511相交线与平行线学案宋春.docx

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511相交线与平行线学案宋春

第五章相交线与平行线

5.1.1相交线

学习目标：

1、通过探究两条直线相交形成的角的关系，分类引出邻补角和对顶角的定义

2、理解对顶角相等并说明理由

3、运用相关的定义、性质解决一些问题

一、自主预习O

阅读课本1—3页，回答下列问题

1、平面上不重合的两条直线的位置关系：

_____与平行

2、观察图1，直线AB、CD相交于点O，形成个角，

（1）

两两相配共能组成对角。

∠1与∠2有一条公共，它们的另一边互为，这样的两个角互为角，图中共有对邻补角；∠1与∠3有一个公共,它们的两边分别互为，这样的两个角互为角，图中共有对对顶角。

3、如图1，

（1）如果∠1=30°，那么∠2=，∠3=；

（2）如果∠1=35°，那么∠2=，∠3=，

（3）如果∠1=40°，那么∠2=，∠3=.

你认为互为对顶角的两个角相等吗?

为什么？

举例说明

答：

，如图1，因为∠1与∠2互补，由此得∠1=-∠2，

又因为∠3与∠2互补，由此得∠3=-∠2，所以∠1=∠3

4、对顶角的性质：

5、如图2，直线m、n相交，∠1=115°，求∠2，∠3，∠4的度数。

解：

如图，由的定义得，m

∠2=-∠1==，1

由相等得，42

∠3==，∠4==n3

（2）

二、课堂演练AE

6、如图3，直线AB、CD，EF相交于点O

（1）∠AOC的邻补角是、，COD

∠BOE的邻补角是、；

（2）∠DOA的对顶角为，F（3）B

∠EOC的对顶角为

（3）若∠FOC=50°，则∠DOE=，∠FOD=

3、随堂练习

7，下面几个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（）

11

112

222

ABCD

8、对顶角指的是（）

A、有公共顶点的两个角

B、两条直线相交所成的两个角

C、有公共顶点，并且相等的两个角

D、角的两边互为反向延长线的两个角

9、下列说法下正确的是（）

A.有一边互为反向延长线的两个角是邻补角

B.有一公共边的两个角是邻补角　

C.互补的角也是邻补角（第10题）

D.邻补角可看成是一条直线与端点在直线上的一射线组成的两个角

10、

如图，当剪子口∠AOB增大

时，

∠COD增大　

11、如图是一个对顶角量角器．

你能说明它度量角度的原理吗？

四、能力提升

12、如图，直线AB、CD相交于点O,OA平分

，

，求

的度数。

（第12题）

13、如图,直线AB、CD相交于点O.

（1）若∠AOC+∠BOD=100°,求各角的度数.

（2）若2∠BOC=3∠AOC,求各角的度数

（第13题）

五、小结与反思

1、邻补角互补；对顶角相等2、感受：

【学习过程】

一、学前准备

在学习对顶角知识的时候，我们认识了“两线四角”，及两条直线相交于一点，得到四个角，这四个角里面，有两对对顶角，它们分别对应相等，如图，可以说成“直线AB与CD相交于点O”．

我们如果把直线CD绕点O旋转，无论是按照顺时针方向转，还是按照逆时针方向转，∠BOD的大小都将发生变化．

当两条直线相交所成的四个角中有一个为直角时，叫做这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫垂线，它们的交点叫垂足．如图

用几何语言表示：

方式⑴∵∠AOC=90°∴AB_____CD，垂足是_____

方式⑵∵AB⊥CD于O∴∠AOC=______

二、探索思考

探索一：

请你认真画一画，看看有什么收获．

⑴如图1，利用三角尺或量角器画已知直线

的垂线，这样的垂线能画__________条；

⑵如图2，经过直线

上一点A画

的垂线，这样的垂线能画_____条；

⑶如图3，经过直线

外一点B画

的垂线，这样的垂线能画_____条；

（图1）（图2）（图3a）（图3b）

经过探索，我们可以发现：

在同一平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直．

练习一：

1．如图所示，OA⊥OB，OC是一条射线，若∠AOC=120°，

求∠BOC度数

2．如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，

若∠1=26°，求∠2的度数．

3．如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．

（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．

（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．

（3）比较线段PE，PF，PO三者的大小关系

探索二：

仔细观察测量比较上题中点P分别到直线AB上三点E、F、O的距离，你还有什么收获？

请将你的收获记录下来：

_______________________________________________

简单说成：

．还有，直线外一点到这条直线的垂线段的叫做点到直线的距离.注意：

垂线是，垂线段是一条，点到直线的距离是一个数量，不能说“垂线段”是距离.

