中考经典几何题型图形渐变型之一.docx

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中考经典几何题型图形渐变型之一

中考数学经典题型——图形渐变型（利用全等解决问题）

1.如图，在△ABC中，∠BAC=∠B=60°，AB=AC，点D、E分别是边BC，AB所在直线上的动点，且BD=AE，AD与CE交于点F.

（1）当点D、E在边BC、AB上运动时，∠DFC的度数是否发生变化，若不变，求出其度数；若变化，写出其变化规律.

（2）当点D、E运动到边CB、BA的延长线上时，

（1）中的结论是否改变，并说明理由.

（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：

如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．

2.如图所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°.

（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

直接写出你猜想的结论；

（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转角α（0°<α<90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？

请说明理由.

（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．

∵∠CDE=60°∴∠ADC=∠BEC=120°

∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB

∴∠DCB=∠CBE

∴CD//BE

（2）拓展探究∠AEB=90°，理由：

如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

3.（河南）

（1）问题发现:

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．

填空：

①∠AEB的度数为 　 ；②线段AD，BE之间的数量关系为　 　 ．

（2）拓展探究

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：

如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM．∴AE=AD+DE=BE+2CM．

4.问题发现：

如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．

（1）求证：

△ACD≌△BCE；

（2）求证：

CD∥BE．

拓展探究：

如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．

（1）①如图1，

∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．

∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE．∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=120°．∴∠BEC=120°．

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．

∵∠CDE=60°∴∠ADC=∠BEC=120°

∵∠DCB=60°-∠BCE，∠CBE=180°-∠BEC-∠ECB=60°-∠ECB

∴∠DCB=∠CBE

∴CD//BE

（2）拓展探究∠AEB=90°，理由：

如图2，∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．∴∠ACD=∠BCE．

∵△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC=135°．

∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

5.（德州）问

题背景：

如图1：

在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF=BE+DF　；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

实际应用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离

6.（临沂）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．

（1）请判断：

AF与BE的数量关系是       ，位置关系是       ；

（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第

（1）问中的结论是否仍然成立?

请作出判断并给予证明；

（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第

（1）问中的结论都能成立吗？

请直接写出你的判断．

 解：

（1）AF=BE，AF⊥BE.

（2）结论成立.

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC =90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.∴∠EAD=∠FDC.∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.

∵∠DAF +∠BAF=90°，∴∠ABE +∠BAF=90°，∴AF⊥BE.

（3）结论都能成立.

7.（营口）【问题探究】

（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．

【深入探究】

（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．

（3）如图3，在

（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

（1）答：

BD =CE．理由：

∵∠BAE=∠CAD， 

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，

又∵AE=AB，AC=AD， ∴△EAC≌△BAD  （SAS）， ∴BD=CE．

（2）解：

如图1，在△ABC的外部，以点A为直角顶点作等腰直角三角形BAE，使∠BAE=90º，AE=AB，连接EA、EB、EC．

∵

， ∴

，

， ∴∠BAE=

， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC， 即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD （SAS），∴BD=CE． 

∵AE=AB=7， ∴

，∠AEC=∠AEB=45º． 

又∵∠ABC=45º， ∴∠ABC+∠ABE=45º+45º=90º，∴EC=

=

， 

∴

． 

答：

BD长是

cm．

（3）如图2，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于A，交BC的延长线于点E，

∴∠BAE=90º， 

又∵∠ABC=45º， ∴∠E=∠ABC=45º， ∴AE=AB=7，

又∵∠ACD=∠ADC=45º， ∴∠BAE=∠DAC=90º， 

∴∠BAE

∠BAC=∠DAC

∠BAC， 即∠EAC=∠BAD，

∴△EAC≌△BAD （SAS）， 

∴BD=CE．

∵BC=3， ∴BD=CE=

（cm）．