）呈现问题4

4.我记得用980元买了上衣、裤子和鞋。

上衣的价钱比裤子贵570元，上衣和裤子一共比鞋贵680元。

你知道这件上衣、这条裤子、这双鞋分别是多少元吗？

1.学生读题，明确题意。

2.教师引导。

师：

根据题目，你获取到了哪些信息？

生1：

上衣价+裤子价+鞋价=980元；

生2：

上衣价-裤子价=570元；

生3：

上衣价+裤子价-鞋价=680元。

师：

现在有三个式子，三个未知量，该怎样利用消元法计算呢？

大家先观察第一个式子和第三个式子，你有什么发现？

生：

这两个式子都有上衣价，裤子价，和鞋价，但是鞋价前面一个是加号，一个是减号。

师：

根据这两个式子能否消去一些未知数呢？

生：

两个式子相减，就剩2倍的鞋价，可以计算出鞋价的价格。

师：

我们将上节课学习的消元方法，可以称作“代入消元法”，这道题目，用的方法我们称之为“加减消元法”。

师：

计算出鞋价，你能否再利用“加减消元法”计算出上衣价和鞋价吗？

尝试计算一下。

3.学生独立完成。

4.教师总结。

做题过程中，我们可以根据关系式中，系数的特点，合理采用“代入消元法”或“加减消元法”。

答案：

解：

鞋价：

（980-680）÷2=150（元）

裤子价：

[（980-150）-570]÷2=130（元）

上衣价：

980-150-130=700（元）

答：

这件上衣700元，这条裤子130元，这双鞋150元。

（二）呈现问题5

师：

离开道具室，曹冲又来到了表演室：

（播放过渡场景）

例5：

驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的。

驴子抱怨负担太重，骡子说：

“你抱怨干嘛，如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！

你知道驴和骡子各驮了几袋？

1.学生读题，寻找解题思路。

2.教师引导。

师：

通过读题，你得出了怎样的关系式？

依据是什么？

生1：

骡子的袋数+1=2×（驴子的袋数-1）；

生2：

驴子的袋数=骡子的袋数-1-1。

师：

这道题目中关系还是比较明显的，如何求出驴子和骡子各驮了多少袋？

生：

根据第二个关系式，可以用骡子的袋数表示出驴子的袋数。

师：

大家可以整理出式子，运用消元法进行计算，也可以利用方程进行解答。

3.学生整理思路，独立写出解题过程。

4.总结交流.

答案：

解：

设骡子驮了x袋，则驴子驮了（x-1-1）袋。

x+1=2（x-1-1-1）

x+1=2（x-3）

x+1=2x-6

x=7

驴子：

7-1-1=5（袋）

答：

骡子驮了7袋，驴子驮了5袋。

三、巩固应用、尝试成功.