练习二：

1．在下列语句中，正确的是（）．

A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线

B．在同一平面内，过直线上一点的直线只有一条

C．在同一平面内，过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条

D．在同一平面内，垂线段就是点到直线的距离

2．如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB于D，AC=5cm，BC=12cm，AB=13cm，则点B到AC的距离是________，点A到BC的距离是_______，点C到AB的距离是_______，AC>CD的依据是_________．

三、当堂反馈

1．如图所示AB，CD相交于点O，EO⊥AB于O，FO⊥CD于O，∠EOD与∠FOB的大小关系是（）

A．∠EOD比∠FOB大B．∠EOD比∠FOB小

C．∠EOD与∠FOB相等D．∠EOD与∠FOB大小关系不确定

2．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，C，D是分别位于公路AB两侧的加油站．设汽车行驶到公路AB上点M的位置时，距离加油站C最近；行驶到点N的位置时，距离加油站D最近，请在图中的公路上分别画出点M，N的位置并说明理由．

3．如图，AOB为直线，∠AOD：

∠DOB=3：

1，OD平分∠COB．

（1）求∠AOC的度数；

（2）判断AB与OC的位置关系．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

课题：

5.1.3同位角、内错角、同旁内角

一、学前准备

在前面我们学习了两条直线相交于一点，得到四个角，即“两线四角”，这四个角里面，有对对顶角，有对邻补角.如果是一条直线分别与两条直线相交，结果又会怎样呢？

二、探索思考

探索：

如图，直线c分别与直线a、b相交（也可以说两条

直线a、b被第三条直线c所截），得到8个角，通常称为

“三线八角”，那么这8个角之间有哪些关系呢？

观察填表：

表一

位置1

位置2

结论

∠1和∠5

处于直线c的同侧

处于直线a、b的同一方

这样位置的一对角就称为同位角

∠2和∠8

处于直线c的（）侧

这样位置的一对角就称为（）

∠3和∠6

处于直线a、b的（）方

这样位置的一对角就称为（）

∠1和∠5

这样位置的一对角就称为（）

表二

位置1

位置2

结论

∠4和∠8

处于直线c的两侧

处于直线a、b之间

这样位置的一对角就称为内错角

∠3和∠5

这样位置的一对角就称为（）

表三

位置1

位置2

结论

∠3和∠8

处于直线c的（）侧

处于直线a、b（）

这样位置的一对角就称为同旁内角

∠4和∠5

这样位置的一对角就称为（）

练习：

1．如图1所示，∠1与∠2是___角，∠2与∠4是_角，∠2与∠3是___角．

（图1）（图2）（图3）

2．如图2所示，∠1与∠2是____角，是直线______和直线_______被直线_______所截而形成的，∠1与∠3是_____角，是直线________和直线______被直线________所截而形成的．

3．如图3所示，∠B同旁内角有哪些？

三、当堂反馈

1．如图，

（1）直线AD、BC被直线AC所截，找出图中由AD、BC被直线AC所截而成的内错角是_________和__________

（2）∠3和∠4是直线_________和_________被_________所截，构成内错角.

2．已知∠1与∠2是同旁内角，且∠1=60°，则∠2为（）

A.60°B.120°C.60°或120°D.无法确定

3．如图，判断正误

①∠1和∠4是同位角；（）

②∠1和∠5是同位角；（）

③∠2和∠7是内错角；（）

④∠1和∠4是同旁内角；（）

4．如图，直线DE、BC被直线AB所截.

