高中数学151曲边梯形的面积教学案新人教A版选修22.docx

高中数学151曲边梯形的面积教学案新人教A版选修22.docx

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高中数学151曲边梯形的面积教学案新人教A版选修22

2019-2020年高中数学1.5.1曲边梯形的面积教学案新人教A版选修2-2

【预习目标】

预习“曲边梯形的面积”，初步体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想.

【预习内容】

1、曲边梯形的概念。

2、如何利用“以直代曲”的思想得到曲边梯形的面积？

3、如何实施曲边梯形的面积的求解？

【提出疑惑】

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

【学习目标】

1、理解“以直代曲”的意义；

2、理解求曲边梯形面积的四个步骤；

3、了解“近似代替”时取点的任意性。

学习重难点：

对以直代曲、无限逼近思想的理解。

以及一般曲边梯形的面积的求法。

【学习过程】

（一）情景问题：

我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。

但基本是规则的平面图形，如矩形、三角形、梯形。

而现实生活中更多的是不规则的平面图形。

对于不规则的图形我们该如何求面积？

比如我们山东省的国土面积？

（二）合作探究、精讲点拨

例题：

对于由y=x2与x轴及x=1所围成的面积该怎样求？

（该图形为曲边三角形，是曲边梯形的特殊情况）

探究1：

分割，怎样分割？

分割成多少个？

分成怎样的形状？

有几种方案？

探究2：

采用哪种好？

把分割的几何图形变为代数的式子。

探究3：

如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？

探究4：

采用过剩求和与不足求和所得到的结果一样，其意义是什么？

变式训练1：

求直线x=0,x=1,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

特别帮助：

12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）

变式训练2：

求直线x=1,x=4,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积。

（三）反思总结

1、对于一般曲边梯形，如何求面积？

2、求曲边梯形面积的方法步骤是什么？

（四）当堂检测

求由y=2x2＋1,和x=1,x=3,x轴围成的曲边梯形面积。

课后练习与提高

1、把区间[1,3]等分,所得个小区间,每个小区间的长度为（）

A.B.C.D.

2、把区间等分后,第个小区间是（）

A.B.

C.D.

3、在“近似替代”中，函数在区间上的近似值（）

A.只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值

C.可以是该区间内的任一函数值）D.以上答案均正确

练习答案：

1、（B）；2、（D）；3、（C）

1.5.1曲边梯形的面积教案

一、学习目标

1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；

2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．

二、重点、难点

重点：

求曲边梯形的面积；

难点：

深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．

三、知识链接

1、直边图形的面积公式：

三角形，矩形，梯形；

2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系．

四、学法指导

探求、讨论、体会以直代曲数学思想．

五、自主探究

1、概念：

如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f（x）所围成的图形称为．

2、思考：

如何求上述图形的面积？

它与直边图形的主要区别是什么？

能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的面积问题？

例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面积S．

分析：

我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。

我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：

将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．

解：

（1）分割

把区间[0，1]等分成n个小区间：

过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作

（2）以直代曲

（3）作和

（4）逼近

分割以曲代直作和逼近

当分点非常多（n非常大）时，可以认为f（x）在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f（xi）作为小矩形一边的长，于是f（xi）△x来近似表示小曲边梯形的面积

表示了曲边梯形面积的近似值。

变式拓展：

求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．

反思:

例2：

一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为（单位，求它在（单位：

）这段时间内行使的路程（单位:

）．

变式拓展：

一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为（单位,求它在（单位:

）这段时间内行使的路程（单位:

）．

反思:

六、目标检测

见学案

七、作业布置P50B组1．2

（1）

（2）

八、小结

2019-2020年高中数学1.5.2汽车行驶的路程教学案新人教A版选修2-2

1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；

2．感受在其过程中渗透的思想方法：

分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；

教学重点：

掌握过程步骤：

分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．

教学难点：

过程的理解．

教学过程：

一．创设情景

复习：

1．连续函数的概念；

2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；

利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？

二．新课讲授

问题：

汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：

km/h），那么它在0≤≤1（单位：

h）这段时间内行驶的路程（单位：

km）是多少？

分析：

解：

1．分割

（2）近似代替

（3）求和

（4）取极限

思考：

结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

三．典例分析

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．

分析：

利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解：

将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．

1．分割

（2）近似代替

（3）求和

（4）取极限

四．课堂练习

1．课本练习

五．回顾总结

求汽车行驶的路程有关问题的过程．

六．布置作业

§1.5.2汽车行驶的路程教案

教学目标：

1．体会求汽车行驶的路程有关问题的过程；

2．感受在其过程中渗透的思想方法：

分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

3．了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；

教学重点：

掌握过程步骤：

分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）．

教学难点：

过程的理解．

教学过程：

一．创设情景

复习：

1．连续函数的概念；

2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；

利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？

二．新课讲授

问题：

汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：

km/h），那么它在0≤≤1（单位：

h）这段时间内行驶的路程（单位：

km）是多少？

分析：

与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运动的路程问题．把区间分成个小区间，在每个小区间上，由于的变化很小，可以近似的看作汽车作于速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值，在求和得（单位：

km）的近似值，最后让趋紧于无穷大就得到（单位：

km）的精确值．（思想：

用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．

解：

1．分割

在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

，，…，

记第个区间为

，其长度为

把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：

，，…，

显然，

（2）近似代替

当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段

上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有

①

（3）求和

由①，

=

=

==

从而得到的近似值

（4）取极限

当趋向于无穷大时，即趋向于0时，

趋向于，从而有

思考：

结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程与由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

结合上述求解过程可知，汽车行驶的路程在数据上等于由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积．

一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤≤b内所作的位移．

三．典例分析

例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力（为常数，是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长所作的功．

分析：

利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．

解：

将物体用常力沿力的方向移动距离，则所作的功为．

1．分割

在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间：

，，…，

记第个区间为

，其长度为

把在分段，，…，上所作的功分别记作：

，，…，

（2）近似代替

有条件知：

（3）求和

=

从而得到的近似值

（4）取极限

所以得到弹簧从平衡位置拉长所作的功为：

四．课堂练习

1．课本练习

五．回顾总结

求汽车行驶的路程有关问题的过程．

六．布置作业