二次函数经典难题(含精解).doc

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二次函数经典难题（含精解）

一．选择题（共1小题）

1．顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A，在顶点不变的情况下，把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线，且新的抛物线与y轴相交于点B，则△PAB的面积为（　　）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共12小题）

2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是　_________　．

3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为　_________　．

4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是　_________　．

5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为　_________　．

6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为　_________　．

7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是　_________　．

8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=　_________　；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是　_________　．

9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=　_________　．

10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是　_________　．

11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是　_________　．

12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是　_________　．

13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为　_________　．

三．解答题（共17小题）

14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．

15．将抛物线C1：

y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．

16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：

（1）抛物线y2的顶点坐标　_________　；

（2）阴影部分的面积S=　_________　；

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

17．已知抛物线L：

y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0），它的顶点P的坐标是，与y轴的交点是M（0，c）．我们称以M为顶点，对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线，直线PM为L的伴随直线．

（1）请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式：

伴随抛物线的解析式　_________　，伴随直线的解析式　_________　；

（2）若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3，则这条抛物线的解析式是　_________　；

（3）求抛物线L：

y=ax2+bx+c（其中a、b、c都不等于0）的伴随抛物线和伴随直线的解析式；

（4）若抛物线L与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，x2＞x1＞0，它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点，且AB=CD．请求出a、b、c应满足的条件．

18．设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点

（1）将抛物线沿y轴平移，使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍，求平移所得抛物线的解析式；

（2）通过

（1）中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线，求新抛物线的表达式．

19．已知抛物线C：

y=ax2+bx+c（a＜0）过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），A为抛物线C的顶点．

（1）如图1，若∠AOB=60°，求抛物线C的解析式；

（2）如图2，若直线OA的解析式为y=x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′，求抛物线C、C′的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设A′为抛物线C′的顶点，求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标．

20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A，B两点，交y轴于点C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求抛物线的解析式和直线BC的解析式．

21．已知：

如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点M为抛物线上的一个动点，求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标．

22．已知抛物线的顶点为P，与x轴正半轴交于点B，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式．

23．如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：

S△ACD=5：

4的点P的坐标．

24．已知一抛物线经过O（0，0），B（1，1）两点，且解析式的二次项系数为﹣（a＞0）．

（Ⅰ）当a=1时，求该抛物线的解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）已知点A（0，1），若抛物线与射线AB相交于点M，与x轴相交于点N（异于原点），当a在什么范围内取值时，ON+BM的值为常数？

当a在什么范围内取值时，ON﹣BM的值为常数？

（Ⅲ）若点P（t，t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点．将这条抛物线进行平移，使其只有一个不动点，此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上，请说明理由．

25．如图，已知抛物线C1：

y=a（x+2）2﹣5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的横坐标是1；

（1）求a的值；

（2）如图，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，抛物线C3的顶点为M，当点P、M关于点O成中心对称时，求抛物线C3的解析式．

26．如图，抛物线y=ax2+bx+3经过A（﹣3，0），B（﹣1，0）两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为M，直线y=﹣2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上．若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围．

27．如图，抛物线y=a（x+1）2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB=OA．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点C（﹣3，b）在该抛物线上，求S△ABC的值．

28．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：

y=x﹣5上．

（1）求抛物线顶点A的坐标及c的值；

（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状．

29．如果抛物线m的顶点在抛物线n上，同时抛物线n的顶点在抛物线m上，那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线．

（1）已知抛物线a：

y=x2﹣2x+1．判断下列抛物线b：

y=x2﹣2x+2，c：

y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线？

并说明理由；

（2）在直线y=2上有一动点P（t，2），将抛物线a：

y=x2﹣2x+1绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线l，若抛物线a与l为交融抛物线，求抛物线l的解析式；

（3）M为抛物线a；y=x2﹣2x+1的顶点，Q为抛物线a的交融抛物线的顶点，是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS，使其直角顶点S在y轴上？

若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）通过以上问题的探究解决，相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识，请你提出一个有关交融抛物线的问题．

30．如图1所示，已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当x=﹣时，y取最大值．

（1）求抛物线和直线的解析式；

（2）设点P是直线AC上一点，且S△ABP：

S△BPC=1：

3，求点P的坐标；

（3）直线y=x+a与

（1）中所求的抛物线交于点M、N，两点，问：

①是否存在a的值，使得∠MON=90°？

若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

②猜想当∠MON＞90°时，a的取值范围．（不写过程，直接写结论）

（参考公式：

在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M、N两点之间的距离为|MN|=）

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

A．

B．

C．

D．

考点：

分析：

根据题目意思，求出A和B的坐标，再求三角形的面积则可．

解答：

解：

当x=0时，y=3，所以A的坐标是（0，3），y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，

把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+2x+1，x=0时，y=1，所以B的坐标是（0，1），P的坐标是（1，2），△PAB的面积=×2×（3﹣2）=1．