⑴∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？

⑵如果∠1=∠4，那么∠1和∠2相等吗？

∠1和∠3互补吗？

为什么？

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

课题：

5.2.1平行线

【学习目标】1使学生知道平行线的概念，掌握平行公理；

2了解平行线具有传递性，能够画出已知直线的平行线.

【学习重点】平行线的概念和平行公理，利用直尺和三角板画已知直线的平行线. 

【学习难点】用几何语言描述画图过程，根据几何语言画出图形.

【学习过程】

一、学前准备

在上学期我们学过点和直线的位置关系，同学们还记得点和直线有几种位置关系吗？

请画出来，并尝试用几何语言来表示.

二、探索思考

探索一：

我们知道，火车行驶的两条笔直的铁轨、人行道上的斑马线等都给我们平行的形象.一般地，在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如图，记作“

∥

”或“AB∥CD”，读作“直线

平行于直线

”.请同学们思考一下：

在同一平面内，两条不重合的直线有几种位置关系？

动手画一画,并尝试用几何语言来表示..

练习一：

1．下列说法中，正确的是（）．

A．两直线不相交则平行B．两直线不平行则相交

C．若两线段平行，那么它们不相交D．两条线段不相交，那么它们平行

2．在同一平面内，有三条直线，其中只有两条是平行的，那么交点有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

探索二：

请同学们仔细阅读课本P13页“平行线的讨论”，认真思考.通过观察和画图，可以体验一个基本事实（平行公理）：

经过直线外一点，一条直线与这条直线平行.

同样，我们还有（平行线的传递性）：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.简单的说就是：

平行于同一直线的两直线平行.

用几何语言可表示为：

如果

∥

，

∥

，那么.

练习二：

1．如图1所示，与AB平行的棱有_______条，与AA′平行的棱有_____条．

2．如图2所示，按要求画平行线．

（1）过P点画AB的平行线EF；

（2）过P点画CD的平行线MN．

3．如图3所示，点A，B分别在直线

，

上，

（1）过点A画到

的垂线段；

（2）过点B画直线

∥

．

（图1）（图2）（图3）

4．下列说法中，错误的有（）．

①若a与c相交，b与c相交，则a与b相交;

②若a∥b，b∥c，那么a∥c;

③过一点有且只有一条直线与已知直线平行;

④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂线三种

A．3个B．2个C．1个D．0个

三、当堂反馈

1．在同一平面内,一条直线和两条平行线中一条直线相交,那么这条直线与平行线中的另一边必__________.

2．同一平面内,两条相交直线不可能与第三条直线都平行,这是因为________________.

3．判断题

（1）不相交的两条直线叫做平行线.（）

（2）在同一平面内，不相交的两条射线是平行线.（）

（3）如果一条直线与两条平行线中的一条平行,那么它与另一条也互相平行.（）

4．读下列语句，并画出图形：

⑴点P是直线AB外一点，直线CD经过点P，且与直线AB平行，直线EF也经过点P且与直线AB垂直．

⑵直线AB，CD是相交直线，点P是直线AB，CD外一点，直线EF经过点P且与直线AB平行，与直线CD相交于E．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

课题：

5.2.2平行线的判定

【学习目标】使学生掌握平行线的判定，并能应用这些知识判断两条直线是否平行，培养学生简单的推理能力.

【学习重点】平行线的三种判定方法，并运用这三种方法判断两直线平行. 

【学习难点】运用平行线的判定方法进行简单的推理.

【学习过程】

一、学前准备

还知道“三线八角”吗？

请画一画，找出一组同位角、一组内错角、一组同旁内角.

