数学新学案同步必修二人教B版鲁京辽讲义第一章 立体几何初步111 Word版含答案.docx

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数学新学案同步必修二人教B版鲁京辽讲义第一章立体几何初步111Word版含答案

§1.1　空间几何体

1.1.1　构成空间几何体的基本元素

学习目标

　1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．

知识点一　构成几何体的基本元素

思考1　平面几何研究的主要对象是什么？

构成平面图形的基本元素是什么？

答案　平面图形；点与直线．

思考2　构成几何体的基本元素是什么？

答案　点、线、面．

梳理　几何体的定义

（1）定义：

只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．

（2）构成空间几何体的基本元素：

点、线、面．

知识点二　长方体

思考　长方体的基本元素有哪些？

如何定义？

答案　6个面，12条棱，8个顶点，长方体是由六个矩形（包括它的内部）围成的．

梳理　长方体的概念

（1）基本元素：

长方体有12条棱，8个顶点，6个面．

（2）面：

围成长方体的各个矩形．

（3）棱：

相邻两个面的公共边．

（4）顶点：

棱和棱的公共点．

知识点三　平面

思考　平的镜面是一个平面吗？

答案　不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的．

梳理　平面的概念

（1）特征：

平面是处处平直的面，是无限延展的．

（2）画法：

通常画一个平行四边形表示一个平面．

（3）命名：

用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．

知识点四　空间中直线、平面的位置关系

思考　空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？

答案　直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．

平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种．

梳理　特殊位置关系的几个定义比较

位置关系

定义

图形及符号表示

平行

线面

若直线和平面没有公共点，则说直线和平面平行

AB∥平面α

面面

若两个平面没有公共点，则说这两个平面平行

平面α∥平面β

垂直

线面

若一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则说直线与平面垂直

l⊥平面α

面面

若两个平面相交，并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线，则说这两个平面互相垂直

平面α⊥平面β

距离

点面

点到平面的垂线段的长度，称作点到平面的距离

两平面

夹在两平行平面间垂线段的长度称作两平面间的距离

1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．（　×　）

2．空间不同三点确定一个平面．（　×　）

3．一条直线和一个点确定一个平面．（　×　）

类型一　几何体的基本元素

例1　试指出下图中各几何体的基本元素．

解　

（1）中几何体有6个顶点，12条棱和8个面．

（2）中几何体有12个顶点，18条棱和8个面．

（3）中几何体有6个顶点，10条棱和6个面．

（4）中几何体有2条曲线，3个面（2个平面和1个曲面）．

反思与感悟　点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识．

跟踪训练1　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列说法正确的有________．（填序号）

①长方体的顶点一共有8个；

②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；

③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；

④长方体由六个平面围成．

答案　①

类型二　空间中点、线、面的位置关系的判定

例2　如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：

（1）与直线B′C′平行的平面有哪几个？

（2）与直线B′C′垂直的平面有哪几个？

（3）与平面BC′平行的平面有哪几个？

（4）与平面BC′垂直的平面有哪几个？

（5）平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？

解　

（1）有平面ADD′A′与平面ABCD.

（2）有平面ABB′A′、平面CDD′C′.

（3）有平面ADD′A′.

（4）有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.

（5）可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．

反思与感悟　

（1）解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．

（2）长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．

跟踪训练2　下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是________．（填序号）

①直线AA1与直线BB1平行；

②直线AA1与平面C1D1DC相交；

③直线AA1与平面ABCD垂直；

④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等．

答案　①③④

解析　①正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1∥BB1；

②不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点，所以AA1∥平面C1D1DC；

③正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD；

④正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．

类型三　几何体的表面展开图

例3　把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形．

解　画出的相应图形如图所示．

反思与感悟　多面体表面展开图问题的解题策略

（1）绘制展开图：

绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．

（2）已知展开图：

若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个

几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．

跟踪训练3　一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.

答案　60°

解析　将平面图形翻折，折成空间图形，如图．由图可知AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形．所以∠ABC＝60°.

