（2）如图，过抛物线
y
2＝2
（
>0）的焦点
F
的直线
l
交抛物线于点
，，交其准线于点
，
pxp
AB
C
若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线方程为________．
答案y2＝3x
解析如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，
设准线与x轴的交点为G，设BF＝a，
则由已知得BC＝2a，
由抛物线定义，得BD＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵AE＝AF＝3，AC＝3＋3a，
由2AE＝AC，得3＋3a＝6，从而得a＝1，FC＝3a＝3.
13
∴p＝FG＝2FC＝2，
因此抛物线方程为
y2＝3x.
热点二
圆锥曲线的几何性质
x2
y2
例2
（1）已知O为坐标原点，F是椭圆C：
a2＋b2＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的
左、右顶点．
P
为
C
上一点，且
⊥
轴．过点
A
的直线
l
与线段
PF
交于点
，与
y
轴交于
PF
x
M
点E.若直线BM经过OE的中点，则
C的离心率为________．
2
答案
1
3
解析
设（－
c
，），则
E
0，am
，
的中点为
，
M
m
a－c
OE
D
则D0，
am
，又B，D，M三点共线，
2a－c
m
m
1
所以2a－c＝a＋c，a＝3c，e＝3
2
2
（2）双曲线x2－
y
2＝1（
a
>0，
>0）的渐近线为正方形
的边
，
所在的直线，点
B
为该
a
b
b
OABC
OAOC
双曲线的焦点，若正方形
OABC的边长为
2，则a＝________.
答案
2
解析
设B为双曲线的右焦点，如图所示．∵四边形
OABC为正方形且边长为
2，
∴c＝OB＝22.
π
又∠AOB＝4，
bπ
∴＝tan
＝1，即a＝b.
a
4
又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2.
思维升华
解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于
，，
ab
c的方程或不等式，再根据
a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于
a，b，c的
方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、
图形的结构特征、点的坐标的范围等．
x2
y2
跟踪演练
2
（1）已知双曲线E：
a2－b2＝1（a>0，b>0），若矩形ABCD的四个顶点在
E上，AB，
CD的中点为E的两个焦点，且
2AB＝3BC，则E的离心率是________．
答案
2
2
2
2
b
2
222
2
2
b
解析
由已知得AB＝a，BC＝2c，∴2×a
＝3×2c，又∵b＝c－a，整理得
2c－3ac－2a
2
c2
c
2
＝0，两边同除以a
得2
a
－3a－2＝0，即
2e－3e－2＝0，
1
解得e＝2或e＝－（舍去）．
2
x2y2
（2）（2018·江苏省盐城中学模拟）已知F1（－c,0），F2（c,0）为椭圆a2＋b2＝1（a>b>0）的两个焦
3
→
→
2
________.
点，P为椭圆上一点，且PF1·PF2＝c，则此椭圆离心率的取值范围是
答案
3
2
3，2
解析
→
→
2
2
22
设P（x，y），则PF1·PF2＝（
－c－x，－y）·（c－x，－y）＝x－c＋y＝c，（*）
2
2
b22
将y
＝b
－a2x
代入（*）
式，
解得
2
2c2－b2a2
＝
3c2－a2a2
x
＝
c
2
c
2
，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，
∴e＝c
∈
3，
2
.
a
3
2
热点三
直线与圆锥曲线
x2
y2
例3
已知椭圆E：
a2＋b2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为
M，直线l：
3x－4y
4
＝0交椭圆E于A，B两点．若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于
5，则椭圆E的离心率
的取值范围是________．
答案0，
3
2
解析设左焦点为F0，连结F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵AF＋BF＝4，
∴AF＋AF0＝4，∴a＝2.
4b4
设M（0，b），则5≥5，∴1≤b＜2.
c
c2
a2－b2
4－b2
3
离心率e＝a＝
a2＝
a2＝
4∈0，2
.
思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关
系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件≥0.涉及中点问题也可以用点差法．
x2y2
跟踪演练3
（1）过双曲线a2－b2＝1（a>0，b>0）上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐
→→
近线于R，Q两点，则PR·PQ的值为________．
答案a2
4
解析
设
x，y
，则
a
y，y
，
a
→
＝
a
·
a
P（
）
Rb
Q
－y，y，于是→·
y－x，0
－y－x，0
b
PR
PQ
b
b
a
a
2
a22
1
2
2－
22
a2b2
2
＝by－x·－by－x＝x
－b2y＝b2（bx
ay
）＝b2＝a.
2y2
（2）已知椭圆C1：
a2＋b2＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：
x－4＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线x2y2
与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b＝________.