故选A．

点评：

本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法，和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力，难度较大．

二．填空题（共12小题）

2．作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2，将抛物线C2向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C的函数解析式是y=2（x+1）2﹣1，则抛物线C1所对应的函数解析式是　y=﹣2（x﹣1）2+2　．

考点：

专题：

应用题．

分析：

根据题意易得抛物线C的顶点，进而可得到抛物线B的坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式．

解答：

解：

根据题意易得抛物线C的顶点为（﹣1，﹣1），

∵是向左平移2个单位，向上平移1个单位得到抛物线C的，

∴抛物线B的坐标为（1，﹣2），

可设抛物线B的坐标为y=2（x﹣h）2+k，代入得：

y=2（x﹣1）2﹣2，

易得抛物线A的二次项系数为﹣2，顶点坐标为（1，2），

∴抛物线A的解析式为y=﹣2（x﹣1）2+2，

故答案为y=﹣2（x﹣1）2+2．

点评：

本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．

3．抛物线关于原点对称的抛物线解析式为　　．

考点：

分析：

根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．

解答：

解：

∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，

∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为：

﹣y=﹣（﹣x）2+（﹣x）+2，即y=x2+x﹣2．

故答案为：

y=x2+x﹣2．

点评：

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

4．将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是　y=﹣x2﹣1　．

考点：

分析：

根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可．

解答：

解：

根据题意，﹣y=（﹣x）2+1，得到y=﹣x2﹣1．故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1．

点评：

考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．

5．如图，正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上，且抛物线的顶点在CD上，若正方形ABCD边长为10，则正方形EFGH的边长为　5﹣5　．

考点：

分析：

首先建立平面坐标系：

过点G作GM⊥x轴于点M，进而得出抛物线解析式，进而表示出G点坐标，再利用FG+MG=10，进而求出即可．

解答：

解：

如图建立平面坐标系：

过点G作GM⊥x轴于点M，

设抛物线解析式为：

y=ax2，

∵正方形ABCD边长为10，

∴B点坐标为：

（5，﹣10），

将B点代入y=ax2，

则﹣10=25a，

解得：

a=﹣，

设G点坐标为：

（a，﹣a2），

则GF=2a，

∴MG=10﹣GF，即a2=10﹣2a，

整理的：

a2+5a﹣25=0，

解得：

a1=，a2=（不合题意舍去），

∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5．

故答案为：

5﹣5．

点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法，根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键．

6．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．在抛物线y=ax2+bx+c中，系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为　　．

考点：

分析：

由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，可得系数a、b、c为：

0，1，﹣1；然后根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况，再利用概率公式即可求得答案．

解答：

解：

∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数，

∴系数a、b、c为：

0，1，﹣1；

画树状图得：

∵共有18种等可能的结果，该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有：

（1，0，﹣1），（﹣1，0，1），

∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为：

=．

故答案为：

．

点评：

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质．注意用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

7．抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴上，若抛物线的顶点在△ABC的内部（不包括边界），则a的范围是　﹣＜a＜0或0＜a＜　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据点A、B的坐标求出OA、OB的长，再求出△ACO和△CBO相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长，再根据二次函数的对称性求出对称轴，设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ，设抛物线的交点式解析式y=a（x+1）（x﹣4），整理求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可．

解答：

解：

∵点A（﹣1，0），B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

易得△ACO∽△CBO，

∴=，

即=，

解得OC=2，

∵抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），

∴对称轴为直线x==，

设对称轴与直线BC相交于P，与x轴交于Q，

则BQ=4﹣=2.5，

tan∠ABC==，

即=，

解得PQ=，

设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

则y=a（x2﹣3x﹣4）=a（x﹣）2﹣a，

当点C在y轴正半轴时，0＜﹣a＜，

解得﹣＜a＜0，

当点C在y轴负半轴时，﹣＜﹣a＜0，

解得0＜a＜，

所以，a的取值范围是﹣＜a＜0或0＜a＜．

故答案为：

﹣＜a＜0或0＜a＜．

点评：

本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便，注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论．

8．已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上，则a=　9　；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是　a＜9　．

