典型时间序列模型分析.docx
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典型时间序列模型分析
实验1典型时间序列模型分析
1、实验目的
熟悉三种典型的时间序列模型：
AR模型，MA模型与ARMA模型，学会运用Matlab工具对
对上述三种模型进行统计特性分析，通过对2阶模型的仿真分析，探讨几种模型的适用范围，并且通过实验分析理论分析与实验结果之间的差异。
2、实验原理
AR模型分析：
设有AR
（2）模型,
X（n）=-0.3X（n-1）-0.5X（n-2）+W（n）
其中：
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱
【分析】给定二阶的AR过程，可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
Pxw
1
H（z）
12
10.3z0.5z
这是一个全极点的滤波器，具有无限长的冲激响应。
对于功率谱，可以这样得到，
可以看出，Fxw完全由两个极点位置决定。
对于AR模型的自相关函数，有下面的公式:
这样，就可以求出理论的AR模型的自相关序列。
1.产生样本函数，并画出波形
2.题目中的AR过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
plot（x,'r'）;
ylabel（'x（n）'）;
title（'邹先雄——产生的AR随机序列'）;
gridon;
得到的输出序列波形为：
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到mx0，对于方差可以先求出理论自相
关输出，然后取零点的值。
并且，：
（恥矯（叭带入有
在最大值处输出的功率，也就是方差，为
<7；■匚⑼-5.6
两者合理论值吻
对实际数据进行估计，均值为mean（x）=-0.0703，而方差为var（x）=5.2795，
合得比较好。
程序及运行结果图如下，其中y_mean表示均值，y_var表示方差。
>>clearall；
b=[l];a=[l0.30.5];由描连的差分方程，稈到墓统借诺函数
hFinpitbia^O）;%得到系統的单位冲液固救，在如点处已经可以认芮值是Qrandn（state',0）;
iRnorarndtOij^j13500）;K产主题设的白噪声曜机序列？
标准差为2x=fil-ter（bja,wk%通讨毀理焉绑・得到珈出試昱题目申裏求的2歸AR过理Plfft（X,JrJ）;
ylabsl（1k（n）?
）;
title（-产生的AR甌机序列）;
£ridon.;
yl_Fiean.=niftarL（x）
y2_var=var（x）
yl_nean=
-0.0703
y2_var二
5.2795
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为，
砂七-0|时卄4叶）
用下面的语句产生：
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
可以看出，这个系统是带通系统。
4•估计自相关函数和功率谱密度
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出最后的仿真图形。
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff'）;
m=-Mlag:
Mlag;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄自相关函数'）;
最终的值为
邹先雄一目相关團数
可以看出，它和上面的理论输出值吻合程度很好。
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方
法进行估计，
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[-fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄一一实际的功率谱密度曲线'）;
估计出来的功率谱密度为，
将两幅图画在一起，可以看到拟合的情况比较好（两者相位刚好相反，但是基本波形相似）
代码如下：
clearall;
delta=2*pi/1000;
w_min=-pi;
w_max=pi;
Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
Gx=4*（abs（1丿（1+0.3*exp（-i*w）+0.5*exp（-2*i*w）））A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;%归一化处理
f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率结束
plot（f,Gx,'r'）;
holdon;
title（'邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线拟合'）;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1];a=[10.30.5];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,20）;%得到系统的单位冲激函数，在20点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的2阶AR过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]Py=[-fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱Py=-10*log10（Py）;
Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+2.6；%用来归一处理，使两者吻合plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
邹先雄一理论和实际的功率谙密度曲线拟合
ARMA模型分析
设有ARMA（2,2）模型，
X（n）+0.3X（n-1）-0.2X（n-2）=W（n）+0.5W（n-1）-0.2W（n-2）
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱
【分析】给定（2,2）的ARMA过程，也可以用递推公式得出最终的输出序列。
或者按照一个白噪声通过线性系统的方式得到，这个系统的传递函数为：
7173亠。
右
对于功率谱，可以这样得到,
对于ARMA过程，当模型的所有极点均落在单位圆内时，才是一个渐进平稳的随机过程。
这个过程的自相关函数不能简单地写成Yule-Walker方程形式，它于模型的参数具有高度的
非线性关系。
1.产生样本函数，并画出波形
题目中的ARMA过程相当于一个零均值正态白噪声通过线性系统后的输出，可以按照上面的方法进行描述。
clearall;
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
plot（x,'r'）;
title（'邹先雄一一输出的AR随机序列'）;
得到的输出序列波形为：
邹先雄一输出的AR随机序列
0SO1C01S02002503003504004&0500
2.估计均值和方差
可以首先计算出理论输出的均值和方差，得到mx0，对于方差可以先求出理论自相关输出，然后取零点的值。
：
（nt）壬蚁川）*）*几（m）
并且,K（耐■镂何）,带入有
在最大值处就是输出的功率，也就是方差，为
GT；-7；（0>-4.2
对实际数据进行估计，均值为mean（x）=-0.0547，而方差为var（x）=3.8,两者和理论值吻
合的比较好。
附代码及运行结果截图如下：
»clearall,
b=[l0.5-0.2]:
sf[10.3-0.2]；%由插述的差分方程，得到系缔传递團数hFi»pi（bjaj10）:
K谒到嘉统的单位冲致函数，在10点处已经可叹认対值恳口
Anfstatet0）：
^norBrndO,2^,500）;%产生腫设的白噪声随机序列，标准差拘2y=filter（bja^）:
35谨过线形系统，得對输出就是题目中要求的也，？
）阶ARMA过程plot（X,'rJ）;
Py_mean=nieaiLtK）
Pyvarsvar（x）
Py.mean=
-0.1488
Py_var=
3.798E
3.画出理论的功率谱密度曲线
理论的功率谱为，
耳（也）=卑（岬心卜4阳
用下面的语句产生:
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1+0.3*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
plot（f,Gx,'b'）;
title（'邹先雄一一理论的功率谱密度曲线'）;
gridon;
邹先雄一理论的功率谱密度曲线
4•估计相关函数和功率谱密度曲线
用实际数据估计自相关函数和功率谱的方法前面已经讨论过，在这里仅给出仿真图形。
%计算理论和实际的自相关函数序列
Mlag=20;%定义最大自相关长度
Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff）;
m=-Mlag:
Mlag;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄一一估计自相关函数’）；
最终的值为
实际的功率谱密度可以用类似于上面的方法进行估计,
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄一一实际的功率谱密度曲线'）;
估计出来的功率谱密度为
邹先雄—奚际的功率谱密度曲线
”2了
-28
2§101LF」LL」I.
*-500400-300-200-1000100200300490500
把两幅图画在一起，可以得到下面的图形，可以看出两者的吻合度比较高。
delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1OOO;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1+0.5*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1+0.3*exp（-i*w）-0.2*exp（-2*i*w）;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）.A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率
plot（f,Gx,'r'）;
title（'邹先雄一一理论和实际的功率谱密度曲线的拟合'）;
holdon;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[10.5-0.2];a=[10.3-0.2];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
Py=10*log10（Py）;Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4；%用来归一处理，使两者吻合plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
