新湘教版必修4高中数学 解三角形的应用举例.docx

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新湘教版必修4高中数学解三角形的应用举例

8．3

解三角形的应用举例

[读教材·填要点]

1．测量中有关名词、术语

（1）仰角与俯角：

在同一铅垂平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线之下时，称为俯角，如图

（1）所示．

（2）方位角：

从指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如：

方位角是60°的图形是图

（2），或称北偏东60°.

（3）方向角：

从指定方向线到目标方向线的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.

2．用解三角形知识解实际问题的步骤

[小问题·大思维]

用解三角形的知识解决距离、高度问题应用了什么数学思想？

[提示]　体现了数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理得出数学模型的解，再还原成实际问题的解．

测量距离问题

如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.

若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

[解]　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，

∴AC＝DC＝.

在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，

得BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos45°

＝＋－2×××＝.

∴AB＝（km）．

∴A，B两点间的距离为km.

解决该题的切入点是所求量在哪个三角形中，已知是什么，还需要什么，待求的量怎么求出，具体落实到使用哪个定理．

1．如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°（视A，B，C，D四点在同一平面内）．求两目标A，B之间的距离．

解：

在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，

∴∠CAD＝30°，∴AC＝CD＝，∴AD＝3.

在△BCD中，∠CBD＝180°－45°－30°－45°＝60°，

由正弦定理，得＝，

∴BD＝＝＝.

在△ADB中，由余弦定理得，

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB

＝9＋2－2×3××＝5，

∴AB＝，即目标A，B相距km.

测量高度的问题

A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.

[解]　如图，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，

所以CD＝AD.

因此，只需在△ABD中求出AD即可，

在△ABD中，

∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，

由＝，

得AD＝＝

＝800（＋1）（m）．

∴CD＝AD＝800（＋1）≈2186（m）．

答：

山高CD约为2186m.

在测量高度时，要注意理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：

（1）根据已知条件画出示意图；

（2）分析与问题有关的三角形；

（3）运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；

（4）要综合运用立体几何知识与平面几何知识；

（5）注意方程思想的运用．,

2．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A向北偏东30°方向前进100m到达B处，在B处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（　　）

A．50m　　B．100m　　　

C．120m　　D．150m

解析：

选A　如图，设水柱高度是hm，水柱底端为C，则在△ABC中，∠BAC＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，（h）2＝h2＋1002－2×h×100×cos60°，即h2＋50h－5000＝0，解得h＝50或h＝－100（舍去），故水柱的高度是50m.

3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为________m.

解析：

因为∠SAB＝45°－30°＝15°，

∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－（90°－75°）＝30°，

所以∠ASB＝180°－∠SAB－∠SBA＝135°.

在△ABS中，AB＝＝＝1000，

所以BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000（m）．

答案：

1000

测量角度的问题

如图，某货船在索马里附近海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．

[解]　设所需时间为t小时，

则AB＝10t，CB＝10t，

在△ABC中，根据余弦定理，则有

AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，

可得（10t）2＝102＋（10t）2－2×10×10tcos120°，

整理得2t2－t－1＝0，

解得t＝1或t＝－（舍去）．

舰艇需1小时靠近货船．

此时AB＝10，BC＝10，

在△ABC中，由正弦定理得

＝，

所以sin∠CAB＝＝＝，

所以∠CAB＝30°或∠CAB＝150°（舍），

所以护航舰航行的方位角为75°.

解决此类问题的关键是明确题中所给各个角的含义，画出示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形中的边与角的关系，求解三角形使问题获得解决．

4．如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？

解：

由已知，得∠CAB＝90°＋30°＝

120°，则∠ACB<90°.连接BC.

在△ABC中，由余弦定理得BC2＝

202＋102－2×20×10×cos120°＝700，

∴BC＝10海里．

在△ABC中，根据正弦定理，得＝，

∴sin∠ACB＝.又∠ACB<90°，

∴∠ACB≈41°.

∴乙船应朝北偏东大约41°＋30°＝71°的方向沿直线前往B处救援．

[随堂体验落实]

1．海面上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成30°的视角，则B与C之间的距离是（　　）

A．10海里　　　　　　　B.海里

C．5海里D．5海里

解析：

选D　由题意，画出示意图，如图．在△ABC中，C＝180°－A－B＝90°，

∴BC＝ABsin60°＝5海里．

2．在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°，则塔高为（　　）

A.mB．m

C.mD.m

解析：

选A　如图，设塔高CD＝x，

在△ABD中，tan30°＝，

∴BD＝200tan30°＝.

在△ACE中，

tan30°＝＝.

∴200－x＝BD·tan30°＝·＝，

∴x＝200－＝.

3．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为（　　）

A．10kmB．km

C．10kmD．10km

解析：

选D　如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°.

由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos120°＝100＋400＋200＝700，∴AC＝10（km）．

4．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：

sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）

解析：

如图，过点A作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝.在△ABC中，根据正弦定理得BC＝＝46×≈60.