二、探索思考

探索一：

请同学们仔细阅读课本P13页“平行线判定的思考”，你知道在画平行线这一过程中，三角尺所起的作用吗？

由此我们可以得到平行线的判定方法，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）

判定方法1（判定公理）

几何语言表述为：

∵∠___=∠___∴AB∥CD

由判定方法1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

判定方法2（判定定理）

几何语言表述为：

∵∠___=∠___∴AB∥CD

由判定方法1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

判定方法3（判定定理）

几何语言表述为：

∵∠___+∠___=180°∴AB∥CD

练习一：

（1题）（2题）（3题）

1．如图1所示，若∠1=∠2，则_____∥______，根据是______．

若∠1=∠3，则______∥______，根据是_________．

2．如图2所示，若∠1=62°，∠2=118°，则_____∥_____，根据是________

3．根据图3完成下列填空（括号内填写定理或公理）

（1）∵∠1=∠4（已知）

∴　　　∥　　　（）

（2）∵∠ABC+∠=180°（已知）

∴AB∥CD（）

（3）∵∠=∠（已知）

∴AD∥BC（）

（4）∵∠5=∠（已知）

∴AB∥CD（）

探索二：

木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，就可以再找出两条平行线，如图所示，

∥

，你能说明是什么道理吗？

结论（判定推论）：

在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.简记为：

在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.

如图，几何语言表述为：

∵

⊥

，

⊥

∴

练习二：

1．如图所示，AB⊥BC，BC⊥CD，BF和CE是射线，并且∠1=∠2，

试说明BF∥CE．

三、当堂反馈

1．如图所示，在下列条件中，不能判断L1∥L2的是（）．

A．∠1=∠3B．∠2=∠3

C．∠4+∠5=180°D．∠2+∠4=180°

2．如图所示，已知∠1＝120°,∠2＝60°．试说明

与

的关系？

3．如图所示，已知∠OEB=130°，∠FOD=25°，OF平分∠EOD，试说明AB∥CD．

四、学习反思

课题：

5.3.1平行线的性质

一、学前准备

通过前面的学习，你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗？

⑴平行线的定义：

⑵平行线的传递性：

⑶平行线的判定公理：

⑷平行线的判定定理1：

⑸平行线的判定定理2：

⑹平行线的判定推论：

二、探索思考

探索一：

请同学们仔细阅读课本P19页，完成课本上的探究.根据探究内容，我们可以得到平行线的性质，如图，将下列空白补充完整（填1种就可以）

性质1（性质公理）

几何语言表述为：

∵AB∥CD∴∠___=∠___

由性质1，结合对顶角的性质，我们可以得到：

性质2（性质定理）

几何语言表述为：

∵AB∥CD∴∠___=∠___

由性质1，结合邻补角的性质，我们可以得到：

性质3（性质定理）

几何语言表述为：

∵AB∥CD∴∠___+∠___=

练习一：

1.根据右图将下列几何语言补充完整

（1）∵AD∥（已知）

∴∠A+∠ABC=180°（）

（2）∵AB∥（已知）

∴∠4=∠（）

∠ABC=∠（）

2.如右图所示，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

3、如图，AB∥CD,∠1=45°,∠D=∠C,求∠D、∠C、∠B的度数.

探索二：

用三角尺和直尺画平行线，做成一张5×5个格子的方格纸.观察做出的方格纸的一部分（如图），线段

、

、…、

都与两条平行的横线

和

垂直吗？

它们的长度相等吗？

像这样，同时垂直于两条平行直线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度相等，叫做这两条平行线间的距离，即平行线间的距离处处相等.

练习二：

1．如图所示，已知直线AB∥CD，且被直线EF所截，若∠1=50°，则∠2=____，∠3=______．

（1题）（2题）（3题）

2．如图所示，AB∥CD，AF交CD于E，若∠CEF=60°，则∠A=______．

3．如图所示，已知AB∥CD，BC∥DE，∠1=120°，则∠2=______．

三、当堂反馈

1．如图所示，如果AB∥CD，那么（）．

A．∠1=∠4，∠2=∠5B．∠2=∠3，∠4=∠5

C．∠1=∠4，∠5=∠7D．∠2=∠3，∠6=∠8

（1题）（2题）（3题）

2．如图所示，DE∥BC，EF∥AB，则图中和∠BFE互补的角有（）．

A．3个B．2个C．5个D．4个

3．如图所示，已知∠1=72°，∠2=108°，∠3=69°，求∠4的度数．

四、学习反思

本节课你有哪些收获？

课题：

平行线的判定及性质习题课

【学习目标】加深对平行线的判定及性质的理解及其应用.

【学习重点】平行线的判定及性质的应用. 

【学习难点】灵活运用平行线的判定及性质去推理证明.

