第14讲枚举法二完整版Word文件下载.docx
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德鲁比的蛀牙数
②当汤姆有2颗蛀牙时，杰瑞和德鲁比一共有8-2=6（颗）蛀牙．
③类似地可以枚举出汤姆的蛀牙数分别是3颗、4颗、5颗、6颗的情况，如下所示：
综上所述，一共有6+5+4+3+2+1=21（种）3情况.
5．★★老师让小明写出3个非零的自然数，且3个数的和是9，如果数相同、顺序不同算同一种写法，例如1+2+6、2+1+6还有6+1+2都算是同一种写法．请问：
小明一共有多少种不同的写法？
答案7种
解答①当第一个数是1时，后两个数的和是9-1=8.
按照第二个数从小到大的顺序枚举：
（1，1，7），（1,2,6）,（1,3,5）,（1,4,4）.
②当第一个数是2时，后两个数的和是9-2=7，且第二个数不小于第一个数．
（2，2，5），（2，3，4）；
③当第一个数是3时，后两个数的和是9-3=6，这三个数又要按照从小到大的顺序排列，因此只能；
是（3，3，3）.
综合以上的分析，可知小明一共有4+2+1=7（种）写法：
（1,1,7），（1,2，6），（1,3,5），（1,4,4）,（2,2,5）,（2,3,4）,（3,3,3）.
6．★★生物老师让大家观察蚂蚁的习性，／jV晚在小区的广场上发现了12只黑蚂蚁，这12只蚂蚁恰好凑成了3堆，每堆至少有2只，请问：
这3堆蚂蚁可能各有几只？
答案
共7种情况：
（2,2,8）,（2,3,7）,（2,4,6）,（2,5,5）,（3,3,6）,（3,4,5）,（4,4,4）
解答不妨设第二堆的蚂蚁数量不少于第一堆的，第三堆的蚂蚁数量不少于第二堆的.
1第一堆蚂蚁有2只时，后两堆蚂蚁一共有12-2=10（只）.
则后两堆可能分别有：
2只和8只，3只和7只，4只和6只，5只和5只．
2第一堆蚂蚁有3只时，后两堆蚂蚁一共有12-3=9（只）.
这三堆蚂蚁又要满足从小到大的顺序，于是后两堆可能是3只和6只，4只和5只.
3第一堆蚂蚁有4只时，这三堆蚂蚁只能都是4只.
综合以上3种情况，这3堆蚂蚁可能有以下7种情况：
7．★★一个三位数，每一位上的数字都是1、2、3中的某一个，并且相邻的两个数字不相同，一共有多少个满足条件的三位数？
答案12个
解答如下图所示，画一个树形图采表示这个三位数的各位数字.
所以，一共有12个满足条件的三位数.
8．★★如图14-1，一只小蚂蚁要从一个正四面体的顶点A出发，沿着这个正四面体的棱依次不重复地走遍4个顶点再回到顶点A．请问：
这只小蚂蚁一共有多少种不同的走法？
答案6种
解答要依次走遍4个顶点再回到出发点，简单地尝试就会发现：
A→B→C→D→A就是一种可行的走法，如图1所示.改变一下蚂蚁到达的第三个和第四个点的顺序，发现A→B→D→C→A也是一种可行的走法，如图2所示.
由于蚂蚁从顶点A出发又回到顶点A，因此蚂蚁到达的第二个点、第三个点和第四个点一定要从B、C、D中选择，且互不相同．
按照字典排列法来枚举，则可得到如下6种情况：
A→B→C→D→A;
A→C→B→D→A;
A→D→B→C→A;
A→B→D→C→A;
A→C→D→B→A;
A→D→C→B→A.
9．★★在图14-2中，一共能找出多少个长方形（包括正方形）?
答案29个
解答1×
1的长方形有9个；
2×
1的长方形有8个，其中横着4个，竖着4个；
3×
1的长方形有6个，其中横着3个，竖着3个；
4×
1的长方形有4个，其中横着2个，竖着2个；
5×
1的长方形有2个，其中横着1个，竖着1个．
因此长方形总共有9+8+6+4+2=29（个）．
10.★★如果只能用1元、2元、5元的纸币付款，那么要买价格是13元的东西，一共有多种不同的付款办法？
（不考虑找钱的情况）
答案14种
解答在1元、2元、5元的纸币中，5元的面值最大．而要买13元的东西．最多用2张5元的纸币.
