小升初26立体图形的体积教案讲义及练习.docx

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小升初26立体图形的体积教案讲义及练习

26.立体图形的体积

知识要点梳理

一、体积和容积

1．体积：

物体所占空间的大小叫做物体的体积。

2．容积：

容器所能容纳物体的体积叫做容积。

容积单位一般用体积单位。

当容器所容纳的物体是液体时，常用升、毫升作单位。

〔注：

容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要沉着器的里面量。

〕

二、立体图形的体积计算公式

名称

图形

字母意义

体积计算公式

长方体

：

长

b:

宽

h：

高

正方体

：

棱长

：

底面积

V;体积

圆柱

r：

底面半径

h：

高

C：

底面周长

圆锥

r：

底面半径

h：

高

考点精讲分析

典例精讲

考点1方体和正方体的体积

【例1】　在一个长、宽、高分别是30厘米、25厘米、60厘米的长方体的箱子里，最多能装进棱长为1分米的立方体〔　　〕个。

A．45　　　B．30　　　C．36　　　D．72

【精析】　把这个长方体箱子的长、宽、高分别换算成分米是3分米、2.5分米、6分米，这个箱子一层长可以装进3个，宽只能装进2个棱长1分米的立方体，高可以装进6个，因此只能装进〔3×2×6〕＝36个。

【答案】　C　　

【归纳总结】　注意，此题容易出现的错误是不考虑实际，用这个箱子的容积除以每个立方体的体积。

考点2圆柱的体积

【例2】　下列图是一根空心钢管，求它所用钢材的体积。

【精析】　此题考查空心圆柱体积的求法。

根据空心圆柱的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积计算即可。

【答案】　3.14×［〔1.22〕2－〔0.62〕2］×2.5＝2.1195〔立方米〕

答：

它所用钢材的体积是2．1195立方米。

【例3】　有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形〔不包括瓶颈〕，容积是20升。

瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20cm，倒放时空余局部高度为5cm，问瓶中现有饮料〔　　　〕升。

【精析】　正放和倒放时，瓶中液体的体积不变，即空余局部体积相等。

【答案】　20×［20÷〔20＋5〕］＝16〔升〕答：

瓶中现有饮料16升。

【归纳总结】　无论是正放还是倒放瓶子的饮料和瓶子的体积不变，所以它们的空余局部总是不变的。

考点2圆锥的体积

【例4】　一个圆锥形沙堆，底面积是8平方米，高是1．5米。

用这堆沙在5米宽的路上铺2厘米厚，能铺多少米？

【精析】　沙子都铺在路面上后的形状，是一个宽5米、厚2厘米的近似长方体。

【答案】13×8×1.5÷〔2÷100〕÷5＝40〔米〕

答：

能铺40米。

【归纳总结】　这个长方体的体积和圆锥形沙堆的体积相等。

名题精析

【例】〔西安某工大附中入学〕某茶厂要将长、宽、高分别为20cm、20cm、10cm的茶叶盒装入棱长为50cm的正方体纸箱中，如下图。

再用一辆厢式小货车将装有茶叶盒的正方体纸箱运往外地销售。

货车车厢内壁长、宽、高分别为5．7m、2m、2m，请问这辆货车最多能运多少个茶叶盒？

【精析】　先考虑沿“高〞放，50÷10＝5；再考虑沿“长〞放，纸箱棱长50cm，放2个20cm后还剩10cm，以茶叶盒“10cm、20cm〞的侧面为底，还可以放1个，侧放共4个；最后考虑沿“宽〞放的情况，同样放两个20cm后还剩10cm，以“10cm、20cm〞为底，还可以放1个，侧放共4个，所以每个纸箱一共可放5×2×2＋4＋4＝28〔个〕，因为货车车厢内壁长5．5米，即550厘米，所以横着放550÷50＝11〔箱〕，车厢宽2米，即200厘米，所以能放200÷50＝4〔箱〕，因此总共放4×4×11＝176〔箱〕；总共放176×28＝4928〔盒〕。

【答案】　竖着可以放50÷10＝5〔层〕每个纸箱装5×2×2＋4＋4＝28〔个〕5．5米＝550厘米，2米＝200厘米550÷50＝11〔箱〕200÷50＝4〔箱〕4×4×11＝176〔箱〕共装茶叶盒176×28＝4928〔个〕答：