【学习过程】

一、学前准备

通过前面的学习，你知道判定两条直线平行有哪几种方法吗？

⑴平行线的定义：

⑵平行线的传递性：

⑶平行线的判定公理：

⑷平行线的判定定理1：

⑸平行线的判定定理2：

⑹平行线的判定推论：

通过前面的学习，你还知道两条直线平行有哪些性质吗？

⑴根据平行线的定义：

⑵平行线的性质公理：

⑶平行线的性质定理1：

⑷平行线的性质定理2：

⑸平行线间的距离．

二、探索思考

练习：

让我先试试，相信我能行.

1．如图1，若∠1=∠2，那么_____∥______，根据_____．

若a∥b，那么∠3=_____，根据_____．

（图1）（图2）（图3）（图4）

2．如图2，∵∠1=∠2，∴_______∥_______，根据________．

∴∠B=______，根据________．

3．如图3，若AB∥CD，那么________=_______；若∠1=∠2，那么_____∥_____；

若BC∥AD，那么_______=_______；若∠A+∠ABC=180°，那么______∥_____

4．如图4，一条公路两次拐弯后，和原来的方向相同，如果第一次拐的角是136°（即∠ABC），那么第二次拐的角（∠BCD）是度，根据___．

5．如图，修高速公路需要开山洞，为节省时间，要在山两面A，B

同时开工，在A处测得洞的走向是北偏东76°12′，那么在B处

应按什么方向开口，才能使山洞准确接通，请说明其中的道理．

6．如图所示，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过

镜子反射∠1=∠2，∠3=∠4，请你解释为什么开始进入潜望镜的光

线和最后离开潜望镜的光线是平行的．

三、当堂反馈

1．已知如图1，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角∠1=74°，那么吸管与易拉罐下部夹角∠2=_______．

2．已知如图2，边OA，OB均为平面反光镜，∠AOB=40°，在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则∠QPB的度数是（）．

A．60°B．80°C．100°D．120°

（图1）（图2）（图3）

3．如图3，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，试判断∠AED与∠C的大小关系，并对结论进行说理．

4．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B=44°,∠C=85°.⑴求∠DAB的度数；⑵求∠EAC的度数；⑶求∠BAC的度数；⑷通过这道题你能说明为什么三角形的内角和是180°吗？

四、学习反思

二、填空题（每空1.5分，共45分）

1．如图

（1）是一块三角板，且

，则

。

2．若

则

的关系是。

3．若

则

的关系是。

4．若

则

的关系是，

理由是。

5．若

则

的关系是，

理由是。

6．如图（3）是一把剪刀，其中

，则

，

其理由是。

7．如图（4），

则AB与CD的关系是

，理由是。

8．如图（5）,∠1的同位角是,∠1的内错角是,若∠1=∠BCD,

则∥，根据是。

若∠1=∠EFG，则∥，根据是。

9．已知：

如图6，∠B+∠A=180°，则∥，理由是。

∵∠B+∠C=180（已知），∴∥（）。

10．如图7，直线a与b的关系是。

11.23°30′＝＿＿＿＿＿＿°13.6°＝＿＿＿＿＿°＿＿＿＿＿′

三、仔细想一想，完成下面的推理过程（每空1分，共10分）

1、

如图EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=70o，求∠AGD。

解：

∵EF∥AD，

∴∠2=（）

又∵∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴AB∥（）

∴∠BAC+=180o（）

∵∠BAC=70o，∴∠AGD=。

2、如图，已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的关系。

解：

AB∥CD，理由如下：

过点E作∠BEF=∠B

∴AB∥EF（）

∵∠BED=∠B+∠D

∴∠FED=∠D

∴CD∥EF（）

∴AB∥CD（）

四、画一画（每题5分，共10分）

1、如图，一辆汽车在直线形公路AB上由A向B行驶，M、N是分别位于公路AB两侧的村庄。

设汽车行驶到点P时，离村庄M最近，汽车行驶到点Q时，离村庄N最近，请在图中公路AB上分别画出点P、Q的位置。

2、把下图中的小船向右平移，使得小船上的点A向右平移5cm到A′。

五、解答题（共7分）

1、如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

2、如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