1．有以下结论：

①平面是处处平的面；

②平面是无限延展的；

③平面的形状是平行四边形；

④一个平面的厚度可以是0.001cm.

其中正确的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　平面的概念、面法及表示

题点　平面概念的应用

答案　B

解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.

2．下列结论正确的个数有（　　）

①曲面上可以存在直线；

②平面上可存在曲线；

③曲线运动的轨迹可形成平面；

④直线运动的轨迹可形成曲面；

⑤曲面上不能画出直线．

A．3B．4C．5D．2

答案　B

解析　由空间中构成几何体的基本元素可判断①②③④均正确，而曲面上可以画出直线，所以⑤错误，故选B.

3．下列说法正确的是（　　）

A．在空间中，一个点运动成直线

B．在空间中，直线平行移动形成平面

C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面

D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体

答案　C

解析　一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上（或向下）移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．

4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中（如图所示），和棱A1B1不相交的棱有________条．

答案　7

解析　在长方体中一共有12条棱，除去与A1B1相交的与其本身，还剩7条．

5．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为________．

答案　E，D，F

解析　第一个正方体已知A，C，D，第二个正方体已知B，C，E，第三个正方体已知A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知，A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.

1．点、线、面是构成几何体的基本元素．

2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．

3．平面的记法

（1）平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；

（2）平面图形顶点法．

4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．

一、选择题

1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（　　）

A．点B．线段

C．曲面D．多边形（不包括内部的点）

答案　D

解析　空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形（不包括内部的点）不属于构成几何体的基本元素．

2．下列说法正确的是（　　）

A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形

B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分

C．一条直线和一个平面一定会有公共点

D．平面是光滑的，可向四周无限延展

答案　D

解析　平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错．故选D.

3．下列关于长方体的叙述中不正确的是（　　）

A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体

B．长方体中相对的面互相平行

C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离

D．两相对面之间的棱互相平行且等长

答案　A

解析　A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.

4．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是（　　）

答案　A

解析　根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B，C，D不正确，故选A.

5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（　　）

答案　A

解析　两个

不能并列相邻，B、D错误；两个

不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．

6．两个平面可以将空间分成（　　）

A．3部分B．4部分

C．2或4部分D．3或4部分

答案　D

解析　当两平面平行时，将空间分成3部分；当两平面相交时，将空间分成4部分，故选D.

二、填空题

7．下列说法：

①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；

②一个几何体可以没有顶点；

③一个几何体可以没有棱；

④一个几何体可以没有面．

其中正确的是________．（填序号）

答案　②③

解析　球只有一个曲面围成，故①错，②③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．

8.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A垂直的平面是________________．

答案　3　平面ABCD，平面A′B′C′D′

解析　平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．与AA′垂直的是平面ABCD，平面

A′B′C′D′.

9．线段AB的长为5cm，在水平面上向右移动4cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.

（1）该长方体的高为________cm.

（2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________cm.

（3）点A到平面BCC′B′的距离为________cm.

答案　

（1）3　

（2）4　（3）5

解析　如图，

（1）该长方体的高为3cm.

（2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4cm.

（3）A到平面BCC′B′的距离为5cm.

10．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________．（填序号）

答案　③

解析　正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．

11．如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，则封闭折线ABCDA的长为________．

答案　

＋2

＋

解析　如图，AB＋BC＋CD＋DA＝

＋

＋

＋

＝

＋2

＋

，即折线ABCDA的长为

＋2

＋

.

AB＋BC＋CD＋DA＝

＋

＋

＋

＝

＋2

＋

.

三、解答题

12．如图所示，指出几何体的点、线、面．

解　其中的点有A，B，C，D，M，N.

其中的线有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.

其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.

13．如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中的位置关系是什么？

解　选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行．

四、探究与拓展

14．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为（　　）

A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤

C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤

答案　A

解析　先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②，可得正方体，而可验证其余不合题意．故选A.

15．如图是边长为1m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．

解　通过正方体的展开图（如图所示），可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线

段的长，为

＝

（m）．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．

爬行的最短路线如图

（1）～（6）所示．