最新3山东专升本高等数学第三章微分中值定理与导数的应用Word文档下载推荐.docx

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说明：

通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若«

，则称点«

为函数«

的驻点．

2．拉格朗日中值定理

满足下述的两个条件：

内可导，

），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：

«

当«

时，上式的左端为零，右端式«

不为零，则只能«

，这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．

3．两个重要推论

（1）如果函数«

在区间«

上的导数恒为零，那么«

上是一个常数．

证：

上任取两点«

、«

（假定«

，«

同样可证），应用拉格朗日中值公式可得

«

（«

）．

由假定，«

，所以«

，即«

因为«

是«

上任意两点，所以上式表明«

上的函数值总是相等的，即«

（2）如果函数«

与«

内的导数恒有«

，则这两个函数在«

内至多相差一个常数，即«

为常数）．

设«

，则«

，根据上面的推论

（1）可得，«

，即«

，故«

二、洛必达法则

1．«

时“«

”型未定式的洛必达法则

及«

（1）当«

时，函数«

都趋于零；

（2）在点«

的某个去心邻域内«

都存在且«

；

（3）«

存在（或为无穷大），

那么«

这就是说，当«

存在时，«

也存在且等于«

为无穷大时，«

也是无穷大．

2．«

（2）当«

时«

我们指出，对于«

或«

时的未定式“«

”，也有相应的洛必达法则．

3．使用洛必达法则求“«

”型或“«

”型极限时的注意事项

（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“«

”型，如果不是则不能使用洛必达法则．例如：

就不能运用洛必达法则，直接代入求极限即可，故«

（2）洛必达法则可多次连续使用，也就是说，如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“«

”型，则可再次使用洛必达法则，依此类推．

（3）洛必达法则是求“«

”型未定式极限的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用，例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以使运算简便．例如：

求«

时，可先用«

进行无穷小的等价替换，然后再用洛必达法则，故

（4）如果求极限的式子中含有非零因子，则可以对该非零因子单独求极限（即可以先求出这部分的极限），然后再利用洛必达法则，以便简化运算．例如：

时，«

，从第二步到第三步的过程中，分子上的因子«

和分母上的因子«

时极限均为«

，故可先求出这两部分的极限以便化简运算．

（5）当洛必达法则的条件不满足时，所求极限不一定不存在，也即是说，当«

不存在时（等于无穷大的情况除外），«

仍可能存在．例如：

极限«

极限是不存在的，但是原极限是存在的，«

4．其他类型的未定式

除了“«

”型未定式之外，还有其他类型的未定式，如“«

”及“«

”型等．对于“«

”型的未定式，处理方法为将它们直接转化成“«

”或“«

”型；

对于“«

”型的未定式，处理方法为先取对数将它们转化成“«

”型，然后再转化成“«

”型未定式．

三、函数单调性的判定法

1．单调性判定法

设函数«

在«

上连续，在«

（1）如果在«

内«

，那么函数«

上单调增加；

（2）如果在«

上单调减少．

①如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间（包括无穷区间），结论也成立；

②若判定法中«

内只有有限个点上«

，而在其余点上恒有«

（或«

），则函数«

上仍然是单调增加（或单调减少）的．

2．单调区间的求法

在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，则求函数«

的单调性的步骤如下：

（1）求出函数«

的定义域；

（2）求出函数«

的导数«

，并令«

求出函数的驻点；

此外，再找出导数不存在的点（一般是使得«

分母为零的点）；

（3）用函数«

的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间，然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性．

3．用单调性证明不等式

函数«

的单调性还可以用来证明不等式，步骤如下：

（1）将不等式的一边变为零，不等于零的一边设为«

，根据要证明的式子找出不等式成立的«

的范围«

（2）求«

，判断«

在上述«

范围内的符号（即正负）；

（3）根据范围«

的边界值与«

的情况，导出所需要证明的不等式即可．

例如：

试证明当«

证明：

原不等式即为«

，故令«

则«

，«

，因此在«

上«

单调增加，从而当«

，又由于«

，亦即«

四、函数的凹凸性与拐点

1．函数凹凸性的定义

上连续，如果对«

上任意两点«

，恒有

，那么称«

上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；

如果恒有«

上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．如果函数«

内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，如下所示．

2．函数凹凸性的判定法

内具有一阶和二阶导数，那么

（1）若在«

上的图形是凹的；

（2）若在«

上的图形是凸的．

若在«

内除有限个点上«

外，其它点上均有«

），则同样可以判定曲线«

上为凹曲线（或凸曲线）．

3．曲线的拐点的求法

一般地，设«

上连续，«

的内点（除端点外«

内的点）．如果曲线«

在经过点«

时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点«

为这曲线的拐点．

我们可以按照下述步骤求区间«

上的连续函数«

的拐点：

（1）求«

（2）令«

，解出这方程在区间«

内的实根，并求出在区间«

不存在的点；

（3）对于

（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点«

，检查«

左、右两侧邻近的符号，当两侧的符号相反时，点«

是拐点，当两侧的符号相同时，点«

不是拐点．在«

上单3．基本初等函数的微分公式

若要求函数«

的凹凸区间，则用

（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间«

分成若干部分区间，然后在这些部分区间上判定«

的符号，若«

，则该部分区间为凹区间，若«

，则该部分区间为凸区间．

五、函数的极值与最值

1．函数极值的定义

在点«

的某邻域«

内有定义，如果对于去心邻域«

内任一«

，有«

），那么就称«

是函数«

的一个极大值（或极小值）．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点．

函数的极大值与极小值概念是局部性的，如果«

的一个极大值，那只是就«

附近的一个局部范围来说，«

的一个最大值，如果就«

的整个定义域来说，«

不见得是最大值．关于极小值也类似．

2．函数取得极值的必要条件

处可导，且在«

处取得极值，那么«

这也就是说，可导函数«

的极值点必定是它的驻点．但反过来，函数的驻点却不一定是极值点．例如，«

，因此«

是这函数的驻点，但«

却不是这函数的极值点，所以，函数的驻点只是可能的极值点．此外，函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值．例如，函数«

处不可导，但函数在该点取得极小值．

3．判定极值的第一充分条件

处连续，且在«

的某去心邻域«

内可导．

（1）若«

，而«

处取得极大值；

（2）若«

处取得极小值；

（3）若«

的符号保持不变，则«

处没有极值．

4．用第一充分条件求极值点和极值的步骤

在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下：

（1）求出导数«

（2）求出«

的全部驻点与不可导点；

（3）考查«

的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；

如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；

（4）求出各极值点的函数值，就得函数«

的全部极值．

5．判定极值的第二充分条件

处具有二阶导数且«

，那么

处取得极小值．

该极值判定条件表明，如果函数«

在驻点«

处的二阶导数«

，那么该驻点«

一定是极值点，并且可按二阶导数«

的符号来判定«

是极大值还是极小值．但如果«

，则该判定条件失效．事实上，当«

处可能有极大值，可能有极小值，也可能没有极值．例如，«

这三个函数在«

处就分别属于上述三种情况．因此，如果

函数在驻点处的二阶导数为零，那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定．

6．求«

Ski