（一）拓展问题4

4.老刘大清早准备骑摩托车运9只鸡和7只鹅去集市卖钱。

他先在家称了称，共重124斤，鹅的总质量比鸡重。

为了摩托车两边保持平衡，老刘把鸡和鹅各取2只左右交换，这样摩托车两边的质量就相等了。

假设每只鸡的质量相等，每只鹅的质量也相等。

那么每只鸡和鹅各重多少斤？

1.学生读题，理解题意。

2.师生互动，教师引导。

师：

根据题目，你得到了怎样的数量关系？

生：

9只鸡的重量+7只鹅的重量=124斤。

师：

如何理解“把鸡和鹅各取2只左右交换，这样摩托车两边的质量就相等了”，用式子可以如何表示？

生：

7只鸡的重量+2只鹅的重量=5只鹅的重量+2只鸡的重量，也就是5只鸡的重量=3只鹅的重量。

师：

观察这两个式子，对比我们上节课遇到的此类型题，有什么不同之处吗？

生：

之前通过第二个式子，直接乘一个倍数，就可以出现第一个式子中所含有的数量，但是这道题目不可以。

师：

那么这种情况下，我们该如何消元？

提示大家，寻求上下两个式子中，相同种类之间的最小公倍数，进行计算，大家尝试一下。

3.同桌间讨论完成。

（根据学生情况，酌情出示解析）

4.总结交流。

答案：

解：

每只鸡的重量：

124×3÷（9×3+5×7）=6（斤）

每只鹅的重量：

（124-9×6）÷7=10（斤）

答：

每只鸡重6斤，每只鹅重10斤。

（二）拓展问题5

5.王老师每天晨练，周六跑步3000米，散步900米，共用35分钟；周日跑步2700米，散步300米，共用23分钟。

王老师每天跑步速度、散步速度是一样的，那么他散步每分钟走多少米？

（这道题目是例2的变式练习，可作为检验，放在例2后让学生完成，提示学生列表，寻求关系，独立完成）

提示：

答案：

解：

跑步速度：

（2700×3-3000）÷（23×3-35）=150（米/分）

散步速度：

900÷（35-3000÷150）=60（米/分）

答：

散步每分钟走60米。

（三）拓展问题6

6.一件工作，欢欢做6小时以后由乐乐来做，4小时可以完成；乐乐做8小时以后由欢欢来做，也是4小时可以完成。

那么欢欢做1小时以后由乐乐来做几小时可以完成？

1.学生读题，理解题意。

2.师生互动，合作完成。

师：

通过读题，工作总量可以如何表示？

生1：

欢欢6小时工作量+乐乐4小时工作量；

生2：

乐乐8小时工作量+欢欢4小时工作量。

师：

这两个式子都代表工作总量，所以两个式子是相等的，那么你能得出欢欢和乐乐两个工作量之间怎样的关系？

生：

欢欢2小时工作量=乐乐4小时工作量，也就是欢欢1小时工作量=乐乐2小时工作量。

师：

现在题目要求，欢欢先做1小时后，乐乐做多久，结合之前几个式子，能否将一些量拆分开，表示工作总量呢？

（小组讨论，汇报）

生：

根据欢欢6小时工作量+乐乐4小时工作量，可以表示为欢欢1小时工作量+欢欢5小时工作量+乐乐4小时工作量。

师：

分析到这里，大家尝试完成这道题目。

3.学生间相互讲解，完成解题过程。

4.总结交流。

答案：

解：

欢欢工作效率为乐乐的：

（8-4）÷（6-4）=2

全部由乐乐来做，需：

6×2+4=16（小时）

欢欢做1小时后：

16-1×2=14（小时）

答：

欢欢做1小时以后由乐乐来做14小时可以完成。

四、拓展视野

棋艺小组的赵老师第一次买了3副象棋和5副围棋，一共花了109元；第二次买了5副象棋和3副围棋，一共花了75元钱，象棋单价、围棋单价各多少元？

1.学生读题，寻找数量关系式。

2.师生互动，合作完成。

师：

通过读题，你能否将题目信息转化为数学语言？

生1：

3×象棋单价+5×围棋单价=109元；

生2：

5×象棋单价+3×围棋单价=75元。

师：

根据这两个式子，代入消元法比较复杂，那么能否尝试加减消元法呢？

生：

但是加减消元法，两个式子系数不一样。

师：

我们之前有用到找最小公倍数的方法，这道题目能否用到呢？

3.学生尝试独立解答。

4.总结交流。

答案：

解：

象棋单价：

（75×5-109×3）÷（5×5-3×3）=3（元）

围棋单价：

（109-3×3）÷5=20（元）

答：

象棋单价3元，围棋单价20元。

五、课堂总结

1.消元法：

一般是包含两个或两个以上的未知量，根据题中的条件，通过运算进行转化，想办法使得其中一个数量相同，然后用“代入消元法”或“加减消元法”消去一个未知量，进而求另一个未知量。

2.代入消元法：

根据等量代换的原理，把含有两个量的算式用含有一个量的算式表示出来。

3.加减消元法：

根据等式的性质，两个等式等号的左边相加减，等于等号的右边相加减，消去一个量。

拓展问题答案：

1.☆=30，□=20，△=15

2.排球单价：

1250÷（10×3+20）=25（元）

篮球单价：

25×3=75（元）

答：

排球和篮球的单价分别是25元和75元。

3.西瓜单价：

（360-25×6）÷（25+80）=2（元）

葡萄单价：

2+6=8（元）

答：

每千克西瓜2元，每千克葡萄8元。

4.每只鸡的重量：

124×3÷（9×3+5×7）=6（斤）

每只鹅的重量：

（124-9×6）÷7=10（斤）

答：

每只鸡重6斤，每只鹅重10斤。

5.跑步速度：

（2700×3-3000）÷（23×3-35）=150（米/分）

散步速度：

900÷（35-3000÷150）=60（米/分）

答：

散步每分钟走60米。

6.欢欢工作效率为乐乐的：

（8-4）÷（6-4）=2

全部由乐乐来做，需：

6×2+4=16（小时）

欢欢做1小时后：

16-1×2=14（小时）

答：

欢欢做1小时以后由乐乐来做14小时可以完成。