答案：

60

5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．

解：

设建筑物的高度为h，由题图知，

PA＝2h，PB＝h，PC＝h，

∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，

得cos∠PBA＝，①

cos∠PBC＝.②

∵∠PBA＋∠PBC＝180°，

∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③

由①②③，解得h＝30或h＝－30（舍去），即建筑物的高度为30m.

[感悟高手解题]

在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

[解]　由已知可得在△ABC与△ACD中，

AC＝BC＝30，AD＝DC＝10，∠ADC＝180°－4θ，

∴＝.

∵sin4θ＝2sin2θcos2θ，

∴cos2θ＝，得2θ＝30°.

∴θ＝15°，∴在Rt△ADE中，AE＝ADsin60°＝15m.

答：

所求角θ为15°，建筑物高度为15m.

一、选择题

1．甲、乙二人同时从A点出发，甲沿着正东方向走，乙沿着北偏东30°方向走，当乙走了2千米到达B点时，两人距离恰好为千米，那么这时甲走的距离是（　　）

A．2千米　　　　　　B．2千米

C.千米D．1千米

解析：

选D　假设甲走到了C，则在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos60°，即（）2＝22＋AC2－2×2AC·，解得AC＝1.故选D.

2.如图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为140°的方向航行，为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是（　　）

A．10kmB．10km

C．15kmD．15km

解析：

选B　在△ABC中，

BC＝40×＝20（km），

∠ABC＝140°－110°＝30°，

∠ACB＝（180°－140°）＋65°＝105°，

∴A＝180°－（30°＋105°）＝45°.

由正弦定理，得

AC＝＝＝10（km）．

3．有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸（　　）

A．5mB．10m

C．10mD．10m

解析：

选C　如图，E为斜坡延长后的底．

在△AEC中，∠CEA＝30°，AC＝10，∠CAE＝105°，

∴由内角和定理得∠ACE＝45°.

由正弦定理得

＝.

∴AE＝＝＝10（m）．

4．在地面上一点A测得一电视塔塔尖的仰角为45°，再向塔底方向前进100m，又测得塔尖的仰角为60°，则此电视塔高约为（　　）

A．237mB．227m

C．247mD．257m

解析：

选A　如图，CD表示电视塔，由已知得∠CAD＝45°，AB＝100，∠CBD＝60°，

设塔高为x，

在△CBD中，BD＝x·tan30°＝x，

又AD＝CD，∴x＝100＋x.

∴x＝50（3＋）≈237m.

二、填空题

5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________km.

解析：

如图，在△ABC中，

AC＝4×15＝60，

∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，

∴∠ABC＝45°.

∴BC＝＝＝30（km）．

答案：

30

6．甲、乙两塔相距60m，从乙塔塔底望甲塔塔顶仰角为45°，从甲塔塔顶望乙塔塔顶俯角为30°，则甲、乙两塔高度分别为________．

解析：

如图所示，在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，

则CD＝BD＝60（m）．

在Rt△AEC中，CE＝tan30°AE＝20（m）．

∴AB＝（60－20）（m）．

答案：

60m　（60－20）m

7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°方向航行30nmile后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离为________nmile.

解析：

如图所示，B是灯塔，A是船的初始位置，C是船航行后的位置，则BC⊥AD，∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，

则在Rt△ACD中，

DC＝ACsin∠DAC＝30sin60°＝15nmile

AD＝ACcos∠DAC＝30cos60°＝15nmile，

则在Rt△ADB中，

DB＝ADtan∠DAB＝15tan30°＝5nmile，

则BC＝DC－DB＝15－5＝10nmile.

答案：

10

8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距anmile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________nmile.

解析：

如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，

∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，

∴BC＝AB＝anmile，

∴AC＝

＝＝a（nmile）

答案：

北偏东30°　a

三、解答题

9．某观测站C在A城的南偏西20°的方向，由A城出发有一条公路，公路走向是南偏东40°，在公路上测得距离C31km的B处，有一人正沿公路向A城走去，走了20km后到达D处，此时C，D之间相距21km，问此人还要走多远才能到达A城？

解：

如图，∠CAB＝60°，BD＝20km，CB＝31km，CD＝21km.在△BCD中，由余弦定理，得cos∠BDC＝＝＝－，则sin∠BDC＝.

在△ACD中，∠ACD＝∠BDC－∠CAD＝∠BDC－60°.由正弦定理，可得AD＝.

∵sin∠ACD＝sin（∠BDC－60°）

＝sin∠BDCcos60°－cos∠BDCsin60°＝，

∴AD＝＝15（km）．

∴此人还要走15km才能到达A城．

10.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我

方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜，问：

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？

并求出所需时间．

解：

设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快（在D点）截获走私船，

则CD＝10t海里，BD＝10t海里．

∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠CAB

＝（－1）2＋22－2（－1）·2cos120°＝6，

∴BC＝.

∵＝，

∴sin∠ABC＝＝＝，

∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，

∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.

∵＝，

∴sin∠BCD＝＝＝，

∴∠BCD＝30°.

由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°，

∴BD＝BC，即10t＝，∴t＝（小时）．

答：

缉私船沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要小时．