八年级数学全等三角形角的平分线的性质同步练习新人教版.docx

八年级数学全等三角形角的平分线的性质同步练习新人教版.docx

《八年级数学全等三角形角的平分线的性质同步练习新人教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学全等三角形角的平分线的性质同步练习新人教版.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

八年级数学全等三角形角的平分线的性质同步练习新人教版

12.3角的平分线的性质

学校：

___________姓名：

___________班级：

___________

一．选择题（共15小题）

1．如图，△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，则下列结论中正确有（　　）个．

（1）DE=DF；

（2）AD⊥BC；（3）AE=AF；（4）∠EDA=∠FDA；（5）AB=AC；（6）∠B=∠C；（7）BD=CD．

A．3B．4C．6D．7

2．如图，∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D、E，则下列结论中错误的是（　　）

A．PD=PEB．BD=BEC．∠BPD=∠BPED．BP=BE

3．点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（　　）

A．BC的中线上B．BC边的垂直平分线上

C．BC边的高线上D．∠A的平分线所在的直线上

4．如图，有三条公路l1、l2、l3两两相交，要选择一地点建一座加油站，使加油站到三条公路的距离相等，不考虑其他因素，则符合条件的地点有（　　）个

A．1B．2C．3D．4

5．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（　　）

A．OE是∠AOB的平分线B．OC=OD

C．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE

6．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，点D是OB上的动点，若PC=6cm则PD的长可以是（　　）

A．3cmB．4cmC．5cmD．7cm

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：

①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；

其中正确的是（　　）个．

A．1B．2C．3D．4

8．下列画图的语句中，正确的为（　　）

A．画直线AB=10cm

B．画射线OB=10cm

C．延长射线BA到C，使BA=BC

D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB相交

9．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：

①∠AED=90°②∠ADE=∠CDE③DE=BE④AD=AB+CD，

四个结论中成立的是（　　）

A．①②④B．①②③C．②③④D．①③

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：

①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．1个

11．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是（　　）

A．9B．8C．7D．6

12．如图，△ABC的三边AB、BC、CA的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO等于（　　）

A．1：

2：

3B．2：

3：

4C．3：

4：

5D．4：

5：

6

13．如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若BC=15，则点D到线段AB的距离等于（　　）

A．6B．5C．8D．10

14．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）

A．3B．4C．5D．6

15．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．

如图：

一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：

“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）

A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D．以上均不正确

二．填空题（共5小题）

16．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果…，那么…、”的形式：

如果　　，那么　　．

17．如图，PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，∠BOC=20°，则∠AOB=　　．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AB交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是　　．

