高考新课标1卷理科数学试题及答案.docx
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高考新课标1卷理科数学试题及答案
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1）
理科数学
、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
x
1．已知集合A={x|x<1}，B={x|3x
1｝，则
A．AIB{x|x0}
B．
AU
BR
C．AUB{x|x1}
D．
AI
B
2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白
率是
A．
C．
π
B．
8
π
D．
4
3．设有下面四个命题
1
p1：
若复数z满足R，则zR；
z
2
p2：
若复数z满足z2R，则zR；
p4：
若复数zR，则zR.
其中的真命题为
4．记Sn为等差数列｛an｝的前n项和．若a4a524，S648，则｛an｝的公差为
A．1
B．2
C．
4
D．8
5．函数f（x）在（,
）单调递减，且为奇函数．
若
f
（1）
1，则满足1
f（x2）1
的x的取值范围是
A．
[2,2]
B．[1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]
6．（1
12）（1x）6展开式中x2的系数为x2
A
．15
B．20
C．
30
D．
35
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这
些梯形的面积之和为
框中，可以分别填入
A．A>1000和n=n+1
个单位长度，得到曲线C2
个单位长度，得到曲线C2
个单位长度，得到曲线C2
个单位长度，得到曲线C2
10．已知F为抛物线C：
y2=4x的焦点，
过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交
于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
11．设xyz为正数，且2x3y5z，则
A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2x
D．3y<2x<5z
12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的学科网&最小整数N：
N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件
的激活码是
A．440B．330C．220D．110
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.
x2y1
14．设x，y满足约束条件2xy1，则z3x2y的最小值为.
xy0
22
15．已知双曲线C：
x2y21（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆ab
A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。
若∠MAN=60°，则C的离心率为。
16．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O。
D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使
得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为。
三、解答题：
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
a2
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
3sinA
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
2）若PA=PD=AB=DC，
APD90o，求二面角A-PB-C的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：
cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（,2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（3,3）之外的零件数，求P（X1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3,3）之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
用样本平均数x作为的估计值?
，用样本标准差s作为的估计值?
，利用估计值
用剩下
判断是否需对当天的生产过程进行检查？
剔除（?
3?
?
3?
）之外的学科网数据，的数据估计和（精确到0.01）
2
附：
若随机变量Z服从正态分布N（,2），则P（3Z
0.9974160.9592，0.0080.09．
20.（12分）
1）求C的方程；
2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和
为–1，证明：
l过定点.
21.（12分）
已知函数（fx）ae2x+（a﹣2）ex﹣x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围.
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22．［选修4―4：
坐标系与参数方程］（10分）
x3cos,
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方
ysin,
程为
xa4t,
（t为参数）.
y1t,
（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
23．［选修4—5：
不等式选讲］（10分）
已知函数f（x）=–x2+ax+4，g（x）=│x+1│+│x–1│.
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；
（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含［–1，1］，求a的取值范围.
2017年新课标1理数答案
12.A
故△ABC的周长为3
PAD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面
又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
（2）在平面PAD内做PFAD，垂足为F，
由
（1）可知，AB平面PAD，故ABPF，可得PF平面ABCD.
uuuruuru
以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.
设n（x,y,z）是平面PCB的法向量，则
uuur22
nPC0xyz0uuur，即22
nCB02x0
可取n（0,1,2）.
设m（x,y,z）是平面PAB的法向量，则
可取n（1,0,1）.
19.【解】
（1）抽取的一个零件的尺寸在（3,3）之内的概率为0.9974，从而零件
的尺寸在（3,3）之外的概率为0.0026，故X~B（16,0.0026）.因此
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（3,3）之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（3,3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程学
因此的估计值为10.02.
16
1591.134，剔除（?
3?
?
3?
）之外的数据9.22，剩
222xi160.2122169.972i1
122下数据的样本方差为（1591.1349.2221510.022）0.008，
15
因此的估计值为0.0080.09.
20.（12分）解：
1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3，P4两点.
1113
又由1212122知，C不经过点P1，所以点P2在C上.aba4b
如果l与x轴垂直，设l：
x=t，由题设知t
222
（4k21）x28kmx4m240
21.解：
（1）f（x）的定义域为（,），f（x）2ae2x（a2）ex1（aex1）（2ex1），（ⅰ）若a0，则f（x）0，所以f（x）在（,）单调递减.
（ⅱ）若a0，则由f（x）0得xlna.
当x（,lna）时，f（x）0；当x（lna,）时，f（x）0，所以f（x）在（,lna）单调递减，在（lna,）单调递增.
（2）（ⅰ）若a0，由
（1）知，f（x）至多有一个零点.
ⅱ）若a0，由
（1）知，当xlna时，f（x）取得最小值，最小值为
1
f（
lna）1
lna.a
①当
a
1时，
由于f（lna）
0，故f（x）只有一
个零点；
②当
a
（1,
1
）时，由于1
a
lna0，即f（
lna）0，故f（x）没有零点；
③当
a
1
（0,1）时，1lna
a
0，即f（lna）
0.
422
又f
（2）ae4（a2）e222e220，故f（x）在（,lna）有一个零点.
3nnnn
设正整数n0满足n0ln
（1），则f（n0）en0（aen0a2）n0en0n02n0n00.
a
由于ln（31）lna，因此f（x）在（lna,）有一个零点.
a
综上，a的取值范围为（0,1）.
22.[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
2x2解：
（1）曲线C的普通方程为y21.
9
a1a1
当a4时，d的最大值为.由题设得17，所以a16.
1717
综上，a8或a16.、
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
解：
（1）当a1时，不等式f（x）g（x）等价于
x2
x|x1|
|x1|4
0.①
当x
1时，①式化为x
3x40，无解；
当1
x1时，①式化为
x2x
0，从而
当x
1时，①式化为x2
x4
0，
从而1x
117
2
所以f（x）
g（x）的解集为{x|1
117}.
2}.
2）当x
[1,1]时，g（x）2.
所以f（x）
g（x）的解集包含[1,1]，
等价于当x[1,1]时f（x）
2.
又f（x）在[1,1]的最小值必为f（
1）与f
（1）之一，所以f（
1）2且
f
（1）2，得
1a1.
所以a的取值范围为[1,1].
0，且|t|2，可得A，B的坐标分别为（t，42t），
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