2
答案
2
2y2
解析由双曲线x－4＝1知渐近线方程为y＝±2x，
又∵椭圆与双曲线有公共焦点，
∴椭圆方程可化为b2x2＋（b2＋5）y2＝（b2＋5）b2，
2b2＋5b2
联立渐近线与椭圆方程消去y，得x＝5b2＋20，
又∵C1将线段AB三等分，
2b2＋5b22a212
∴1＋2×25b2＋20＝3，解得b＝2.∴b＝2.
x2
y2
1．（2018·江苏）在平面直角坐标系
xOy中，若双曲线a2－b2＝1（a＞0，b＞0）
的右焦点F（c,0）
到一条渐近线的距离为
3
，则其离心率的值为
________．
2c
答案
2
解析
双曲线的渐近线方程为
bx
±
ay
＝0，焦点
（
0）到渐近线的距离
＝|bc|
＝.
Fc,
d
b2＋a2b
3
∴b＝2c，
2
2
1
c
∴a＝
c
－b
＝2c，∴e＝a＝2.
x2
2
2．（2017·江苏）在平面直角坐标系
xOy中，双曲线
3－y＝1的右准线与它的两条渐近线分
别交于点P，Q，其焦点是F，F，则四边形FPFQ的面积是________．
1
2
1
2
答案
2
3
3
3
解析
渐近线方程为
y＝±
3x，右准线方程为
x＝2，
5
得P，Q坐标分别为3，±3.
22
PQ＝3，F1F2＝2c＝4，
1
所以四边形F1PF2Q的面积等于2×4×3＝23.
x2y2
3．已知双曲线C：
a2－b2＝1（a>0，b>0），过双曲线C的右焦点F作C的渐近线的垂线，垂足
为M，延长FM与y轴交于点P，且FM＝4PM，则双曲线C的离心率为_________________．
答案
5
C
a
2
b
2
1（a>0
b>0）
y
ax
F（
）
解析
双曲线
2－
2＝
的渐近线方程为
＝
，右焦点
c，0
，
：
x
y
，
b
过F与渐近线垂直的直线为
y＝－
ab（x－c），
b
y＝ax，
由
a
y＝－b（x－c），
a2ab
可解得xM＝c，yM＝c，
a
－
c）
P
ac
在y＝－b（x
中，令x＝0，可得y＝b，
→
→
∵FM＝4PM，∴FM＝4MP，
∴
a2
a2
，
c
－c＝40－
c
整理得5a2＝c2，则e2＝5，
∴e＝5，
即双曲线C的离心率为
5.
4.如图，在平面直角坐标系
xOy中，F是椭圆
x2
y2
＝1（
a＞b＞0）的右焦点，直线
b
a
2＋2
y＝与椭
b
2
圆交于B，C
两点，且∠BFC＝
90°，则该椭圆的离心率是
_________________________________．
答案
6
3
6
x2
y2
a2＋b2＝1，
解析
联立方程组
b
y＝，
2
解得B，C两点坐标为B－
3，
b，C
3
，
b，
2a
2
2a
2
又F（c,0），
→
3
b
→
3a
b
则FB＝－2a－c，2
，FC＝
2
－c，2
，
→
→
又由∠BFC＝90°，可得FB·FC＝0，代入坐标可得
2
32b2
c－4a＋4＝0，（*）
又因为b2＝a2－c2.
c2
2
c
2
6
代入（*）式可化简为a2＝3，则椭圆离心率为
e＝a＝
3＝3.
2
2
>0，>0）与椭圆x
2
2
5．（2018·无锡期末）已知双曲线
：
x2－
y2＝1（
＋
y
＝1的焦点重合，离
C
a
b
a
b
16
12
1
2
2
PF
心率互为倒数，设
F，F分别为双曲线
C的左、右焦点，P为右支上任意一点，则
1
的最小
PF2
值为________．
答案
8
解析
由已知c＝
16－12＝2，
1
－2，0
2
2，0
），e＝
21
2
∴F（
），F（
4＝2.又双曲线
C与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，∴a
2
1
2
2
x－
y
＝1.P在右支上，
＋b2＝c2＝4，ec＝＝
＝2，∴a2＝1，b2＝3，则双曲线C:
a
e
1
3
∴PF1>PF2，根据双曲线的定义有
PF1－PF2＝2a＝2，
2
2
∴1＝＋2
，
2
（
2＋PF2
2
2
2＋
4
PF1PF2＋4PF2＋4
1＝
＝
2＋
，∴＝
PF
2
PF
PF
）
PF
4PF
PF2
PF2
＝PF2＋4
＋4≥2
PF2·4
＋4＝8，当且仅当PF2＝2时等号成立．
PF2
PF2
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