19．如图l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有　　处．

20．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE=2，AC=3，则△ADC的面积是　　．

三．解答题（共5小题）

21．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．

已知：

如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．

求证：

AM、BN、CP交于一点．

证明：

如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．

∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（　　），

∴OE=OF（　　）．

同理，OD=OF．

∴OD=OE（　　）．

∵CP是∠ACB的平分线（　　），

∴O在CP上（　　）．

因此，AM，BN，CP交于一点．

22．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8，若S△ABC=28，求DE的长．

23．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：

∠OAB=∠OBA．

24．已知：

△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．

求证：

AB=AC．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．

求证：

DE=BF．

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）

1．

解：

∵在△ADE和△ADF中AD为公共边，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，

∴△AED≌△ADF，

∴DE=DF，AE=AF，∠EDA=∠FDA，

故

（1）（3）（4）正确．

要想证得

（2）（5）（6）（7）那就要求△ABC为等腰三角形，但是已知条件没有，从已知条件中也不能证得．

∴只有三个答案是正确的．

故选：

A．

2．

解：

由题意可得，∵∠1=∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，∴∠BPD=∠BPD，

又BP为公共边，∴Rt△BPE≌Rt△BPD，

∴PD=PE，BD=BE，

所以D错，

故选：

D．

3．

解：

∵由角平分线上点到角两边距离相等的性质，

∴点D应在∠A的平分线上．

故选：

D．

4．

解：

如图所示：

符合条件的地点有4个，

故选：

D．

5．

解：

根据尺规作图的画法可知：

OE是∠AOB的角平分线．

A、OE是∠AOB的平分线，A正确；

B、OC=OD，B正确；

C、点C、D到OE的距离相等，C不正确；

D、∠AOE=∠BOE，D正确．

故选：

C．

6．

解：

作PD⊥OA于D，

∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OA，

∴PD=PC=6cm，

则PD的最小值是6cm，

故选：

D．

7．

解：

∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD=DE，故①正确；

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AC=AE，∠ADC=∠ADE，

∴AC+BE=AE+BE=AB，故②正确；

AD平分∠CDE，故④正确；

∵∠B+∠BAC=90°，

∠B+∠BDE=90°，

∴∠BDE=∠BAC，故③正确；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个．

故选：

D．

8．

解：

A、错误．直线没有长度；

B、错误．射线没有长度；

C、错误．射线有无限延伸性，不需要延长；

D、正确．

故选：

D．

9．

解：

过E作EF⊥AD于F，如图，

∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，

∴Rt△AEF≌Rt△AEB

∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；

而点E是BC的中点，

∴EC=EF=BE，所以③错误；

∴Rt△EFD≌Rt△ECD，

∴DC=DF，∠FDE=∠CDE，所以②正确；

∴AD=AF+FD=AB+DC，所以④正确；

∴∠AED=∠AEF+∠FED=

∠BEC=90°，所以①正确．

故选：

A．

10．

解：

∵AD平分∠BAC

∴∠DAC=∠DAE

∵∠C=90°，DE⊥AB

∴∠C=∠E=90°

∵AD=AD

∴△DAC≌△DAE

∴∠CDA=∠EDA

∴①AD平分∠CDE正确；

无法证明∠BDE=60°，

∴③DE平分∠ADB错误；

∵BE+AE=AB，AE=AC

∴BE+AC=AB

∴④BE+AC=AB正确；

∵∠BDE=90°﹣∠B，∠BAC=90°﹣∠B

∴∠BDE=∠BAC

∴②∠BAC=∠BDE正确．

故选：

B．

11．

解：

过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF=2，

∵S△ADB=

AB×DE=

×4×2=4，

∵△ABC的面积为10，

∴△ADC的面积为10﹣4=6，

∴

AC×DF=6，

∴

AC×2=6，

∴AC=6

故选：

D．

12．

解：

作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，

∵三条角平分线交于点O，OD⊥AB，OE⊥AC，OF⊥BC，

∴OD=OE=OF，

∴S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=AB：

BC：

CA=4：

5：

6，

故选：

D．

13．

解：

作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴DE=DC，

∵∠C=90°，∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴DE=

BD，

∴CD=

BC=5，

故选：

B．

14．

解：

如图，过点P作PF⊥AD于F，作PG⊥BC于G，

∵AP是∠BAD的平分线，PE⊥AB，

∴PF=PE，

同理可得PG=PE，

∵AD∥BC，

∴点F、P、G三点共线，

∴FG的长即为AD、BC间的距离，

∴平行线AD与BC间的距离为3+3=6，

故选：

D．

15．

解：

（1）如图所示：

过两把直尺的交点C作CE⊥AO，CF⊥BO，

∵两把完全相同的长方形直尺，

∴CE=CF，

∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），

故选：

A．

二．填空题（共5小题）

16．

解：

如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．

17．

解：

∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=PN，

∴∠AOC=∠BOC=20°，

∴∠AOB=40°

故答案为40°．

18．

解：

作DE⊥AB于E，

由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，

∵∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=4，

∴△ABD的面积=

×AB×DE=30，

故答案为：

30．

19．

解：

作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点P1、P2、P3，内角平分线相交于点P4，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．

故答案为：

4

20．

解：

作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF=DE=2，

∴△ADC的面积=

×AC×DF=3，

故答案为：

3．

三．解答题（共5小题）

21．

证明：

设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．

∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），

∴OE=OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．

同理，OD=OF．

∴OD=OE（等量代换）．

∵CP是∠ACB的平分线（已知），

∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

因此，AM，BN，CP交于一点；

故答案为：

已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

22．

解：

∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，

∴DE=DF，

∵S△ABC=28，AB=6，BC=8，

∴

×6×DE+

×8×DF=28，

∴7DE=28．

∴DE=4．

23．

证明：

∵OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，

∴AM=BM，

在Rt△AOM和Rt△BOM中，

，

∴Rt△AOM≌Rt△BOM（HL），

∴OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA．

24．

证明：

在Rt△BOF和Rt△COE中，

，

∴Rt△BOF≌Rt△COE，

∴∠FBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠CBO=∠BCO，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

25．

证明：

∵CD平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

∵DE⊥AC，∠ABC=90°

∴DE=BD，∠3=∠4，

∵BF∥DE，

∴∠4=∠5，

∴∠3=∠5，

∴BD=BF，

∴DE=BF．