完整版高等数学公式大全及常见函数图像doc.docx
《完整版高等数学公式大全及常见函数图像doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版高等数学公式大全及常见函数图像doc.docx（59页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
完整版高等数学公式大全及常见函数图像doc
高等数学公式
导数公式：
（tgx）
sec2x
（arcsinx）
1
1
x2
（ctgx）
csc2x
（arccosx）
1
（secx）
secxtgx
1x2
（cscx）
cscxctgx
（arctgx）
1
（ax）
axlna
1
x2
（logax）
1
（arcctgx）
1
1
x2
xlna
基本积分表：
tgxdx
lncosx
C
dx
sec2xdx
tgx
C
ctgxdx
lnsinx
C
cos2x
dx
2
secxdx
lnsecx
tgxC
sin2x
csc
xdx
ctgx
C
cscxdx
lncscx
ctgx
C
secxtgxdx
secx
C
dx
1
x
cscx
ctgxdx
cscxC
a2
x2
aarctg
a
C
axdx
ax
C
dx
1
x
a
lna
x2
a2
2a
ln
C
x
a
shxdx
chx
C
dx
1
a
x
a2
x2
2a
ln
C
chxdx
shx
C
a
x
dx
x2
arcsinx
C
dx
ln（x
x2
a2）
C
a2
a
x2
a2
2
2
n
1
In
sinnxdx
cosnxdx
In
2
0
0
n
x
2
a
2
dx
x
x
2
a
2
a2
ln（x
x
2
a
2
）
C
2
2
x2
a2dx
x
x2
a2
a2lnx
x2
a2
C
2
2
a2
x2dx
x
a2
x2
a2
arcsinx
C
2
2
a
三角函数的有理式积分：
sinx
2u
，cosx
1
u2
，
u
tgx，
dx
2du
1
u2
1
u2
2
1
u2
一些初等函数：
双曲正弦
:
shx
ex
ex
2
双曲余弦
:
chx
ex
ex
2
双曲正切
:
thx
shx
ex
e
chx
ex
e
arshx
ln（x
x
2
）
1
archx
ln（x
x2
1）
arthx
1ln1
x
2
1
x
两个重要极限：
limsinx
1
x0
x
lim（1
1
）x
e2.718281828459045...
xx
x
x
三角函数公式：
·诱导公式：
函数
sin
cos
tg
ctg
角A
-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
90°-α
cosαsinαctgαtgα
90°+α
cosα-sinα-ctgα-tgα
180
°-α
sinα-cosα-tgα-ctgα
180
°+α-sin
α-cosαtgα
ctgα
270
°-α
-cosα-sinαctgαtgα
270
°+α-cosαsinα-ctgα-tgα
360
°-α
-sin
αcosα-tgα-ctgα
360
°+αsinαcosαtgα
ctgα
·和差角公式：
·和差化积公式：
sin（
）
sin
cos
cos
sin
sin
sin
2sin
cos
cos（
）
cos
cos
sin
sin
2
2
tg（
）
tg
tg
sin
sin
2cos
sin
1tg
tg
2
2
cos
cos
2cos
cos
ctg
ctg
1
ctg（
）
2
2
ctg
ctg
cos
cos
2sin
sin
2
2
·倍角公式：
sin2
2sincos
cos2
2cos2
1
1
2sin2
cos2
sin2
sin3
3sin
4sin3
ctg2
ctg2
1
cos3
4cos3
3cos
2ctg
3tg
tg3
tg3
2tg
1
3tg2
tg2
1
tg2
·半角公式：
sin
1
cos
cos
1
cos
2
2
2
2
tg
1
cos
1
cos
sin
ctg
1
cos
1
cos
sin
1
cos
sin
1
cos
1
cos
sin
1
cos
2
2
·正弦定理：
a
b
c
2R
·余弦定理：
c2
a2
b2
2abcosC
sinA
sinB
sinC
·反三角函数性质：
arcsinx
2
arccosx
arctgx
2
arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（
Leibniz
）公式：
n
（uv）（n）
Cnku（n
k）v（k）
k0
u（n）v
nu（n1）v
n（n
1）u（n2）v
n（n
1）（nk
1）u（nk）v（k）
uv（n）
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）
柯西中值定理：
f（b）f（a）f（）（ba）
f（a）f（）
F（a）F（）
当F（x）x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds
1
y2dx,其中ytg
平均曲率：
K
.
:
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量；
s
M点的曲率：
K
lim
d
y
.
s
ds
y2）3
s0
（1
直线：
K
0;
半径为a的圆：
K
1.
a
定积分的近似计算：
b
b
a
矩形法：
f（x）
y1
yn1）
（y0
a
n
b
b
a[1（y
梯形法：
f（x）
0
yn）
y1
yn
1]
a
n
2
b
b
a[（y0
抛物线法：
f（x）
yn）
2（y2
y4
yn2）
4（y1y3
a
3n
定积分应用相关公式：
功：
WFs
水压力：
F
p
A
m1m2
引力：
F
k
r2
k为引力系数
1
b
函数的平均值：
y
f（x）dx
b
aa
1
b
f2（t）dt
均方根：
b
aa
空间解析几何和向量代数：
s：
MM弧长。
yn1）]
空间2点的距离：
d
M1M2
（x2
x1）2
（y2
y1）2
（z2
z1）2
向量在轴上的投影：
PrjuAB
AB
cos,
是AB与u轴的夹角。
Prju（a1
a2）Prja1
Prja2
aba
bcos
axbx
ayby
azbz,是一个数量,
两向量之间的夹角：
cos
axbx
ayby
azbz
ax2
ay2
az2
bx2
by2
bz2
i
j
k
cab
ax
ay
az,c
a
bsin
.例：
线速度：
v
w
r.