考点：

分析：

顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点，则判别式等于0，若抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，据此即可求解．

解答：

解：

△=36﹣4a，

则定点在x轴上，则36﹣4a=0，

解得：

a=9；

抛物线与x轴有两个交点，则36﹣4a＞0，

解得：

a＜9．

故答案是：

9；a＜9．

点评：

本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法，如果△＞0，则抛物线与x轴有两个不同的交点；如果△=0，与x轴有一个交点；如果△＜0，与x轴无交点．

9．抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上，则a=　2　．

考点：

专题：

压轴题．

分析：

根据抛物线顶点的纵坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．

解答：

解：

因为抛物线的顶点坐标为（﹣，）

所以=2

解得：

a1=2，a2=﹣1

又因为要有意义

则a≥0

所以a=2．

点评：

此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：

中a≥0．

10．若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上，则a的值是　4　．

考点：

分析：

根据抛物线顶点的横坐标等于2，列出方程，求出a的值，注意要有意义．

解答：

解：

因为抛物线的顶点坐标为（﹣，），

所以﹣=2，

解得：

a1=4，a2=﹣4，

又因为要有意义，

则a≥0，

所以a=4．

故答案为4．

点评：

此题考查了学生的综合应用能力，解题时要注意别漏条件，特别是一些隐含条件，比如：

中a≥0．

11．若抛物线的顶点在x轴上方，则m的值是　2　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

先列出关于m的等式，再根据抛物线的顶点在x轴上方，求得m，所以只需令顶点纵坐标大于0即可．

解答：

解：

∵是抛物线，

∴m2﹣2=2，

解得m=±2，

∵抛物线的顶点在x轴上方．

∴0﹣8（m+2）＜0，

∴m＞﹣2，

∴m=2．

故答案为：

2．

点评：

本题考查了二次函数的定义和性质，将函数与一元二次方程结合起来，有一定的综合性．

12．如图，二次函数y=ax2+c图象的顶点为B，若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上，则a•c的值是　﹣2　．

考点：

分析：

抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），由四边形ABCO是正方形，则C点坐标为标为（﹣，），代入抛物线即可解答．

解答：

解：

∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为（0，c），四边形ABCO是正方形，

∴∠COB=90°，CO=BC，

∴△COB是等腰直角三角形，

∴C点横纵坐标绝对值相等，且等于BO长度一半，

∴C点坐标为（﹣，），

将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2．

故答案为：

﹣2

点评：

本题将几何图形与抛物线结合了起来，同学们要找出线段之间的关系，进而求得问题的答案．

13．抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），则代数式6a+3b+1的值为　10　．

考点：

专题：

整体思想．

分析：

把点（2，5）代入抛物线求出2a+b的值，然后整体代入进行计算即可得解．

解答：

解：

∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点（2，5），

∴4a+2b﹣1=5，

∴2a+b=3，

∴6a+3b+1=3（2a+b）+1=3×3+1=10．

故答案为：

10．

点评：

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键，主要利用了整体思想．

三．解答题（共17小题）

14．已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，求抛物线C2的解析式．

考点：

分析：

利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可．

解答：

解：

抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即﹣y=2x2﹣4x+5，

因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5．

点评：

利用轴对称变换的特点可以解答．

15．将抛物线C1：

y=（x+1）2﹣2绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2，若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上，求抛物线C2的解析式．

考点：

分析：

先求出抛物线C1的顶点坐标，再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标，然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式，再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解．

解答：

解：

∵y=（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），

∴绕点P（t，2）旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为（2t+1，6），

∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣2t﹣1）2+6，

∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上，

∴﹣（﹣1﹣2t﹣1）2+6=﹣2，

解得t1=3，t2=﹣5，

∴抛物线C2的解析式为y=﹣（x﹣7）2+6或y=﹣（x+9）2+6．

点评：

本题考查了二次函数图象与几何变换，难度较大，求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键，也是本题的难点．

16．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：

（1）抛物线y2的顶点坐标　（1，2）　；

（2）阴影部分的面积S=　2　；

（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，求抛物线y3的解析式．

考点：

分析：

直接应用二次函数的知识解决问题．

解答：

解：

（1）读图找到最高点的坐标即可．故抛物线y2的顶点坐标为（1，2）；（2分）

（2）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2；（6分）

（3）由题意可得：

抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称．

所以抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2），于是可设抛物线y3的解析式为：

y=a（x+1）2﹣2．由对称性得a=1，

所以y3=（x+1）2﹣2．（10

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