最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版.docx
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最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展（学生版）
•、基本公式
1.平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
2
例：
计算1999-2000X1998
2
22
2.完全平方公式（a+b）=a+2ab+b（a-b）
例：
运用公式简便计算
3.完全平方公式
（1）
完全平方公式变用1:
利用已知的两项求第三项
a+b（或a-b）、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
（a+b）2、（a-b）2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
1a2b2=（ab）2-2aba2b2=（a-b）2+2ab
2222
2（a-b）=（a+b）-4ab（a+b）=（a-b）+4ab
（2）完全平方公式变用2:
两个完全平方公式之和的整合
2222
（a+b）+（a-b）=2（a+b）
例1•已知ab2,ab=1，求a2b2的值。
2
例2.已知a•b=8,ab=2，求（a-b）的值。
例3.已知a-b=4,ab=5，求a2b2的值。
22
例4.已知m+n=7,mn=—18,求m—mr+n的值.
例5（3）已知：
x+2y=7,xy=6，求（x-2y）2的值.
例6.已知a+丄=5,求
（1）a2+W,
（2）（a—丄）2的值.
aaa
11
例7.已知x-―=3，求x4■~4的值。
xx
（3）完全平方公式变用3:
几个数的和的平方推广
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
2222
（a+bP）=a+b*c+2ab+2bc+2ac
公式的证明：
（a命弋j彳a杭产了弋a^b”2（a4b）c+c2
=a22abb22ac2bcc2-a2b2c22ab2bc2ac
3
=a-b
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
22
（1）位置变化，xy-yx=x_y
（2）符号变化，（彳勺片—xj_y2=x2-y2
2.整体思想的应用
（1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”
22
例1计算（-a+4b）
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，就是公式中的a,就是公式中的b；
若将题目变形为（4b-a2）2时，则是公式中的a,而就是公式中的b.（解略）
练习1•计算：
5x23y25x2-3y2
练习2•计算：
x-yzx-y—z
练习3.计算：
IxyzmJlxy-zm1
练习4.计算：
x■y-2zxy6z
（2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号
例计算：
（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而是公式（a+b）（a-b）=a2-b2
中的a,而则是公式中的b.
解：
原式=
（3）应用整体思想，要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项
符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合
理分组的方法，再应用整体思想
例1.计算：
（a_bc_d）（_a_b_c_d）
例2计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.
22
例4.计算：
（a+b+c—d）+（b+c+d—a）
例5.计算：
3x2y-5z1]-3x2y-5z-1
2222
例6计算（a+b+c）+（a+b-c）+（a-b+c）+（b-a+c）.
例7.四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？
为什么?
3.公式的逆用
』2』2
例1.计算：
5a7b-8c]〔5a-7b8c
例2计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2
4.公式的连用
例1.计算：
xyx_yx2y2
例2•计算：
1-aa1a21a41
例3.计算：
2222
（a-1/2）（a+1/4）（a+1/2）
5.创造条件后用公式
（1）通过变形，创造条件后用公式
1）改变顺序：
调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显例1、运用乘法公式计算：
111a2
（1）怎呻）（-即-3）；
（2）（x-1/2）（x+1/4）（x+1/2）
2）提出负号：
对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带
来的麻烦。
如（—2m-7n）（2m-7n）变为（2m+7n）（7n—2m）后就可用平方差公式求解了
4）项数变化将某一项（某个数）变形：
一分为二，通过创造条件分组。
例3计算：
（2x—3y—1）（—2x—3y+5）
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符•于是可
创造条件一“拆”
数：
—1=2—3,5=2+3,使用公式巧解
例4.计算：
2x3y22x-3y•6
又如：
（x+3y+2z）（x—3y+6z）变为（x+3y+4z—2z）（x—3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
5）.先整体展开，再用公式
例5.计算：
（a2b）（a-2b1）
[（a-2b）11，再
简析：
乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：
原式=
6）其它变形技巧
例6:
已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
因为x-y=2,y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x-z=（x+z）（x-z）=14X4=56。
常见的变形技巧
（2）通过草船借箭后创造条件用公式
248
例1（3）计算（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）.
2-1），则可运用公
分析：
此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（式，使问题化繁为简.
248
解：
原式=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）
2248
=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）
448
=（2-1）（2+1）（2+1）
=（28-1）（28+1）
16
=2-1
例2.计算：
3（381）（341）（321）（31）
例3:
判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几?
（3）乘法公式交替用
例试证：
（xz）（x2_2xzz2）（x_z）（x22xzz2）=（x2_z2）3
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展（教师版）
•、基本公式
1.平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
2
例：
计算1999-2000X1998
222222
2.完全平方公式（a+b）=a+2ab+b（a-b）=a-2ab+b
例：
运用公式简便计算
（1）1032
（2）1982
2222
（1）103弋100七）=100+2x100x3七=10609
2222
（2）198弋200-2）=200_2x200汉2七=39204
3.完全平方公式
（1）完全平方公式变用1:
利用已知的两项求第三项
a+b（或a-b）、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
（a+b）2、（a-b）2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
1a2b2=（ab）2-2aba2b2=（a-b）2+2ab
2（a-b）2=（a+b）2-4ab（a+b）2=（a-b）2+4ab
（2）完全平方公式变用2:
两个完全平方公式之和的整合
2222
（a+b）+（a-b）=2（a+b）
例1•已知ab2,ab=1，求a2b2的值。
a2b2=（ab）2-2ab=22-21=2
例2•已知a•b=8,ab=2，求（a-b）2的值。
（a-b）2=（ab）2-4ab=82-42=56
22
例3.已知a-b=4,ab=5，求ab的值。
a2+b2=（a_bf+2ab=42+2P=26
例4.已知m+n=7,mn=—18,求mi-mn+n2的值.
