中考数学必考经典题讲练案一次函数的应用问题解析版docx.docx

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2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】

专题07一次函数的应用问题

【方法指导】

1、解决一次函数的实际问题的一般步骤

（1）设出实际问题中的变量；

（2）建立一次函数关系式；

（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；

（4）确定自变量的取值范围；

（5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；

（6）做答.

2、一次函数的最值问题

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的一限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：

确定函数表达式一确定函数增减性一根据自变量的取值范围确定最值.

3、.一次函数实际问题的常见题型

（1）一次函数的图象型实际应用题

（2）一次函数的表格类问题

（3）一次函数的分段函数类应用题

（4）一次函数的最优化及方案设计型问题

【题型剖析】

【类型11一次函数的实际生活图象问题

【例1]（2019-徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A.甲从中山路上点3出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行.设出发彻沮时，甲、乙两人与点A的距离分别为乂山、y2m.已知、力与工之间的函数关系如图②所示.

|5'Z:

.

~。

「3-75~75in

图①图②

（1）求甲、乙两人的速度；

（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？

【分析】

（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解;

Q

（2）设甲、乙之间距离为d,由勾股定理可得［2=（1200-240x）2+（80x）2=640003-/2+144000,根据二次函数最值即可得出结论.

【解析】

（1）设甲、乙两人的速度分别为am/，沥?

，bin/inin,贝U：

J1200-ax

yi~\ax-noo

y2=bx

=1200-240%,令叫=0,贝0x=5

_J1200-240x（05）

"yi-[240x-1200（x>5）

y2=80x

答：

甲的速度为240m/m汤，乙的速度为80m/.

（2）设甲、乙之间距离为d,

则d2=（1200-240x）2+（80x）2

=64000（%-|）2+144000,9,—

.•.当x=-时，必的最小值为144000,即H的最小值为120应；

2

Q

答：

当x=Z时，甲、乙两人之间的距离最短.

2

【方法小结】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力.

【变式1-11（2019-建邺区校级二模）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4kmJh,二班的学生组成后队，速度为6km/h.前队出发功后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为ahn/h.若不计队伍的长度，如图，折线A-B-C,A-D-E分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y（km）与后队行进时间x（h）之间的部分函数图象.

（1）联络员骑车的速度a=；

（2）求线段对应的函数表达式；

（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间.

【分析】

（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a的值；

（2）根据函数图象中的数据可以求得线段也对应的函数表达式；

（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间.

【解析】

（1）由图可得，

a=（4+4xl）-l=12,22

故答案为：

12；

（2）设线段AD对应的函数表达式为y=kx+b,

|V4得-8

-k+b=O3=4

〔2

即线段AD对应的函数表达式为y=-8x+4（0|蕴|）；

（3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th时，

（12+6）（r-|）=4-（6-4）x|,

7

解得，

3

答：

联络员出发2/z时第一次与后队相遇.

3

【方法小结】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.

【变式1-21（2019-高港区三模）甲、乙两车分别从A、3两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车在相遇之前同时改变了一次速度，并同时到达各自目的地，两车距3地的路程贝勒?

）与出发时间x（/i）之间的函数图象如图所示.

（1）分别求甲、乙两车改变速度后y与x之间的函数关系式；

（2）若m=l,分别求甲、乙两车改变速度之前的速度；

（3）如果两车改变速度时两车相距90如耸，求的值.

【分析】

（1）利用待定系数法解得即可；

（2）分别求出甲、乙两车改变速度之后行驶的路程即可；

（3）根据题意列方程解答即可.

【解析】

（1）设甲车y与x之间的关系式为：

y=kl+bi,根据题意得：

尸玷T6。

，解得质=-8。

［的+&=0世=320

甲车y与x之间的关系式为y=-80x+320；

设乙车y与x之间的关系式为：

y=k2+b2,根据题意得：

J2处+如=160Mp2=100

〔4处+但=360‘寸［々=一40，

乙车y与x之间的关系式为y=100x-40；

（2）当m=l时，甲车改变速度之前的速度为：

360-160+2x3=1200?

〃/?

）；

乙车改变速度之前的速度为：

360-（360-160）+2x3=60（切〃/?