①如果没有5元纸币，要用1元和2元的凑够13元，则2元纸币最多有6张，
当2元纸币分别有o～6张时，对应的1元纸币分别有13张、11张、9张、7张、5张、3张、1张，所以可得以下7种凑法：
5元纸币的张数
2元纸币的张数
1元纸币的张数
13
11
9
7
②如果5元纸币只有1张，那么余下的13-5=8（元），要由1元和2元的纸币来组成，此时2元纸币最多有4张，当2元纸币分别有O～4张时，对应的1元纸币分别有8张、6张、4张、2张、O张．所以可得以下5种凑法：
8
③如果5元纸币有2张，那么余下的13-5-5=3（元），要由1元和2元的纸币来组成，就只有2种凑法：
综合以上3种情况，可知一共有7+5+2=14（种）不同的付款方法.
拓展篇
1．★小高、墨莫、卡莉娅三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，这三个人找到的宝物数量可能有多少种情况？
答案21种
解答这三个人分别找到的宝物数量，有如下可能的情况：
小高
墨莫
卡莉娅
所以一共有21神情况．
2．★★小高、墨莫和卡莉娅三个人一起吃完了一盘薯条，这盘薯条总共有20根，并且每个人吃的薯条都比5根多．请问：
每个人吃的薯条数量有多少种情况？
解答从条件来看，小高吃了至少6根薯条；
又墨莫和卡莉娅也都至少吃了6根，总共就是12根，则最多还有20-12=8（根）薯条给小高吃.
所以小高吃的薯条根数是在6～8根之间，分情况进行讨论：
所以一共有6种情况．
3．★★老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8．如果两个同学写出的3个自然数相同，只是顺序不一样，就算是同一种写法．试问：
同学们最多能给出多少种不同的写法？
答案10种
解答不妨设第一个数最小，第三个数最大，可以列出下面的情况：
第一个数
第二个数
第三个数
而当第一个数大于3时，3个数的总和至少是3+3+3=9>
8，不符合题恿了．
所以最多能给出10种不同的写法.
4．王老师准备去打羽毛球，他拿了3个一模一样的球桶，每个球桶最多能装8个羽毛球．他数了一下，发现3个球桶里面一共有16个羽毛球．请问：
3个球桶里面可能分别有几个羽毛球？
答案l0种情况，分别是：
（0,8,8）,（1,7,8）,（2,6,8）,（2,7,7）,（3,5,8）,（3,6,7）,（4,4,8）,（4,5,7），（4，6，6），（5,5,6）
解答因这三个桶是一模一样的，也就是说，无法分出哪个是第一个桶，哪个是第二个桶，那么，桶里有4、5、7个球和4、7、5个球就算是同一种情形．为了避免类似的重复，可以假设每个桶里的球数是依次变大的，第一个桶里最少，第三个桶里最多．
则可在下表中枚举出所有可能的情况：
第一个桶
第二个桶
第三个桶
当第一个桶里的球数大于6个时，则至少有6×
3=18（个）球，与题意不符．
5．商店里有12种不同的签字笔，价格分别是1，2，3，4，…，11，12元．小高准备买3枝不同价格的签字笔，并且希望恰好花掉15元．请问：
小高一共有多少种不同的买法？
答案12种
解答为了方便枚举，假设三枝笔的价格一枝比一枝高．
1一枝笔卖1元时，有以下这5种买法：
第一枝
第二枝
第三枝
12
10
2第一枝笔卖2、3、4元时，分别可能有4、2、1种不同的买法：
如果最便宜的那枝笔高于4元，那么至少需要花费5+6+7=18（元），多于15元，所以不可能．
那么一共有12种不同的买法.
6．王老师提着一个带密码锁的公文包，但是他忘记了密码，只记得密码是一个三位数，这个三位数的个位数字比十位数字大，十位数字比百位数字大，并且没有比5大的数字．试问：
王老师最多只需要试多少次就肯定能打开这个公文包？
答案l0次
解答个位比十位大，十位比百位大，那么就是百位数字最小，而且百位不可能为0．
则把百位作为树根来画树形图，要满足每个后一位上的数要比它前一位上面的数大．
按照从左到右的顺序就可以依次读出每个可能的答案．
比如在第一个树形图中，从上到下分别是：
123、124、125；
134、135；
145.
接下来的两个树形图中的数分别是：
234、235；
245;
345.