2222
m-mn+n=（m+n）—3m=7—3X（—18）=103.
例5已知：
x+2y=7,xy=6，求（x-2y）2的值.
（x-2y）2=（x+2y）2-8xy=72-8X6=1.
例6.已知a+1=5，求
（1）a2+!
（2）（a-1）2的值.
aaa
答案：
（1）23;
（2）21.）
11
例7.已知x-丄=3，求x4•J的值。
xx
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
2222
abcabc2ab2bc2ac
2222
公式的证明：
abcl.abc^ab2abcc
22222*2
=a2abb2ac2bccabc2ab2bc2ac
例.计算
（1）（x2$比j
（2）（3mn-pf
4.立方和与立方差公式
（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3
322223322223
=a+ab-ab-ab+ab+b=a-ab+ab-ab+ab-b
3.33.3
=a+b=a-b
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
22
（1）位置变化，xy-yx-x-y
（2）符号变化，（彳勺）（"-y片—xy2=x2-y2
2.整体思想的应用
（1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”
例1计算（-a2+4b）2
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，就是公式中的a,就是公式中的b;
若将题目变形为（4b-a2）2时，则是公式中的a,而就是公式中的b.（解略）
练习1•计算：
5x23y25x2-3y2
练习2.计算：
（x—y七][x-y—z）千x—y）_z
练习3.计算：
IxyzmHxy-zmI-xy][zm^2/-Z-2zmm
练习4.计算：
x'y-2zxy6z
（2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号
例计算：
（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而是公式（a+b）（a-b）=a2-b2
中的a,而则是公式中的b.
解：
原式=
（3）应用整体思想，要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合
理分组的方法，再应用整体思想
例1.计算：
（a-b•c-d）（—a-b-c-d）
例2计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）.
=〔（2x+5）+（y-z）〕〔（2x+5）-（y-z）〕
例3.计算
（1）a4b-3ca_4b-3c
（2）3xy_23x_y2
（1）原式=&a,cy+4b]fa」cy4b]^a」cj_（4bj=a2-6ac49c2_16b2
（2）原式=[3x^y-2j]Bx-（y-2）]=9x2_（y2,y+4严x2_y2+4y
22
例4.计算：
（a+b+c—d）+（b+c+d—a）
例5.计算：
3x2y-5z1-3x2y-5z-1例6计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）2+（b-a+c）2.
例7.四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？
为什么?
nn1n2n31-Inn3卩n1n2*1
2222222
=汕3nn3n21二n3n2n3n1二n3n1
.四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
3.公式的逆用
22
例1.计算：
5a7b-8cj[5a-7b8c
例2计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2公式的连用
4.
2222224
例1.计算：
xyx-yxyi予x-yxyx-y
2.计算:
例3.计算:
1-aa1a21a41
222
（a-1/2）（a+1/4）（a+1/2）
例4.计算:
-）（1+1）（1—1）（
223
=1X3XX42X11=丄XH=卫
2233101021020
5.创造条件后用公式
（1）通过变形，创造条件后用公式
1）改变顺序：
调整各项的排列顺序,例2、运用乘法公式计算：
111a
（1）（一a「b）（-b-）;
3443
1+1）X・・・X（1—1）（1+1）
31010
可以使公式的特征更加明显
2
（2）（x-1/2）（x+1/4）（x+1/2）
2）提出负号：
对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带
来的麻烦。
如（—2m-7n）（2m-7n）变为（2m+7n）（7n—2m）后就可用平方差公式求解了
3）
先提公因数（式），再用公式
4）项数变化将某一项（某个数）变形：
一分为二，通过创造条件分组。
例3计算：
（2x—3y—1）（—2x—3y+5）
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符•于是可创造条件一“拆”数：
—1=2—3,5=2+3,使用公式巧解
例4.计算：
2x3y22x-3y•6
又如：
（x+3y+2z）（x—3y+6z）变为（x+3y+4z—2z）（x—3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了.
5）.先整体展开，再用公式
例5.计算：
（a2b）（a_2b1）
简析：
乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即1（^2b）-1，再
将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：
原式=
6）其它变形技巧
22
例6:
已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x-z的值。
因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x-z=（x+z）（x-z）=14X4=56。
常见的变形技巧
（2）通过草船借箭后创造条件用公式
例1（3）计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）.
分析：
此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公
式，使问题化繁为简.
248
解：
原式=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）（2+1）
2248
=（2-1）（2+1）（2+1）（2+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）
=（28-1）（28+1）
16/
=2-1
例2.计算：
3（381）（341）（321）（31）
简析：
由观察整式（31），不难发现，若先补上一项（3-1），则可满足平方差公式。
多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。
例3:
判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
2+1）
=2
242048
（2+1）（2+1）（2+1）+1
242048
（2-1）（2+1）（2+1）……（2+1）+1
4096
1024
当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幕的个位数字都是6,所以它的
个位数字为6。
（3）乘法公式交替用
例试证：
（xz）（x2「2xzz2）（x「z）（x22xzz2）=（x2「z2）3
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