邹芫嬢一理论和实际的功率谱密度由线的般合
3、实验内容
1熟悉实验原理，将实验原理上的程序应用matlab工具实现；
2、设有MA
（2）模型，
|x（n）=W（n）-0,3W（n-1）+02W（n-2）
W（n）是零均值正态白噪声，方差为4。
（1）用MATLAB模拟产生X（n）的500观测点的样本函数，并绘出波形
（2）用产生的500个观测点估计X（n）的均值和方差
（3）画出理论的功率谱
（4）估计X（n）的相关函数和功率谱完成4个问题的源代码如下
clearall;
%产生样本函数，并画出波形
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程figure
（1）;
plot（x,'r'）;
title（'邹先雄——样本函数'）;
Py_mean=mean（x）
Py_var=var（x）%画出理论的功率谱密度曲线delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]NS=1-0.3*exp（-i*w）+0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率figure
（2）;
plot（f,Gx,'b'）;
title（'邹先雄——理论的功率谱密度曲线'）;%估计相关函数
Mlag=20;%定义最大自相关长度Rx=xcorr（x,Mlag,'coeff'）;
m=-Mlag:
Mlag;
figure（3）;
stem（m,Rx,'r.'）;
title（'邹先雄——估计相关函数'）;%画出估计的功率谱密度曲线window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20noverlap=10;%重叠的点数Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
figure（4）;plot（f,10*log10（Py）,'b'）;
title（'邹先雄——估计的功率谱密度曲线'）;%对实际和估计两功率谱密度曲线进行拟合delta=2*pi/1000;w_min=-pi;w_max=pi;Fs=1000;
w=w_min:
delta:
w_max;%得到数字域上的频率取样点，范围是[-pi,pi]
NS=1-0.3*exp（-i*w）+0.2*exp（-2*i*w）;%分子
DS=1;%分母
Gx=4*（abs（NS./DS）.A2）;%计算出理论值
Gx=Gx/max（Gx）;f=w*Fs/（2*pi）;%转化到模拟域上的频率figure（5）;
plot（f,Gx,'r'）;
title（'邹先雄——实际和估计两功率谱密度曲线的拟合'）;
holdon;
window=hamming（20）;%采用hanmming窗，长度为20
noverlap=10;%重叠的点数
Nfft=512;%做FFT的点数
Fs=1000;%采样频率，为1000Hz
b=[1-0.30.2];a=[1];%由描述的差分方程，得到系统传递函数
h=impz（b,a,10）;%得到系统的单位冲激函数，在10点处已经可以认为值是0
randn（'state',0）;
w=normrnd（0,2,1,500）;%产生题设的白噪声随机序列，标准差为2
x=filter（b,a,w）;%通过线形系统，得到输出就是题目中要求的（2,2）阶ARMA过程
[Px,f]=pwelch（x,window,noverlap,Nfft,Fs,'onesided'）;%估计功率谱密度
f=[-fliplr（f）f（1:
end）];%构造一个对称的频率，范围是[-Fs/2,Fs/2]
Py=[fliplr（Px）Px（1:
end）];%对称的功率谱
Py=10*log10（Py）;
Py=Py/max（Py）;
Py=-Py;Py=3*Py;Py=Py+4;%用来归一处理，使两者吻合
plot（f,Py,'b'）;
legend（'实际值','理论值'）;
gridon;
样本函数波形为：
邹先雄——样本函数
理论功率谱密度曲线为:
邹先雄——理论的功率谱密度曲线
估计相关函数波形为:
邹先雄一怙计相关商数
0.G
0.4
0.2
11T
-0.2
■°^0d5-10
10
15
20
估计功率谱密度曲线为:
实际和估计两功率谱密度曲线的拟合截图如下:
附程序运行后得到的均值与方差的截图，其中差，大小为3.9324:
y_mean为均值，大小为-0.1127;y_var为方
holdon,
windov^hanuung（20）;%采用harunning窗'点度为20
rwnrerlap=10：
%重屋的点數
Nfft=612;%做FFT的点勤
Fs=10CO;K采样频車,再血0Hz
b=[l-0.3D.2];a^[l];%由描述的差分方程，得到系统传递的敎
hFl些叫13；M得到系绕的单位冲漱函敎，在IO点处已径可以认论值是Urandu（*stat$".D）;
^norurndCD^^1,500）:
%产生题设的白噪芦随机序列，标淮差苑2
黑通过线形系编，得到输出就是题目中要求的住，2）阶ARIA过程[Px*f]=pnrelch（Xjwindo-Vjnoverlap,Hfft,Fs,7onesided,）;%皆计功率i普密度f=[-fliplr（f）f（l!
fend）J;%构程一个对称的范圍是[-昨/2』Fs/2]
P尸[fldplr（Px）Pkti;ozuD];%对称的#1車谱
Py=10»losl0（Py）:
Py=Py/niax（Py）;
Py=^Py;Py=3+
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