简单的线性规划.docx
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简单的线性规划
学科：
数学
教学内容：
简单的线性规划
【基础知识精讲】
1.知识的学习应遵循人类的认识规律和知识本身的渐近性，逻辑性.因此，建议同学们在学习本节时，应复习二元一次方程和平面直角坐标系中的直线的一种对应关系，在此基础上结合课本内容，理解二元一次不等式的解集在平面直角坐标系中对应的点（x,y）表示的区域.
2.用二元一次不等式表示平面区域的主要应用，就是线性规划，线性规划问题主要解决的是在生产实际中的资源配置和降低资源消耗等方面的问题.因此，建议同学们在研究线性规划问题时，首先应掌握线性规划的理论方法，其次应培养自己建立数学模型的能力，在解决与线性规划有关的实际问题时，能抽象出数学本质，解决实际问题.
3.教材开设简单的线性规划课程，是现代社会发展的需要，是纯理论性研究数学向应用数学知识解决实际问题发展的社会需要.所涉及的知识主要是平面线性区域的确定，建议同学们在学习本节时，要培养善于从实际问题抽象出数学模型的能力.
4.用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形：
平面区域
二元一次不等式
Ax+By+C≥0
（A＞0，B＞0）
Ax+By+C≤0
（A＞0，B＞0）
Ax+By+C≥0
（A＞0，B＜0）
Ax+By+C≤0
（A＞0，B＜0＝
说明
对于二元一次不等式不带等号时，其表示的平面区域，应把边界直线画成虚线
5.处理简单的线性规划的实际问题，关键之处在于从题意中建立目标函数，和相应的约束条件，实际上就是建立数学模型.这样解题时，将所有的约束条件罗列出来，弄清目标函数与约束条件的区别，得到目标函数的最优解，以理论指导实际生产需要.
6.线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.常见类型有：
（1）物资调运问题
例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两煤矿运往B1、B2两上车站的运输价格，煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少?
（2）产品安排问题
例如某工厂生产甲、乙两产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C三种材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能每月获得的总利润最大?
（3）下料问题
例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小?
本节学习要求：
（1）画二元一次不等式表示平面区域是本节的重点，在学习思路上，应抓住“以线定界、以点（原点）定域”的思想，以Ax+By+C≥0（A＞0，B＞0）为例.“以线定界”，即画二元一次方程Ax+By+c=0表示的直线定边界，其中，还要注意实线、虚线的画法.“以点定域”，由于对在直线Ax+By+C=0同侧的点，实数Ax+By+C的值的符号都相同，故为了确定Ax+By+C的值的符号，可采用取特殊点法，如取原点等.
（2）在线性规划的实际应用中，由二元一次不等式组构成了约束条件，确定线性约束条件的可行域的方法，与由二元一次不等式表示平面区域方法相同，即由不等式组表示这些平面区域的公共区域.
（3）线性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取最大值或最小值问题.在线性规划的实际应用中，建立数学模型是解决问题的关键.一般地，线性规划的数学模型是：
（这里“≤”也可以是“≥”或“=”，以下同）
其中aij（i=1,2,…，n,j=1,2,…,m）,bi（i=1,2,…,n）都是常量，xj（j=1,2,…,m）是非负变量，求
Z=c1x1+c2x2+…+cmxm
的最大值或最小值，这里Cj（j=1,2,…,m）是常量
教科书讨论的是m=1，2的两个变量，即直角坐标系里的x，y两个变量的线性规划问题，这类问题常用图解法来求最优.涉及更多变量的线性规划问题不能用图解法求解.
（4）建立线性规划问题的数学模型一般按以下步骤：
①明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示
②明确问题中所有的限制条件（约束条件），并用线性方程或线性不等式表示
③明确目标函数，按问题的不同，求其最大值或最小值.
培养学生研究、探索问题的积极态度，并运用所学知识解决实际问题的能力.
线性规划问题，是运筹学中基础内容.线性规划的应用，主要有运输问题，生产组织问题，分配问题，合理下料等，此外，在经济领域中的布局问题、计划问题等，它们的数学家模型都是线性函数，因此，仍为线性规划问题.
【重点难点解析】
1.理解用二元一次不等式表示平面区域和线性规划的概念.
2.掌握用二元一次不等式表示平面区域和应用线性规划的方法解决简单的实际问题的能力.3.掌握用线性规划的理论知识解决实际问题的能力.
例1某企业生产A、B两种产品，A产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在加工车间和装配车间进行生产，每件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h和2.4h，每件B产品在两个车间都需经过1.6h，在一定时期中，加工车间最大加工时间为240h，装配车间最大生产时间为288h.已知销路没有问题，在此一定时期中应如何搭配生产A产品和B产品，企业可获得最大利润?
