第四节行列式的性质.docx
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第四节行列式的性质
第四节行列式的性质
上一节我们给出了一般n价行列式的定义,下面我们需要证明按照这个定义的n价行列式可以解一般的n元线性方程组.下面我们先研究行列式的性质。
记
行列式DT称为行列式D的转置行列式.
性质1行列式与它的转置行列式相等.
证明:
按定义
证毕
说明:
行列式中行与列具有同等的地位,因此行列
式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
性质2互换行列式的两行(列),行列式变号.
证明:
设行列式
是由行列式D变换i,j两行得到的
于是
例如
推论如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零.
证明:
互换相同的两行,有
性质3行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.
证明:
由行列式的定义
证毕
推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
但是要注意,对行列式的行(列)提公因子时,
要对行(列)分别进行。
推论2 若行列式的某一行(列)中所有元素均为零,则此行列式为零.
性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.
证明:
性质5 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和.
则D等于下列两个行列式之和:
证明:
由行列式的定义
证毕
例如
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到
另一行(列)对应元素上去,行列式的值不变.
证明:
由行列式的性质
证毕
由于上三角形行列式的值是其对角线元素的乘积,因此计算行列式常用方法是利用性质6,把行列式化为等值的上三角形行列式,从而算得行列式的值.
为了以后叙述方便,我们引进下列记号:
对换行列式的两行(或两列)记为
把行列式的第i行(或列)提出公因子k,记为
把行列式的第i行(或列)乘k倍后加到第j行(或列)上去记为
例9
解:
例10计算n阶行列式
解:
将第2,3,…,n都加到第一列得
例11
证明
证明:
小结
行列式的6个性质(行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立).
计算行列式常用方法:
(1)利用定义;
(2)利用性质把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值.