第四节行列式的性质.docx

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第四节行列式的性质

第四节行列式的性质

上一节我们给出了一般n价行列式的定义，下面我们需要证明按照这个定义的n价行列式可以解一般的n元线性方程组.下面我们先研究行列式的性质。

记

行列式DT称为行列式D的转置行列式.

性质1行列式与它的转置行列式相等.

证明:

按定义

证毕

说明:

行列式中行与列具有同等的地位,因此行列

式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.

性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.

证明:

设行列式

是由行列式D变换i,j两行得到的

于是

例如

推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.

证明:

互换相同的两行，有

性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.

证明：

由行列式的定义

证毕

推论1　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．

但是要注意，对行列式的行（列）提公因子时，

要对行（列）分别进行。

推论2　若行列式的某一行（列）中所有元素均为零，则此行列式为零．

性质４　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．

证明:

性质5　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.

则D等于下列两个行列式之和：

证明：

由行列式的定义

证毕

例如

性质６　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到

另一行（列）对应元素上去，行列式的值不变．

证明：

由行列式的性质

证毕

由于上三角形行列式的值是其对角线元素的乘积，因此计算行列式常用方法是利用性质6，把行列式化为等值的上三角形行列式，从而算得行列式的值．

为了以后叙述方便，我们引进下列记号：

对换行列式的两行（或两列）记为

把行列式的第i行（或列）提出公因子k,记为

把行列式的第i行（或列）乘k倍后加到第j行（或列）上去记为

例9

解：

例10计算n阶行列式

解:

将第2,3,…,n都加到第一列得

例11

证明

证明:

小结

行列式的6个性质（行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立）.

计算行列式常用方法：

（1）利用定义;

（2）利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．