分析根据条件，首先应挖掘实际问题的数学本质，为此，我们通过列框图比较各因素间的关系，寻找解题的突破口.
产品单位利润加工车间装配车间
（最大加工量240h）（最大装配量288h）
A（x）600.8h2.4h
B（y）801.6h1.6h
z=60x+80y为线性目标函数.
先由线性约束条件确定可行域，然后在可行域内求出目标函数的最优解.最大利润12600元.
例2设实数x、y满足不等式组
（1）求点（x,y）所在的平面区域
（2）设a＞-1，在
（1）所求的区域内，求函数f（x,y）=y-ax的最大值和最小值.
分析必须使学生明确，求点（x,y）所在的平面区域，关键是确定区域的边界线.可以去掉绝对值符号入手.
解：
（1）已知的不等式组等价于
或
解得点（x,y）所在平面区域为如图1所示的阴影部分（含边界）.其中AB：
y=2x-5;BC:
x+y=4;CD:
y=-2x+1;DA:
x+y=1.
图1
（2）f（x,y）表示直线l:
y-ax=k在y轴上的截距，且直线l与
（1）中所求区域有公共点.
∵a＞-1.
∴当直线l过顶点C时，f（x,y）最大.
∵C点的坐标为（-3，7），
∴f（x,y）的最大值为7+3a.
如果-1＜a≤2，那么当直线l过顶点A（2，-1）时，f（x,y）最小，最小值为-1-2a.
如果a＞2，那么当直线l过顶点B（3，1）时，f（x,y）最小，最小值为1-3a.
说明：
由于直线l的斜率为参数a，所以在求截距k的最值时，要注意对参数a进行讨论，方法是让直线l动起来.
例3某工厂要安排一种产品生产，该产品有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号，生产这种产品需要两种主要资源：
原材料和劳动力，每件产品所需资源数量以及每件产品出售价格如下表所示：
型号
货源
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
原材料（公斤/件）
劳动力（小时/件）
价格（元/件）
4
2
4
3
4
5
6
5
5
分析每天可利用的原材料为120公斤，劳动力为100小时，假定该产品只要生产出来即可销售出去，试确定三种型号产品的日产量，使总产值最大.
建立数学模型：
（1）用x1、x2、x3分别表示Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ种型号的日产量.
（2）明确约束条件：
（3）明确目标函数：
Z=4x1+5x2+3x3
这样，这个资源利用问题的数学模型为求x1，x2，x3的值，使Z=4x1+5x2+3x3为最大，且满足约束条件.
例4某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级，各级车工每人每天加工能力，成品合格率及日工资数如下表所示：
级别
加工能力（个/人天）
成品合格率（%）
工资（元/天）
Ⅰ
240
97
5.6
Ⅱ
160
95.5
3.6
工厂要求每天至少加工配件2400个，车工每出一个废品，工厂要损失2元，现有Ⅰ级车工8人，Ⅱ级车工12人，且工厂要求至少安排6名Ⅱ级车工，试问如何安排工作，使工厂每天支出的费用最少.
解析：
首先据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为x,y人.
线性约束条件：
目标函数：
Z=［（1-97%）·240x+（1-95.5%）·160y］×2+5.6x+3.6y
和Z=20x+18y.
根据题意知即求目标函数Z的最小值.
画出线性约束条件的平面区域如图2中阴影部分所示.
据图
（2）知、点A（6，6.3）应为既满足题意，又使目标函数最小.然而A点非整数点.故在点A上侧作平行直线经过可行域内的整点，且与原点最近距离，可知（6，7）为满足题意的整数解.
图2
此时Zmin=20×6+18×7=246（元）.即每天安排Ⅰ级车工6人，Ⅱ级车工7人时，工厂每天支出费用最少.
例5某钢厂两个炼钢炉同时各用一种方法炼钢，第一种方法，每炉用10小时，第二种方法用12小时.（这里包括清炉时间）假定这两种炼法每炉出钢都是5600公斤，而炼一公斤钢的平均燃料费：
第一种方法为50元，第二种方法为70元，若要求在72小时内炼钢量不少于36720公斤，问应该怎样分配两种炼法的任务，才使燃料费最少?
解：
设第一种方法炼x炉，第二种方法炼y种，得目标函数z=5600（50x+70y）
线性约束条件
据图解法可得整点解（6，1）.即第一种方法炼6炉，第二种方法炼1炉时，燃料费最省.
