垂直平分线与角平分线.docx

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垂直平分线与角平分线

垂直平分线与角平分线

【专题简介】

我们生活在一个充满对称的世界中,从自然景观到艺术作品,从建筑物到交通标志,甚至日常生活用品中,人们都可以找到对称的影子.中垂线和角平分线是重要的轴对称条件,与之相关的辅助线技巧也非常丰富

【学习目标】

1.理解中要线的性质及其常规辅助线

2.找找与角平分线相关的辅助线证法

模块一垂直平分线的性质和判定

平分线的性质和判定

垂直平分线的定义:

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线

垂直平分线的性质:

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等

垂直平分线的判定:

与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上

【例1】如图,AB=AC,BD=CD,E是AD廷长线上一点,求证:

BE=CE

【练1】证明:

三角形三边的垂直平分线交于一点

【例2】△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于D、E；若∠BAC+∠DAE=150°,求∠BAC

【练2】△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于D，DF⊥AC于F，交BC边上高于G，求证：

EG=EC

模块二角平分线

角平分线的性质与判定:

（1）定义：

把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线

（2）角平分线的性质定理

如果一条射线是一个角的平分线,那么它把这个角分成两个相等的角.在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

（3）角平分线的判定定理

如果一条射线的端点与角的顶点重合,且把一个角分成两个等角,那么这条射线是这个角的分线:

在角的内部,到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

怎样添角平分线问题的辅助线?

过角平分线上的点作双垂

在两边上截取相等线段

“一角一垂”出等腰

角平分线+平行线

强化挑战

【例3】△ABC中,D为BC中点,DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于F；EG⊥AC的延长线于G.求证:

BF=CG.

【练3】（2015武汉二中八上期中）已知,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P,PM⊥AC,PN⊥AB,垂足分别为M、N,AB=3,AC=7,求CM的长度？

【例4】如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.请你证明:

CF平分∠AFB

【练4】（2014武珞路八上期中）如图,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD、BE交于点H,连CH.

（1）求证:

△ACD≌△BCE;

（2）求证:

CH平分∠AHE;（3）求∠CHE的度数.（用含a的式子表示）

【例5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=108°,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于点D,求证:

AB+CD=BC

【练5】如图,已知等腰△ABC,∠BAC=100°,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于D,求证:

BD+AD=BC

【例6】（2014汉阳区八上期中）如图,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.求证:

①AC=AE+CD；②FE=FD

【练6】已知Rt△ACB,其中∠C=90°,BE、AF分别是∠ABC与∠CAB的平分线交于点l，IM⊥BE交AB于M,IN⊥AF交AB于N,求证:

S

【例7】已知△ABC为等腰直角三角形,AB=CB,∠ABC90°，AE平分∠CAB,过C作CD⊥AE于D求证:

AE=2CD.

【练7】如图,已知Rt△ABC,∠B=90°,DA⊥AC,∠BAC=∠ADC,DH⊥BC延长线于H,AG⊥DH于G,求证:

G是DH中点

【例8】如图,锐角三角形△ABC中,∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC,交AC于E,AD⊥BE于D,求证:

AC=2BD

【练8】已知:

如图,AD平分∠BAC,AD=AB,CM⊥AD于M.猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系,并证明你的结论

综合练习

【练9】如图AD=BC,DF=CA,∠C=∠D,AD交BC于点H,AE⊥BC于点E,点F在BC上

（1）若AN是△AEC的角平分线,求证S△AEN:

S△ACN=AE:

AC;

（2）当∠B=∠BAH+12°时,求∠B的度数

【练10】（外校每日一练）如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是（-t,0）,点B的坐标是（t,0）,点C的坐标是（0,t）,其中t>0.点D和点E分别是AC延长线和反向延长线上的点,CD=AE.CF⊥BD于点F,直线CF交x轴于点G,直线GE交DB于点M

（1）求证:

GB平分∠CGM;

（2）试判断∠D与∠GEC之间的数量关系,并说明你的理由;

第6讲8年级尖端班课后作业

【习1】已知:

如图,BC＞AD,DC=AD,BD平分∠ABC,求证:

∠A+∠C=180°.

【习2】如图所示,在△ABC中,∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于E.求证:

BE=-（AC-AB）

【习3】已知,如图,四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,且AB>BC；求证:

AD=DC

【习4】如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB、∠DBA,CD过点E.求证:

AB=AC+BD

【习5】如图，△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,则下列四个结论:

①AD上任意一点到点B、C的距离相等;②AD上任意一点到AB、AC的距离相等:

③AD⊥BC,且BD=CD;④∠BDE=∠CDF,其中正确的有（）

A.①②；B.①③；C.①②④；D.①②③④

【习6】如图所示,I是△ABC三内角平分线的交点,IE⊥BC于E,A延长线交BC于D,CI的延长线交AB于F,下列结论:

①∠BIE=∠CID;②S△ABC=

（AB+BC+AC）;③BE=

（AB+BC-AC）;④AC=AF+DC,其中正确的结论是（）

A.①②③；B.①②④；C.②③④；D.①②③④

【习7】已知如图,AP平分∠BAF,PB⊥AB,PD⊥EF,DE=DF;求证:

AF-AB=BE,

【习8】在△ABC中,E为BC边的中点,DE⊥BC于E点,交AC于D点,求证:

AB

【习9】如图,AD是△ABC的角平分线,求证AB:

AC=BD:

CD

【习10】如图所示,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、M.求证:

PM=PN

【习11】（2014江岸区八上期中）如图,在四边形ABCD中,BE、CF分别平分∠ABC、∠BCD,BE、CF相交于点O,BE交CD于E,CF交AB于F。

（1）试写出∠A,∠D，∠BOC的数量关系,然后证明

（2）若∠A+∠D=240°,求证:

OE=OF

【习12】已知直角△ABC,∠ACB=90°,CH⊥AB于H,AD平分∠CAB交CB于D,交CH于E，过D作DF⊥CH于H,求证:

①CE=CD,②CF=EH

【习13】如图,直角坐标系中,A、B分别为x轴,y轴正半轴上的点（OA>OB）,AB的垂直平分线交x轴于C，BD与BC关于y轴对称.

（1）若∠CBD=40°,求∠A的度数:

（2）若△ABD周长为13,AB=6,求△BDC周长;（3）当A、B运动时,给出两个结论：

①

为定值;②

为定值,其中有且只有一个正确,请选择正确结论,证明并求值

【习14】己知Rt△ACB,其中∠C=90°,BE、AF分别是∠ABC与∠CAB的平分线交于点I，求证：

【习15】已知:

等腰△ABC,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于点D;若BC=AB+AD；求∠BAC,

【习16】已知:

等腰△ABC,AB=AC,BD平分∠ABC且交AC于点D:

若BC=AB+CD，求∠BAC,