所以最多只需试10次就能打开公文包．
7．常吴与古力两人进行围棋赛，谁先胜三局谁就会取得比赛的胜利．如果最后常昊获胜了，那么比赛的进程有多少种可能？
解答①如果第一场是常昊胜了，就会有：
3果第一场是古力胜了，就会有：
所以总共有10种可能．8．5块六边形的地毯拼成了图14-3中的形状，每块地毯上都
有一个编号．现在墨莫站在1号地毯上，他想要走到5号地毯上，
如果墨莫每次都只能走到和他相邻的地毯上（两个六边形如果有公
共边就称为相邻），并且只能向右边走，例如1—2--3-5就是一种可
能的走法．请问：
墨莫一共有多少种不同的走法？
答案5种
解答使用典型的树形图枚举法
所以墨莫一共有5种不同的走法．
9．从图14-4的左下角的A点走到右上角的B点，如果要求
只能向上或者向右走，一共有多少种不同的走法？
如果要求只要不走
重复的路线就可以，那么从A点走到B点一共有多少种不同的走法？
答案：
5种；
9种
解答这令图形主要由3个方块构成，则可把路用一条线段来表示，如左下图：
不难看出从A到B至少要走4段路（如右上图），这4段路都是向右或者向上的，而如果不走4段路，那么就肯定要走回头路，也就是肯定有向左或者向下走的路，那么为了补回反走的那段路，就肯定还要多走一段，一共就会多走2段路，所以还有可能是走6段或8段到达B点．
1果只走4段路，那么每一段都必须是向右或者向上的，不然到不了B点，
可以画张树形图，每一条里都有2个右、2个上：
所以一共有5种不同的走法．
②如果走了6段路，那么就是说可以是多走了向左和向右的路程各一段，或者走了向下和同上的路程各一段：
③如果走了8段路，那就应该是既多走了向左和向右的路程各一段，同时又多走了向下和向上的路程各一段：
所以一共有5+2+2—9（种）不同的走法．
10．妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止．如果天数
不限，可能的吃法一共有多少种？
解答7个鸡蛋，每天至少吃2个，所以肯定在1～3天的时间范围里吃完．
①如果1天吃完，那只有1种可能：
第一天吃了全部7个鸡蛋；
②如果2天吃完，那么第一天可以吃2个、3个、4个或5个鸡蛋，第二天把剩下的吃完，也就是分别吃5、4、3、2个，一共有4种情况；
③如果3天吃完，那么每天至少吃2个，3天至少吃6个，还多余1个，可以放在3天中的随便哪一天吃，所以一共有3种情况：
2、2、3；
2、3、2；
3、2、2．
全部可能的吃法一共有1+4+3=8（种）．
11．有一类小于1000的自然数，每个数都由若干个1和若干个2组成，并且在每个数中，1的个数比2的个数多，这样的数一共有多少个？
答案3个
解答由题意可知，这些数只能由2个1和1个2组成，只能是211、121、112这3个．
12．老师拿来三块木板，上面分别写着数字1-2、3．墨莫可以用这些木板拼出多少个不同的数？
解答：
15个
解答因题目并没有要求说3块木板都要使用，所以可以用1块、2块或3块，那么拼出的数就可能是1位数、2位数或3位数．
①拼出的1位数有：
1、2、3，一共3个；
2出的2位数有：
12、13、21、23，31、32，一共6个；
3出的3位数有：
123、132、213、231、312、321，一共6个；
所以总共可以拼出3+6+6=15（个）不同的数．
13．午餐的时候，食堂给同学们准备了苹果、香蕉和橘子这3种水果，每种都有很多个，小高想要挑3个水果吃，请问：
一共有多少种选择？
解答10种
解答要从苹果、香蕉、橘子这3种水果里一共挑出3个水果，那么这3个中可能有1种、2种或3种水果．
①当拿出的水果都是同一种时：
可以是3个苹果或3个香蕉或3个橘子，总共有3种挑法，
②当拿出的3个水果里有2种时．也就是一种有2个，一种有1个：
苹果有2个，还有1个可以是香蕉或橘子；
香蕉有2个，还有1个可以是苹果或橘子；
橘子有2个，还有1个可以是香蕉或苹果，
总共有6种挑法．
③拿出的水果3种都有时，那只有苹果、香蕉、橘子各拿1个这1种挑法了．
所以一共有3+6+1=10（种）选择．
14.
（1）如图14-5（a），方格纸的黑点位置上有一只小蚂蚁，它沿着方格纸上的横线和竖线爬行，方格纸上每一小段的长度都是1厘米．试问：
小蚂蚁爬了2厘米之后，可能在哪些位置？
把可能的位置在图上标出来．（不包括出发点）
┏━┳━┳━┳━┓
┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━┫
┗━┻━┻━┻━┛
（a）
┏━┳━┳━┳━┳━┳━┓
┃┃┃┃┃┃┃
┣━╋━╋━╋━╋━╋━┫
┗━┻━┻━┻━┻━┻━┛
图14-5
（b）
（2）如图14-5（b），方格纸上每一小段的长度也是1厘米，黑点的位置上有一只小蚂蚁，如果它爬了3厘米之后，恰好在黑线上．请问：
这只小蚂蚁爬行的路线一共有多少种不同的可能？
（l）有8种可能的位置，如图；
（2）20种
解答
（1）蚂蚁爬了2厘米，也就是2小段，那么自然地，距离黑点2段的点都是可能的位置，而且要达到距离黑点2格的地方，那就需要不走重复的线路．如果走的2段有重复的线路，那么也就是说这两段是一来一回，肯定就回到了出发点．所以不包括出发点，一共有8种可能的位置．
（2）小蚂蚁昀第一步可以往上、下、左、右4个方向走，
可以看到黑点、黑线都在整个图形的中间，那么往上或往下最后可能的情况是一样的，左右也是，所以需要考虑的只是第一步往上和往左的情况就可以了．
①第一步往上，列出相应的树形图：
②若第一步往左，列出相应的树形图：
开始时第一步往上或往左走的情况一共有10种，那么往下和往右的情况也一共有10种.