这辆货车最多能运4928个茶叶盒。

【归纳总结】　此题较复杂，关键在于求出每箱装入几盒，以及装入车厢每层的箱数和层数

毕业升学训练

一、填空题

1.一个长方体木盒长5厘米，宽3厘米，高4厘米，它的体积是〔　〕立方厘米，容积是〔　〕立方厘米〔忽略木板厚度〕。

2.一个正方体的棱长总和是84分米，那么它的体积是〔〕立方分米，将它铸成一个底面积是49平方分米的圆锥，这个圆锥的高是〔　〕分米。

3.外表积是54平方厘米的正方体，它的体积是〔〕立方厘米。

4.一个圆锥的底面周长是18．84分米，高是4分米，它的体积是〔〕立方分米。

5.一个等腰直角三角形的直角边长为9厘米，以它的一条直角边为轴旋转一周，得到的立体图形的体积是〔〕立方厘米。

6.一个圆柱的底面周长是18.84厘米，高8厘米。

把它削成一个最大的圆锥体，圆锥的体积是〔〕立方厘米。

7.将一根长4米的圆柱体木料锯成2段，外表积增加60平方分米。

这根木料的体积是〔　〕立方分米。

8.等底等高的圆柱和圆锥的体积之和是180立方米，那么圆柱的体积是〔〕立方米，圆锥的体积是〔　〕立方米。

9.用一张边长是18．84厘米的正方形铁皮，围成一个圆柱体，这个圆柱的体积是〔〕立方厘米。

10.一个圆锥的体积是62．4立方厘米，它的体积是另一个圆锥的4倍，如果另一个圆锥的高是2.5厘米，另一个圆锥的底面积是〔〕平方厘米。

11.一个圆柱体，把它的高截短3厘米，它的外表积就减少94．2平方厘米，它的体积会减少〔〕立方厘米。

12.自来水管的内直径是2厘米，水管内水的流速是每秒8厘米。

一位同学去水池洗手，走时忘记关掉水龙头，4分钟浪费〔〕升水。

13.一个圆柱和一个圆锥，圆柱与圆锥底面直径的比是2∶3，体积的比是3∶2，圆柱与圆锥高的比是〔　〕。

14.如图，酒瓶中装有一些酒，倒进一只酒杯中，酒杯口的直径是酒瓶的一半，共能倒满〔　〕杯。

二、选择题

1.一个圆锥的体积是12立方厘米，底面积是4平方厘米，高是〔　〕厘米。

A．3　　　　B．6　　　　C．9　　　D．12

2.正方体的棱长扩大2倍，那么体积扩大〔　〕倍。

A．2B．4C．6D.8

3.外表积相等的长方体和正方体的体积相比，〔　〕。

A．正方体体积大B．长方体体积大C．相等

4.一个圆柱和一个圆锥的底面直径相等，圆锥的高是圆柱的3倍，圆锥的体积是15立方分米，圆柱的体积是〔　〕立方分米。

A．45　　B．15　　　C．5

5.将一个圆柱体的底面半径扩大3倍，高也扩大2倍，那么体积〔　〕。

A．扩大2倍　　B．扩大6倍　　　C．扩大18倍

三、计算下列图的体积〔单位：

分米〕

1.

2.

四、解决问题

1.一口周长是6.28米的圆柱形水井，它的深是10米，平时蓄水深度是井深的0.8倍，这口井平时的水量是多少立方米？

2.一个圆锥形稻谷堆，底面直径是6米，高是1米。

这个谷堆的体积约是多少立方米？

如果每立方米稻谷重650千克，这堆稻谷有多少千克？

3.有一个长3分米，宽2分米，高6分米的长方体玻璃缸，里面的水深2分米，放入10条金鱼后，水面的高度是2.3分米，平均每条金鱼的体积是多少立方分米？

4.把一根长4米的圆柱形的钢材截成相等的两段以后，外表积增加了0.28平方分米，如果每立方分米钢材重7.8千克，这根钢材重多少千克？

5.把一个高是6分米的圆柱，沿着底面直径竖直切开，平均分成两半，外表积增加48平方分米。

原来这个圆柱的体积是多少立方分米？

6.如图是一个底面直径为6分米的圆柱木块被削去一半后的形状，请你计算出它的体积。

7.如图，将10毫升酒装入一个圆锥形容器中，酒深正好占容器深的二分之一，请问再添入多少毫升酒可装满此容器？

8.把棱长为r的正方体木料削成一个最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的几分之几？

9.如图，在一个棱长为20厘米的正方体密闭容器的下底固定了一个实心圆柱体，容器内盛有m升水时，水面恰好经过圆柱体的上底面。

如果将容器倒置，圆柱体有8厘米露出水面。

圆柱体的底面积是正方体底面积的18，求实心圆柱体的体积。

冲刺提升

一、填空题

1.〔江西某师大附中入学〕把一段圆柱形的木料削成一个最大的圆锥，削去局部的体积与这个圆锥的体积的比是〔　〕。

2.〔成都某外国语学校入学〕一个长方体的棱长之和是96厘米，长、宽、高比是5∶4∶3，它的体积是〔〕立方厘米。

3.〔西安某工大附中入学〕从不同方向看一个几何体所得到的图形如下图，请根据图中数据〔单位：

cm〕，计算这个几何体的体积为〔〕

。

〔π取3.14〕

4.〔陕西某师大附中入学〕气象部门把降雨的多少叫降雨量，降雨量的单位通常用毫米表示。

1毫米的降雨量是指单位面积上所降雨水的深度为1毫米。

今年4月份，西安市比往年降雨量偏多，据初步统计，降雨量约为50毫米，学校花园里有如下图的玻璃容器〔容器为上下相通的两个圆柱组成〕，在不考虑蒸发等因素影响的情况下，容器内的雨水高度是〔〕毫米。