）；

答：

甲车改变速度之前的速度为120km/h,乙车改变速度之前的速度为60km/h-,

（3）根据题意得:

-80x+320-（100x-40）=90,

解得x=1.5,

答：

如果两车改变速度时两车相距90饥，m的值为1.5.

【方法小结】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答.

【类型2】：

一次函数的表格类应用题

【例2】（2019・江阴市一模）某公司生产一种纪念品，去年9月份以前，每天的产量与销售量均为400箱，进入9月份后，每天的产量保持不变，市场需求量却不断增加.如图是9月前后一段时期库存量y（箱）与生产时间x（月份）之间的函数图象.

（1）该厂10月份开始出现供不应求的现象;9月份的平均日销售量为—箱？

（2）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过200万元的情况下，购买10台新设备，使扩大生产规模后的日总产量不低于9月份的平均日销售量.现有A、3两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：

型号

A

B

价格（万元/台）

25

16

日产量（箱/台）

30

20

请设计一种购买设备的方案，使日总产量最大.

（3）在

（2）的条件下（市场日平均需求量与9月相同），若安装设备需三天（即10月4日新设备开始生

【分析】

（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；

（2）根据题意和表格中的数据可以得到相应的不等式组，从而可以求得购买方案，然后根据一次函数的性质即可设计一种购买设备的方案，使日总产量最大；

（3）根据

（2）中的方案和题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题.

【解析】

（1）由图象可得，

该厂10月份开始出现供不应求的现象，9月份的平均日销售量为：

400+6600+30=400+220=620（台），

故答案为：

10,620；

（2）设A型x台，则B型（10-%）台，

J25x+16（10-X）,,200

[400+30x+20（10-x）..620'

解得，蔑作4

x为整数,

:

.x=2,3或4,

昭总产量=400+30.x+20（10-x）=10x+600,

当x=4时，W最大为640台，

即购买A型号的设备4台，3型号的设备6台，可以使得日总产量最大；

（3）设10月4日开始的第x天会有库存，

400x3+640%-620（%+3）>0

解得，x>33

所以10月4日开始的第34天开始有库存（或者11月6日开始有库存）.

【方法小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

【变式2-1】（2019•锡山区校级二模）2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：

底薪1000元，另加外卖送单补贴（送一次外卖称为一单），具体方案如下：

外卖送单数量

补贴（元/单）

每月不超过500单

6

超过500单但不超过m单的部分（700?

900）

8

超过m单的部分

10

（1）若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；

（2）设这个月"外卖小哥”送餐x单，所得工资为y元，求y与x的函数关系式;

（3）若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资640以沙6500,求加的取值范围.

【分析】

（1）根据题意和表格中的数据可以求得若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额;

（2）根据题意和表格中的数据可以写出各段y与x的函数解析式；

（3）根据题意可以列出相应的不等式，求出m的取值范围.

【解析】

（1）由题意可得，

1000+500X6+（600-500）x8=1000+3000+800=4800（元），

答：

若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；

（2）由题意可得，

当0<为,500时，y=1000+6x,

当5005m时，y=l（X）0+500x6+（x-500）x8=8x,

当x>m时，y=1000+500x6+（w-500）x8+（x-m）x10=lOx-2m,

1000+6x（0<500）

由上可得，_y=<8x（500m）

（3）若800<也,900,y=8x800=6400,符合题意，

若700?

800,640（^!

]-2/n+10x8006500,

解得，750?

800,

综上所述：

750?

900.

【变式1-2]（2019-扬州一模）某商场购进一批30瓦的皿>灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价

如下表:

LED灯泡

普通白炽灯泡

进价（元）

45

25

标价（元）

60

30

（1）该商场购进了也）灯泡与普通白炽灯泡共300个，皿）灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进皿灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？

（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%,并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？

【分析】

（1）设该商场购进皿灯泡X个，普通白炽灯泡的数量为y个，利用该商场购进了ZED灯泡与普

通白炽灯泡共300个和销售完这批灯泡后可以获利3200元列方程组，然后解方程组即可;

（2）设该商场购进££»灯泡a个，则购进普通白炽灯泡（120-a）个，这批灯泡的总利润为W元，利用利润

的意义得到W=（60-45）a+（30-25）（120-a）=10“+600,再根据销售完这批灯泡时获利最多且不超过进

货价的30%可确定。

的范围，然后根据一次函数的性质解决问题.