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混合积：
[abc]
（a
b）
c
bx
by
bz
a
b
ccos,为锐角时，
cx
cy
cz
代表平行六面体的体积
。
平面的方程：
1、点法式：
A（x
x0）
B（y
y0）
C（zz0）0，其中n{A,B,C},M0（x0,y0,z0）
2、一般方程：
Ax
By
Cz
D
0
3、截距世方程：
x
y
z
1
a
b
c
平面外任意一点到该平
空间直线的方程：
xx0
m
二次曲面：
面的距离：
dAx0By0
A2
B2
yy0
zz0
t,其中s
n
p
Cz0D
C2
x
x0
mt
{m,n,p};参数方程：
y
y0
nt
z
z0
pt
22
1、椭球面：
xya2b2
22
2、抛物面：
xy
2p2q
3、双曲面：
22
单叶双曲面：
xya2b2
22
双叶双曲面：
xya2b2
z2
c21
z（,p,q同号）
z2
c21
z2
c2（1马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：
dz
z
z
du
u
u
u
dx
y
dy
dxdy
dz
x
x
y
z
全微分的近似计算：
zdz
fx（x,y）x
fy（x,y）
y
多元复合函数的求导法
：
z
dz
z
u
z
v
f[u（t）,v（t）]
u
t
v
t
dt
z
f[u（x,y）,v（x,y）]
z
z
u
z
v
x
u
x
v
x
u
vv（x,y）
当
，
时，
u（x,y）
du
udx
udy
dv
vdx
vdy
x
y
x
y
隐函数的求导公式：
隐函数
F（x,y）
，
dy
0
dx
隐函数
F（x,y,z）
，z
0
x
隐函数方程组：
F（x,y,u,v）
G（x,y,u,v）
Fx，
d2y
Fx
＋
Fx
dy
Fy
dx2
（
）
（
）
xFy
yFy
dx
Fx
，
z
Fy
Fz
y
Fz
0
（F,G）
F
F
Fu
Fv
J
u
v
0
（u,v）
G
G
Gu
Gv
u
v
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
x
J
（x,v）
x
J
（u,x）
u
1
（F,G）
v
1
（F,G）
y
J
（y,v）
y
J
（u,y）
微分法在几何上的应用：
x
（t）
z0）处的切线方程：
xx0
yy0
zz0
空间曲线
y
（t）在点M（x0,y0
z
（t）
（t0）
（t0）
（t0）
在点M处的法平面方程：
（t0）（x
x0）
（t0）（y
y0）
（t0）（z
z0）
若空间曲线方程为：
F（x,y,z）0
则切向量T{
Fy
FzFz
Fx
Fx
Gy
G（x,y,z）0
GzGz
GxGx
曲面F（x,y,z）0上一点M（x0,y0,z0），则：
1、过此点的法向量：
n
{Fx（x0,y0,z0）,Fy（x0,y0,z0）,Fz（x0,y0,z0）}
2、过此点的切平面方程
：
Fx（x0,y0,z0）（x
x0）
Fy（x0,y0,z0）（y
y0）
3、过此点的法线方程：
xx0
yy0
z
z0
Fx（x0,y0,z0）Fy（x0,y0,z0）
Fz（x0,y0,z0）
0
Fy
}
Gy
Fz（x0,y0,z0）（zz0）0
方向导数与梯度：
函数z
f（x,y）在一点p（x,y）沿任一方向l的方向导数为：
f
f
cos
fsin
l
x
y
其中
为x轴到方向l的转角。
函数z
f（x,y）在一点p（x,y）的梯度：
gradf（x,y）
fi
f
j
x
y
它与方向导数的关系是：
f
gradf（x,y）e，其中e
cos
i
sin
j，为l方向上的
l
单位向量。
f是gradf（x,y）在l上的投影。
l
多元函数的极值及其求法：
设fx（x0,y0）
fy（x0,y0）
0，令：
fxx（x0,y0）A,fxy（x0,y0）B,fyy（x0,y0）C
AC
B2
A0,（x0,y0）为极大值
0时，
A0,（x0,y0）为极小值
则：
AC
B2
0时，
无极值
AC
B2
0时,
不确定
重积分及其应用：
f（x,y）dxdy
f（rcos
rsin
）rdrd
D
D
2
2
曲面zf（x,y）的面积A
1
z
z
x
dxdy
D
y
Mx
x
（x,y）d
My
y
（x,y）d
平面薄片的重心：
D
y
D
x
M
（x,y）d
M
（x,y）d
升级会员 