中考数学冲刺圆构造问题.docx

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中考数学冲刺圆构造问题

2021中考数学冲刺圆构造问题

构造圆问题即图中本来没有圆，但可通过构造圆来解决一些几何问题

模型讲解

条件：

AD＝AC＝AB

条件：

∠ADB＝∠ACB

条件：

2∠ADB＝∠ACB

条件：

∠BAC＋∠BDC＝180°

例题1、如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为.

巩固练习

1、如图，已知O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，则∠DAO＋∠DCO＝.

2、如图，四边形ABCD中，DC∥AB，BC＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为（）

A.

B.

C.

D.

例题2、如图，△ABC≌△ADE，且∠ABC＝∠ADE，∠ACB＝∠AED，BC、DE交于点O，则下列四个结论中，一定成立的有（将序号填在横线上）

①∠1＝∠2；②BC＝DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上

巩固练习

1、如图，点B为线段AD上一动点，分别以AB和BD向上作等边△ABC和等边△BDE，连接AE和CD相交于点P，连接BP，求证：

BP平分∠APD.

例题3、如图，已知平面直角坐标系中，直线y＝kx（k≠0）经过点（a，

a）（a＞0）.线段BC的两个端点分别在x轴与直线y＝kx上（B、C均与原点0不重合）滑动，且BC＝2，分别作BP⊥x轴，CP⊥直线y＝kx，交点为P，经探究在整个滑动过程中，P、O两点间的距离为定值.

例题4、如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若AB＝8，则PM的最大值是.

巩固练习

1、如图，AB为直径，AB＝4，C、D为圆上两个动点，N为CD中点，CM⊥AB于M，当C、D在圆上运动时保持∠CMN＝30°，则CD的长（）

A.随C、D的运动位置而变化，且最大值为4

B.随C、D的运动位置而变化，且最小值为2

C.随C、D的运动位置长度保持不变，等于2

D.随C、D的运动位置而变化，没有最值

例题5、已知在x轴上有A、B两点，且A（－4，0），B（2，0），若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

例题6、如图，直线y＝－

x＋3与x轴、y轴分别交于B、A两点，点P是线段OB上的一动点，若能在斜边AB上找到一点C，使∠OCP＝90°，设点P的坐标为（m，0），求m的取值范围.

例题7、如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使∠APB＝30°的点P有个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否存在最大值？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

巩固练习

1、如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝，∠DBC＝.

2、足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）

A.点C

B.点D或点E

C.线段DE（异于端点）上一点

D.线段CD（异于端点）上一点

3、如图，已知AB是⊙O的直径，PQ是⊙O的弦，PQ与AB不平行，R是PQ的中点，作PS⊥AB，QT⊥AB，垂足分别为S、T（S≠T），并且∠SRT＝60°，则

的值等于.

4、如图，若PA＝PB，∠APB＝2∠ACB，AC与PB交于点D，且PB＝4，PD＝3，则AD·DC＝.

5、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（－6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为.

6、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA＝DE，则AD的取值范围是.

7、如图，在平面直角坐标系的第一象限内有一点B，坐标为（2，m）.过点B作AB⊥y轴，BC⊥x轴，垂足分别为A、C，若点P在线段AB上滑动（点P可以与点A、B重合），发现使得∠OPC＝45°的位置有两个，则m的取值范围为.

8、在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转得到△A′B′C′。

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1.若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值.

图1图2图3

9、如图，抛物线y＝－

x2－

x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

（1）求点A、B的坐标；

（2）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式.

10、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－

x＋2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线y＝－

x2＋bx＋c的图像过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？

若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由

11、问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，如果BC边上存在点P，使∠APD＝90°，则BP的长度为.

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点.当AD＝6时，BC边上存在点Q，使∠EQF＝90°，说出点P的个数，并求此时BQ的长；

问题解决

（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安监控装置，用来监视边AB.现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳.已知∠A＝∠E＝∠D＝90°，AB＝270m，AE＝400m，ED＝285m，CD＝340m.

问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB＝60°？

若存在，请求出符合条件的DM的长；若不存在，请说明理由

图1

图2

图3

12、如果一个点能与另外两个点能构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点.例如：

矩形ABCD中，点C与A，B两点可构成直角三角形ABC，则称点C为A，B两点的勾股点.同样，点D也是A，B两点的勾股点.

（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，请在边CD上作出A，B两点的勾股点（点C和点D除外）（要求：

尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.

（2）矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，直接写出边CD上A，B两点的勾股点的个数.

（3）如图2，矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝4cm，DM＝8cm，AN＝5cm.动点P从D点出发沿着DC方向以1cm/s的速度向右移动，过点P的直线l平行于BC，当点P运动到点M时停止运动.设运动时间为t（s），点H为M，N两点的勾股点，且点H在直线l上.当t＝4时，求PH的长.

图1

图2