5.〔西安某工大附中分班〕如图，在一个高度为40厘米的无盖长方体容器中装满水，平放在桌面上，如果把它如右图那样斜放，那么水会溢出516，这时BC的长度是〔　〕厘米。

6.〔成都某七中入学〕如右图，一块长方形铁片利用图中阴影局部刚好能做一个圆柱形油桶，〔接头处忽略不计〕，这个桶的容积是〔〕立方分米。

〔π≈3.14〕

7.〔西安某铁一中分班〕生活中我们可以在卫生纸卷的外包装上看到如下信息〔如左下列图〕：

3层／138mm×104mm／节〔单卷卫生纸两虚线间为一节〕，爱动脑的小华想知道每3层卫生纸的厚度，它测量出整卷卫生纸的半径R与纸芯筒的半径r分别为60毫米和20毫米〔如右下列图〕。

整卷纸共200节，小华利用计算面积的不同方法，巧妙地算出每3层卫生纸的厚度约为〔〕毫米。

〔忽略其他因素，圆周率取3.14，结果保存两位小数〕

8.（西安某交大附中入学〕中国古代有许多创造令人赞叹，如日晷、沙漏等计时工具，小斌参加课外兴趣小组，制作了如下图的简易滴水计时器，经过测量，上方漏斗形容器每分钟滴水80滴〔20滴水约为1毫升〕，下方为圆柱形透明容器，小斌于10：

00测得下方容器中水的高度为2厘米，经过一段时间后测得下方容器中的水面高度为6厘米，问此时的时间为〔〕。

〔π取近似值3〕

9.〔西安高新某中入学〕一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且外表积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是〔〕立方厘米。

二、解决问题

1.〔南昌某中入学〕有关牙膏的数学问题：

〔1〕小红去买牙膏。

同一品牌两种规格牙膏的售价情况如下：

120克装每支6元，160克装每支9元。

他买哪种规格的牙膏比拟合算呢？

请帮助算一算。

〔2〕牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏。

这样，一支牙膏可用36次。

该品牌牙膏推出新的包装，只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米的牙膏。

这样这一支牙膏只能用多少次？

计算之后你有什么想法？

2.〔陕西某师大附中入学〕一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体〔如图甲〕，它的外表积将增加6.28平方厘米；如果沿直径所在的平面截成两个相同的局部〔如图乙〕，它的外表积将增加80平方厘米，求原圆柱体的体积。

〔π取3.14〕

26、立体图形的体积

毕业升学训练

一、

1.60602.343213.274.37.685.763.02

6.75.367.12008.135459.532.4184

10.18.7211.235.512.6.028813.9:

814.30

二、

1.C2.D3.A4.B5.C

三、

【解析】

1.3.14×〔8÷2〕2×15+3.14×〔8÷2〕2×9÷3=904.32〔立方分米〕

2.10×2×2+4×10×2=120〔立方分米〕

四、

1.【解析】3.14×〔6.28÷3.14÷2〕2×10×0.8=25.12〔立方米〕

答：

这口井平时的水量是25.12立方米。

2.【解析】3.14×〔6÷2〕2×1÷3=9,42〔立方米〕

9.42×650=6123〔千克〕

答：

谷堆那么体积约是9.42立方米，这堆稻谷有6123千克。

3.【解析】3×2×〔2.30-2〕÷10=0.18〔立方分米〕

答：

平均每条金鱼的体积是0.18立方分米。

4.【解析】0.28÷2×4×10×7.8=43.68〔千克〕

答：

这根钢材重43.68千克。

5.【解析】3.14×〔48÷2÷6÷2〕2×6=75.36〔立方分米〕

答：

原来这个圆柱的体积是75.36立方分米。

6.【解析】3.14×〔6÷2〕2×〔8+10〕÷2=254.34〔立方分米〕

答：

他的体积是254.34立方分米。

7.【解析】10÷[〔

〕2×

]-10=70〔毫升〕

答：

再添入70毫升酒可装满此容器。

8.【解析】正方体的体积：

r×r×r=r3〔立方厘米〕

削成最大圆锥的体积：

π×〔r/2〕2×r=πr3/12〔立方厘米〕

所以圆锥的体积占正方体的πr3/12÷r3=π/12

答：

圆锥的体积占正方体体积的π/12。

9.【解析】8×〔1-

〕=7〔厘米〕

20×20×

×〔20-7〕=650〔立方厘米〕

答：

实心圆柱体的体积650立方厘米。

冲刺提升

一、

1.2:

12.4803.282.64.1255.25

6.339.127.0.368.15:

009.245

二、

1.【解析】〔1〕120÷6=20〔千克/元〕，160÷9=17

〔千克/元〕

20＞17

，所以买120克装的划算。

〔2〕3.14×〔5÷2〕2×1×10×36÷[3.14×〔6÷2〕2×1×10]=25〔次〕

答：

这一支牙膏只能用25次。

2.【解析】6.28÷2÷3.14=1〔厘米〕

80÷2÷〔1×2〕=20〔厘米〕

3.14×12×20=62.8〔立方厘米〕

答：

原圆柱体的体积是62.8立方厘米。