简单的线性规划练习附答案详解.docx
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简单的线性规划练习附答案详解
简单的线性规划练习-附答案详解
简单的线性规划练习附答案详解
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是（ ）
A．（－∞，1）B．（1，＋∞）C．（－1，＋∞）D．（0,1）
2.若2m＋2n<4，则点（m，n）必在（ ）
A．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方
3．不等式组
所表示的平面区域的面积等于（ ）
A.
B.
C.
D.
4.不等式组
所围成的平面区域的面积为（ ）A．3
B．6
C．6D．3
5.设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋y的最小值为（ ）A．2B．3C．5D．7
6.已知A（2,4），B（－1,2），C（1,0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值及最小值分别是（ ）
A．－1，－3B．1，－3C．3，－1D．3,1
7.在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，则△AOB内部和边上整点（即坐标均为整数的点）的总数为（ ）A．95B．91C．88D．75
8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是（ ）A．12万元B．20万元C．25万元D．27万元
9.已知实数x，y满足
，若z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≥1B．a≤－1C．－1≤a≤1D．a≥1或a≤－1
10.已知变量x，y满足约束条件
，且有无穷多个点（x，y）使目标函数z＝x＋my取得最小值，则m＝（ ）
A．－2B．－1C．1D．4
11.当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC区域内（含边界）运动时，目标函数z＝kx＋y取得最大值的一个最优解为（1,2），则实数k的取值范围是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，＋∞）B．[－1,1]
C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1,1）
12.已知x、y满足不等式组
，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝（ ）
A．0B.
C.
D．1
13.已知实数x，y满足
，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m等于（ ）
A．7B．5C．4D．3
二、填空题14．设变量x，y满足约束条件
，则目标函数z＝2x＋y的最大值为________．
15．毕业庆典活动中，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部先派一人去了解船只的租金情况，看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，所付租金最少为________元.
船型
每只船限载人数
租金（元/只）
大船
5
12
小船
3
8
16．已知M、N是不等式组
所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大值是________．
17.如果直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于直线x＋y＝0对称，点P（a，b）为平面区域
内任意一点，则
的取值范围是________．
18．若由不等式组
（n>0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m＝________.
三、解答题
19．若x、y满足条件
，求z＝x＋2y的最小值，并求出相应的x、y值．
20．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率多0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率少0.05.
（1）分别求甲、乙产品为一等品的概率P甲，P乙；
（2）已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分别表示生产甲、乙产品的数量，在
（1）的条件下，求x，y为何值时，z＝xP甲＋yP乙最大，最大值是多少？
工人（名）
资金（万元）
甲
4
20
乙
8
5
[答案] B
[解析] ∵点O（0,0）使x－2y＋4>0成立，且点O在直线下方，故点（－2，t）在直线x－2y＋4＝0的上方⇔－2－2t＋4<0，∴t>1.
[点评] 可用B值判断法来求解，令d＝B（Ax0＋By0＋C），则d>0⇔点P（x0，y0）在直线Ax＋By＋C＝0的上方；d<0⇔点P在直线下方．
由题意－2（－2－2t＋4）>0，∴t>1.
[答案] A
[解析] ∵2m＋2n≥2
，由条件2m＋2n<4知，
2
<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.
[答案] C
[解析] 平面区域如图．解
得A（1,1），易得B（0,4），C
，
|BC|＝4－
＝
.
∴S△ABC＝
×
×1＝
.
[答案] D
[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B（4,4），A（1,1），C（2,0）
∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC
＝
×2×4－
×2×1＝3.
[答案] B
[解析] 在坐标系中画出约束条件
所表示的可行域为图中△ABC，其中A（2,0），B（1,1），C（3,3），则目标函数z＝2x＋y在点B（1,1）处取得最小值，最小值为3.
[答案] B
[解析] 当直线y＝x－z经过点C（1,0）时，zmax＝1，当直线y＝x－z经过点B（－1,2）时，zmin＝－3.
[答案] B
[解析] 由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；
y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
[答案] D
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
由题意得
，
获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，
由
，解得A（3,4）．
∵－3<－
<－
，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.
[答案] C
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1.
[答案] C
[解析] 由题意可知，不等式组表示的可行域是由A（1,3），B（3,1），C（5,2）组成的三角形及其内部部分．当z＝x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.
[答案] B
[解析] 由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为（1,2），则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．
[答案] B
[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和最大值．
由
得A（a，a），
由
得B（1,1），
∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝
.
[答案] B
[解析] 画出x，y满足条件的可行域如图所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交点A处，目标函数z＝x－y取得最小值．
由
，
解得
，
即点A的坐标为
.
将点A的坐标代入x－y＝－1，得
－
＝－1，即m＝5.故选B.
[答案] 2
[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点A（1,0）时，z取最大值，zmax＝2.
[答案] 116
[解析] 设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域如图，
∵－
<－
，∴当直线z＝12x＋8y经过点（9.6,0）时，z取最小值，但x，y∈N，
∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.
[答案]
[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分（包括边界）所示，由图形易知，点D（5,1）与点B（1,2）的距离最大，所以|MN|的最大值为
.
[答案]
[解析] ∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于x＋y＝0对称，∴y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1，而圆心在直线x＋y＝0上，∴－
＋
＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而
表示点P（a，b）与点（1，－1）连线的斜率，
∴kmax＝
＝－
，kmin＝－1，
∴所求取值范围为
.
[答案] －
[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，
∴OA为外接圆的直径，
∴直线x＝my＋n与x－
y＝0垂直，
∴
×
＝－1，即m＝－
.
[解析] 根据条件作出可行域如图所示，
解方程组
，得A（－2,2）．
再作直线l：
x＋2y＝0，把直线l向上平移至过点A（－2，2）时，z取得最小值2，此时x＝－2，y＝2.
[解析]
（1）依题意得
，
解得
，
故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.
（2）依题意得x、y应满足的约束条件为
，且z＝0.65x＋0.4y.
作出以上不等式组所表示的平面区域（如图阴影部分），即可行域．
作直线b：
0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．
解方程组
，得x＝2，y＝3.
故M的坐标为（2,3），所以z的最大值为zmax＝0.65×2＋0.4×3＝2.5
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