【解析】

（1）设该商场购进灯泡x个，普通白炽灯泡的数量为y个.根据题意，得

x+y=300

（60-45）x+（0.9x30—25）y=3200

答：

该商场购进灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为200个和100个.

（2）设该商场再次购进印灯泡a个，这批灯泡的总利润为W元.则购进普通白炽灯泡（120-a）个.根据

题意得

W=（60-45）o+（30—25）（120-a）=10a+600.

10a+600,,[45a+25（120-a）]x30%,解得q,75,

k=10>0,.•./随a的增大而增大,

•.a=75时，W最大，最大值为1350,此时购进普通白炽灯泡（120-75）=45个.

答：

该商场再次购进LED灯泡75个，购进普通白炽灯泡45个，这批灯泡的总利润为1350元.

【方法小结】本题考查了一次函数的应用：

建立一次函数模型，利用一次函数的性质和自变量的取值范围

解决最值问题；也考查了二元一次方程组.

【类型3]：

一次函数的最大利润方案设计问题【例3]（2019-宿迁三模）某厂计划生产A、8两种产品共100件，已知A产品每件可获利润400元，B产

品每件可获利润500元,其中规定生产8产品的数量不超过A产品数量的2倍,设生产A产品的数量为x（件

）,生产两种产品的获利总额为y（元）

（1）写出y与x之间的函数表达式;

（2）该厂生产A、B两种产品各多少台，才能使获利总额最大？

最大利润是多少？

（3）在实际生产过程中，A产品生产成本下降了〃z（0

【分析】

（1）根据题意和题目中的数据可以求得y与x之间的函数表达式;

（2）根据题意可以求得获利总额最大时生产A和3各多少台，并求得最大利润；

（3）利用分类讨论的方法可以求得各种情况下的最大利润，并写出相应的方案.

【解析】

（1）由题意可得，

y=400x+500（100—x）=—100x+50000,

即y与x之间的函数关系式为y=-100x+50000:

（2）规定生产3产品的数量不超过A产品数量的2倍，

/.100-x,,lx,

解得，工.33上，

3

y——100x+50000,

.•.当工=34时，y取得最大值，此时y=-100x34+50000=46600,100-工=66,

答：

该厂生产A、3两种产品分别为34台、66台时，才能使获利总额最大，最大利润是46600元；

（3）由题意可得，

y=（400+m）x+500（100-x）=（m-100）x+50000,

当0vmvlOO时，

33-^-60且x为整数，

3

.•.当x=34时，y取得最大值，此时y=34m+46600<50000,100-x=66；

当秫=100时，y的最大值为50000；

当100

33与薄60且x为整数，

3

.•.当x=60时，y取得最大值，此时y=60m+44000>50000,100-x=40,

答：

当0

【方法小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的数学思想解答.

【变式3-1]（2019-姜堰区二模）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240兀；购进甲商品2件和乙商品1件共需130兀.

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.

【分析】

（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；

（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题.

fy-L3V—240

【解答】

（1）设商品每件进价X元，乙商品每件进价〉元，得

答：

甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；

（2）设甲商品进1件，乙商品（100-。

）件，由题意得，

q..4（100—&）,

a.80,

设利润为y元，则，

y=101+20（100-。

）=一101+2000,

y随。

的增大而减小，

.•.要使利润最大，则】取最小值，

/.a=80,

.'.y=2000-10x80=1200,

答：

甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200兀.

【方法小结】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

【变式3-2】（2019-常州一模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元；购进甲商品1件和乙商品2件共需70元.

（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并求出最大利润.

【分析】

（1）根据购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；

（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题.