例6某工厂要制造A种电子装置45台，B电子装置55台，为了给每台装配一个外壳，要从两种不同的薄钢板上截取，已知甲种薄钢板每张面积为2平方米，可作A的外壳3个和B的外壳5个；乙种薄钢板每张面积3平方米，可作A和B的外壳各6个，用这两种薄钢板各多少张，才能使总的用料面积最小?
解：
设需甲、乙两种钢板分别为x、y张，得目标函数Z=2x+3y,即求Z的最小值.
据图解法易得最优整点解（5，5），即目标函数Z的最小值为25.即需甲、乙钢板各5张.
【难题巧解点拨】
例私人办学是教育发展的方向，某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，为了考虑社会效益和经济效益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班级为单位）：
市场调查表
班级学生数
配备教师数
硬件建设
（万元）
教师年薪
（万元）
初中
50
2.0
28
1.2
高中
40
2.5
58
1.6
根据物价部门的有关文件，初中是义务教育阶段，收费标准适当控制，预计除书本费、办公费以外每生每年可收取600元，高中每生每年可收取1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜，教师实行聘任制.初、高中的教育周期均为三年，请你合理地安排招生计划，使年利润最大，大约经过多少年可以收回全部投资?
解：
设初中编制为x个班，高中编制为y个班，则
（x>0,y>0,x,y∈Z）记年利润为S，那么S＝3x+6y-2.4x-4y，即
S＝0.6x+2y.
如下图所示，作出①，②表示的平面区域，问题转化为在图中阴影部分求直线0.6x+2y-S＝0截距的最大值，过点A作0.6x+2y＝0的平行线即可求出S的最大值.
联立
A的坐标为（18，12）.
将x＝18,y＝12代入③，得Smax＝34.8.
设经过n年可收回投资，则
11.6+23.2+34.8（n-2）＝1200,
所以n＝33.5.
【课本难题解答】
Ⅰ教材第65页，习题7.4
2.
（2）答：
当x＝5,y＝1时，zmin＝60；
（3）答：
当x＝6,y＝9时，zmax＝195；
Ⅱ教材第64页，练习题第2题
解：
设每天应配制甲种饮料x杯，乙种饮料y杯，咖啡馆每天获利z＝0.7x+1.2y（元）
x、y满足约束条件
最优解为（200，240）（图略）
【命题趋势分析】
掌握二元一次不等式表示的平面区域；理解线性规划的意义和线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；掌握线性规划问题的图解法，并能应用线怀规划的方法解决一些简单的实际问题.
【典型热点考题】
例1在直角坐标平面上，求满足不等式组
的整点的个数.
导析数字较大，不易逐一清点，关键是引导学生找出规律，分别令y=0,1,2,……，找出这些线上的整点数，然后把它们相加即可，如图2.
解：
两条坐标轴及直线x+y=100所围成区域（含边界）上的整点共有
1+2+3+…+101=
=5151（个）.
而直线y=
x,x+y=100及x轴所围区域（边界不包括直线y=
x）上的整点共有：
（1+1+1+1）+（2+2+2+2）+…+（25+25+25+25）=4（1+2+…+25）=1300（个）
由对称性知，直线y=3x,x+y=100及y轴所围区域（边界不包括直线y=3x）上的整点也有1300个.
故满足题条件的整点共有
5151-2×1300=2551（个）
说明：
先求正方形区域上的整点数，有（100+1）2=10201（个），则半个正方形区域（含对角线）上的整点有
+101=5151（个）.又直线x+y=100和y=
x的交点为B（75，25）.令y=1,有101-1=100个（不含OB上的点）；令y=1,则直线y=1与y=
x、x+y=100的交点横坐标分别为3和99，所以3＜x≤99，有96个点；y=2时，6＜x≤98，有92个点；…，y=24时，72＜x≤76,有4个点.故直线y=
x、x+y=100及y=0所围成的区域内共有
=1300个整点.由对称性知，y=3x上方的三角形内也有1300个整点.故△AOB内（含边界）共有5151-2×1300=2551个整点.
例2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有（）
A.5种B.6种C.7种D.8种
解：
选C.设买单片软件x片，盒装磁盘y盒，则
因为x,y均为整数，所以x＝3,4,5,6;y＝2,3,4.这样（x,y）共有12个，结合条件，肯定有些不合题意，经代入不等式（*）检验知，只有7个（x,y）正确.
说明：
本题具有浓厚的时代气息，要求考生思路清晰，有良好的数学应用意识，主要考查分类讨论思想以及分析问题、解决问题的能力.
例3对平面区域D，用N（D）表示属于D的所有整点的个数，若A表示由曲线y=x2（x≥0）和两直线x=10，y=1所围成的区域（包括边界）；B表示曲线y=x2（x≥0）和两直线x=1,y=100所围成的区域（包括边界）.试求N（A∪B）+N（A∩B）的值.