所以总共就有10×
2=20（种）走法.
超越篇
1．萱萱买了一些大福娃和小福娃，一共不到10个，且两种福娃的个数不一样多，请问：
两种福娃的个数可能有多少种不同的情况？
32种
解答题目要求买了两种福娃，一共不到10个，那么大福娃最少1个，最多8个（如果已经买了9个大福娃的话，就没法再买小福娃了），则可以按照大福娃的个数进行枚举.
从上面图表可以直接数出，一共有32种不同的可能．
2．三条边的边长均为整数，且最长边的边长是8厘米，这样的三角形共有多少种？
答案20种
解答本题其实就是要寻找两个不超过8的边长，满足他们的和大于8.按最短的边长分类进行枚举.
从上面图表可以直接数出，一共有20种不同的三角形．
3有19本书，分成5份．如果每份至少有一本书，且每份的本数都不相同，一共有多少种分法？
解答因要求每份至少有一本书，每份本数还都不相同，那么至少已经需要有1+2+3+4+5=15（本）书.
而如果最少的一份有2本，那么至少需要2+3+4+5+6=20（本）书，已经超出题目给出的19本了，所以，最少的一份肯定只有1本.
同时，第4份本来是4本，第5份本来是5本，如果在分的时候，给第4份2本，第5份l本的话，那么第4份和第5份都变成6本了，不满足每份都不柜同的要求.
因此，为了保持每份不同，还必须要求后面每份分到的不能比前面的少.
所以，可能的分法有：
4=0+0+0+4
=0+0+1+3
=0+0+2+2
=0+1+1+2
=1+1+1+1.
分别对应着的情况是：
19=1+2+3+4+9
=1+2+3+5+8
=1+2+3+6+7
=1+2+4+5+7
=1+3+4+5+6．
因此一共有5种不同的分法．
4在NBA总决赛中，由洛杉矶湖人队对阵底特律活塞队，比赛采用7场4胜制，每胜一场会获得1分的积分．最终湖人队获得了胜利，双方的积分是4：
2，并且在整个比赛过程中，湖人队的积分从来没有落后过．问：
比赛过程中的胜负情况共有多少种可能？
解答由题意知，湖人队总是不会落后的，所以第一场必然是湖人队取胜．
由于湖人队以4：
2取得了胜利，所以，最后一共进行了6场比赛，最后一场也必须是湖人队取胜.
从图中可以直接看出，一共有5种可能的胜负情况.
5甲、乙、丙三个人传球，第一次传球是由甲开始，将球传给乙或丙……经过4次传球后，球正好回到甲手中，那么一共有多少种不同的传球方式？
解答甲开始发球，肯定是传给乙或丙．
假设乙拿到球，他的下一传球必须给甲或丙，所以，传球的过程如下图所示：
从图上可以看出，一共有6种不同的传球方式.
6如图14-6，现在要从图中的A点走到B点，如果每个点最多只能经过一次，那么一共有多少种不同的走法？
答案16种
解答最终要到达B点，那么在这之前，肯定必须到达F点和G点中的某一个.
注意到整个图形是对称的，所以上面两种情况的路线数目肯定是相同的.
若到达F点，那么在这之前，肯定要到达C点和E点中的某一个．
又从A点到C点（不经过F点）的走法有：
AC，AEC，ADEC，ADGEC；
从A点到E点（不经过F点）的走法有：
ACE，AE，ADE，ADGE.
因此，从A点到F点满足题意的不同的走法有8种，所以从A点经F点一步走到B点的走法有8种.
同理，得从A点经G点一步走到B点的走法有8种，所以一共有16种不同的走法.
7
（1）刚开学时，甲、乙、丙、丁、戊五位同学的座位表如图14-7所示，一段时间后，每人都想要换到与原来座位不相邻的位置上．那么有多少种换座位的方法？
（2）甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学的座位如图14-8所示，如果每人都要换座位，而且每人都要换到与原来座位不相邻的位置上（没有公共边）．那么有多少种换座位的方法？
（1）4种；
（2）8种
解答
（1）用1、2、3、4、5来代表位置．用树形图枚举法如下：
所以有4种换座位的方法．
（2）考虑这6个位置，发现乙和戊的位置只
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