【解析】

（1）设甲种商品每件的进价为x元，乙种商品每件的进价为y元，

（2x+y=50得Jx=10

[x+2y=70寸[y=30，

答：

甲、乙两种商品每件的进价分别是10元、30元；

（2）设该商场购进甲种商品m件，则购进乙种商品（60-m）件，设卖完甲、乙两种商品商场的利润为w元,

则w=（20-10）m+（50-30）（60-m）=-10m+1200,

m..4（60—ni）,

解得，.48,

.•.当m=48时，w取得最大值，最大利润为：

-10*48+1200=720元，60-m=12,

答：

当购进甲商品48件，乙商品12件时可获得最大利润720元.

【方法小结】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答.

【变式3-3】（2019-大丰区一模）风驰汽车销售公司2月份销售某型号汽车，进价为30万元/辆，售价为

32万元/辆，当月销售量为x辆3,30,且x为正整数），销售公司有两种进货方案供选择：

方案一：

若&5辆，进价不变，若x超过5辆，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆；

方案二：

进价始终不变，当月每销售1辆汽车，生产厂另外返还给销售公司1万元/辆.

（1）按方案一进货：

1当x=8时，该型号汽车的进价为29.7万元/辆;

2写出进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当月该型号汽车的销售量为多少辆时，选用方案一和方案二销售公司获利相同.

（注：

销售利润=销售价-进价+返利）.

【分析】

（1）①当*=8时，该型号汽车的进价为：

30-0.1x（8-5）,再计算即可，

②当0<枝,5时，y=30,当x>5时，进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式：

y=30-0.1x（x-5）,再整理即可，

（2）设当月该型号汽车的销售量为x辆时，选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据列出方程对32-（30.5-0.lx）］=3x,最后求解即可.

【解析】

（1）①当*=8时，该型号汽车的进价为：

30—0.1x（8-5）=29.7万元/辆，

故答案为：

29.7,

②当0＜为,5时，进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式：

＞=30；

当x＞5时，进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式：

y=30-0.1x（%-5）=30.5-0.lx,

即进价y（万元/辆）与x（辆）的函数关系式，以及自变量x的取值范围为：

y=30（0〈丕,5,x为正整数）'=30.5-0.1x（5330,x为正整数）；

（2）设当月该型号汽车的销售量为x辆时，选用方案一和方案二销售公司获利相同，根据题意得：

432-（30.5-0.lx）］=3x

解得：

X；=0（舍去），x2=15.

答：

该月售出15辆汽车时，选用方案一和方案二销售公司获利相同.

【方法小结】此题考查了一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数解析式，再求解.

【类型4】：

一次函数的几何综合问题

【例4］（2019-滨海县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b经过点A（4,0）、B（0,2）,点尸是x轴正半轴上的动点，过点F作PC±x轴，交直线储于点C,以。

4、AC为边构造平行四边形OACD.设点尸的横坐标为m.

（1）若四边形（MCD恰是菱形，请求出m的值；

（2）在

（1）的条件下，y轴上是否存在点Q,连结CQ,使得ZOQC+ZODC=1SO°7若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】

（1）先根据△QWsa/WC,由比例线段用加表示PC与AP,再由勾股定理，用m表示AC,最后根据菱形的性质得OA^AC,由此列出m的方程便可求得m；

（2）设Q0）〃，分两种情况分别由△OABsACQB和APQOsaba。

的比例线段列出〃的方程，分别求出〃的值便可.

【解析】

（1）A（4,0）、3（0,2）,

OA=4?

OB=2,

.\AP=4—m,

PC//OB,

:

.AOAB^APACf

PCAPRnPC4-m——=——,即——=,

OBAO24

「.PC=2—tnj

2

:

.AC=^AP2+PC2=—I4-//1I,2

四边形Q4CD恰是菱形，

:

.OA=AC,即鸟4-m|=4,2

解得，m=2°±80；

5

（2）存在，设点Q的坐标为（0/）,当^=2。

-8打时，如图1所示

四边形Q4CD恰是菱形，

ZODC^ZCAO,

ZCDO+ZOQC=180°,ZOQC+ZBQC=180°,

ZQBC=ZABO,

ABQC^ABAO,

BQBC—=——,BABO

AC=AO=4,AB=a/22+42=2^5,

BC=AB-AC=2^/5-4,

.•.00,4^-8）.

四边形。

4CD恰是菱形,

.