导析先画出示意图（如图），其中A表示由曲线y=x2（x≥0）和两直线x=10,y=1所围成的区域（包括边界），B表示由曲线y=x2（x≥0）和两直线x=1,y=100所围成的区域，由于102=100.所以A∪B所围成的区域恰好为矩形PQRS，其中PQ=99，QR=9,且点Q、S均在曲线y=x2（x≥0）上.
因此，有N（A∪B）=（99+1）×（9+1）=1000
又A∩B形成的区域为抛物线弧段SQ，它上面的整点个数为N（A∩B）=9+1=10
∴N（A∪B）+N（A∩B）=1000+10=1010.
【同步达纲练习】
A级
一、选择题
1.已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）
A.a＜-1或a＞24B.a=7或a=24
C.-7＜a＜24D.-24＜a＜7
2.若
则目标函数Z=x+2y的取值范围是（）
A.［2，6］B.（2，5）C.（3，6）D.（3，5）
3.满足｜x｜+｜y｜≤4的整点（横纵坐标均为整数）的点（x,y）的个数是（）
A.16B.17C.40D.41
二、填空题
4.点P（a,4）到直线x-2y+2=0的距离等于2
且在不等式3x+y-3＞0表示的平面区域内，则点P的坐标为.
5.在直角坐标平面上，满足不等式组
面积是.
三、解答题
6.求Z=8x+9y的最大值，使式中的x,y满足约束条件
7.有一批钢管，长度都是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于
配套，怎样截得合理.
AA级
一、选择题
1.不等式x-2y+6＞0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的（）
A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方
2.不等式组
表示的平面区域的面积等于（）
A.28B.16C.
D.121
3.在直角坐标平面上，由不等式组
所确定的平面区域内，整点有（）
A.3个B.4个C.5个D.6个
二、填空题
1.变量x,y满足条件
设Z=
则Zmin=，Zmax=.
2.已知集合A={（x,y）｜｜x｜+｜y｜≤1}，B={（x,y）｜（y-x）（y+x）≤0}，m=A∩B，则m的面积为.
三、解答题
1.试画出满足不等式logx（logxy2）＞0的点（x,y）表示的平面区域.
2.试求三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数.
3.某工厂库存A、B、C三种原料，可用来生产Z，Y两种产品，市场调查显示可获利润等各种数据如下表：
A
B
C
每件产品利润（元）
库存量（件）
100
125
156
（Ⅰ）
（Ⅱ）
Z（每件用料）
1
2
3
2000
1000
Y（每件用料）
4
3
1
1000
3000
问：
若市场调查情况如（Ⅰ），怎样安排生产能获得最大利润?
若市场调查情况如（Ⅱ），怎样安排生产能获得最大利润?
【素质优化训练】
1.设m为平面内以A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）三点为顶点的三角形区域内（包括边界），当点（x,y）在区域m上变动时，4x-3y的最小值是.
2.设P（x,y）是区域｜x｜+｜y｜≤1内的动点，则函数f（x,y）=ax+y（a＞0）的最大值是.
3.已知函数f（x）=x2-6x+5,问满足
的点（x,y）在平面上的什么范围?
并作图.
4.某工厂生产A、B两种产品，已知制造A产品1kg要用煤9t，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造B产品1kg要用煤4t，电力5kw，劳力10个，又知制成A产品1kg可获利7万元，制成B产品1kg可获利12万元，现在此工厂由于受某种条件限制，只有煤360t，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产A、B产品各多少kg能获得最大经济效益?
参考答案：
【同步达纲练习】
A级
1.C2.A3.D4.（16，4）5.9π-18区域为圆面（x-2）2+（y-3）2=9内挖去了一个内接正方形.6.Zmax=
7.截500mm钢管6节和600mm钢管1节最合理.
AA级
一、1.B2.B3.A
二、1.Zmin=0Zmax=12.M的面积为1
三、1.区域如图中阴影部分（不包括边界）2.36个，设三角形另两边长为x,y,问题转化为求由x≥1，y≤11，及x+y＞11所围成区域内整点的个数.
3.在（Ⅰ）种情况下获得最大利润为238000元，在第（Ⅱ）种情况下获得最大利润为479000元.
【素质优化训练】
1.最小值为-18.
2.当0＜a≤1时，最大值为1，当a＞1时，最大值为a.
3.满足条件的点（x,y）在图中的扇形PAB和扇形PCD内（包括边界），其中P点的坐标为（3，3）
4.生产A、B产品分别为20kg和24kg时，获得最大效益为420万元.
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