配套K12高中数学第一章三角函数13三角函数的图象和性质134三角函数的应用教案苏教版必修4.docx
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配套K12高中数学第一章三角函数13三角函数的图象和性质134三角函数的应用教案苏教版必修4
1.3.4 三角函数的应用
教学分析
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
三角函数模型的简单应用的设置目的，在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习．本节通过例题，循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用，本节在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性，同时又关注到三角函数性质（特别是周期性）的应用．
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题，培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力．培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，包括建立有关数据的散点图，根据散点图进行函数拟合等．
三维目标
1．能正确分析收集到的数据，选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律．将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型．
2．通过函数拟合得到具体的函数模型，提高数学建模能力，并在探究中激发学生的学习兴趣，培养锲而不舍的钻研精神，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神．
3．通过切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，及数学与日常生活和其他学科的联系．认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用．体会和感受数学思想的内涵及数学本质，逐步提高创新意识和实践能力．
重点难点
教学重点：
分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型，用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题．
教学难点：
将某些实际问题抽象为三角函数的模型，并调动相关学科的知识来解决问题，是本节的难点，主要原因是背景陌生，数据处理较复杂，学习起来感到难以切入．
课时安排
2课时
第1课时
导入新课
思路1.（问题导入）既然大到宇宙天体的运动，小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在，那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？
它到底能发挥哪些作用呢？
由此展开新课．
思路2.（直接导入）我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质，特别研究了三角函数的周期性．在现实生活中，如果某种变化着的现象具有周期性，那么是否可以借助三角函数来描述呢？
面临一个实际问题，应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
以下通过几个具体例子，来研究这种三角函数模型的简单应用．
推进新课
用三角函数的图象和性质解决一些简单的生活实际问题．
活动：
师生互动，唤起回忆，充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程．对课前已经做好复习的学生给予表扬，并鼓励他们类比以前所学知识方法，继续探究新的数学模型．对还没有进入状态的学生，教师要帮助其回忆并快速激起相应的知识方法．在教师的引导下，学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是：
收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题．
这点很重要，学生只要有了这个认知基础，本节的简单应用便可迎刃而解．新课标下的教学要求，不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题，而是教师引领学生逐步登高，在合作探究中自己解决问题，探求新知．
简单地说，数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．数学模型的方法，是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．
解决问题的一般程序是：
（1）审题：
逐字逐句地阅读题意，审清楚题目条件、要求、理解数学关系；
（2）建模：
分析题目变化趋势，选择适当函数模型；
（3）求解：
对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
（4）还原：
把数学结论还原为实际问题的解答．
思路1
例1见课本本节例1.
变式训练
如图1，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝sin（ωx＋φ）＋b.
图1
（1）求这一天的最大温差；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
活动：
这道题目是2002年全国卷的一道高考题，探究时教师与学生一起讨论．本题是研究温度随时间呈周期性变化的问题．教师可引导学生思考，本题给出模型了吗？
给出的模型函数是什么？
要解决的问题是什么？
怎样解决？
然后完全放给学生自己讨论解决．
题目给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型．其中第
（1）小题实际上就是求函数图象的解析式，然后再求函数的最值差．教师应引导学生观察思考：
“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”，可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式．让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用．第
（2）小 题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数，即可确定其解析式．其中求ω是利用半周期（14－6），通过建立方程得解．
解：
（1）由图可知，这段时间的最大温差是20℃.
（2）从图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期的图象，
∴A＝
（30－10）＝10，b＝
（30＋10）＝20.
∵
·
＝14－6，∴ω＝
.将x＝6，y＝10代入上式，解得φ＝
.
综上，所求解析式为y＝10sin（
x＋
）＋20，x∈[6,14]．
点评：
本题中所给出的一段图象恰好是半个周期的图象，提醒学生注意抓关键．本题所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况，因此应当特别注意自变量的变化范围，这点往往被学生忽略掉.
例2见课本本节例2.
变式训练
函数y＝|sinx|的一个单调增区间是（ ）
A．（－
，
） B．（
，
）
C．（π，
）D．（
，2π）
答案：
C
例3如图2，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，φ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
如果在北京地区（纬度数约为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？
图2
活动：
本例所用地理知识、物理知识较多，综合性比较强，需调动相关学科的知识来帮助理解问题，这是本节的一个难点．在探讨时要让学生充分熟悉实际背景，理解各个量的含义以及它们之间的数量关系．
首先由题意要知道太阳高度角的定义：
设地球表面某地纬度值为φ，正午太阳高度角为θ，此时太阳直射纬度为δ，那么这三个量之间的关系是θ＝90°－|φ－δ|.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值．
根据地理知识，能够被太阳直射到的地区为南、北回归线之间的地带，图形如图3，由画图易知太阳高度角θ、楼高h0与此时楼房在地面的投影长h之间有如下关系：
h0＝htanθ.
由地理知识知，在北京地区，太阳直射北回归线时物体的影子最短，直射南回归线时物体的影子最长．因此，为了使新楼一层正午的太阳全年不被遮挡，应当考虑太阳直射南回归线时的情况．
解：
如图3，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、南回归线时楼顶在地面上的投影点．要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线的情况考虑，此时的太阳直射纬度－23°26′.依题意，两楼的间距应不小于MC.
图3
根据太阳高度角的定义，
有∠C＝90°－|40°－（－23°26′）|＝26°34′，所以MC＝
＝
≈2.000h0，
即在盖楼时，为使后楼不被前楼遮挡，要留出相当于楼高两倍的间距．
点评：
本例是研究楼高与楼在地面的投影长的关系问题，是将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，然后根据所得的函数模型解决问题．要直接根据图2来建立函数模型，学生会有一定困难，而解决这一困难的关键是联系相关知识，画出图3，然后由图形建立函数模型，问题得以求解．这道题的结论有一定的实际应用价值．教学中，教师可以在这道题的基础上再提出一些问题，如下例的变式训练，激发学生进一步探究.
变式训练
某市的纬度是北纬23°，小王想在某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米．要使所买楼层在一年四季正午太阳不被前面的楼房遮挡，他应选择哪几层的房？
图4
解：
如图4，由例3知，北楼被南楼遮挡的高度为h＝15tan[90°－（23°＋23°26′）]
＝15tan43°34′≈14.26，
由于每层楼高为3米，根据以上数据，
所以他应选5层以上.
课本本节练习1、2.
1．本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用，即根据图象建立解析式，根据解析式作出图象，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2．实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它．因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题．
1．图5表示的是电流I与时间t的函数关系I＝Asin（ωx＋φ）（ω>0，|φ|<
）在一个周期内的图象．
图5
（1）根据图象写出I＝Asin（ωx＋φ）的解析式．
（2）为了使I＝Asin（ωx＋φ）中的t在任意一段
s的时间内电流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值为多少？
解：
（1）由图知A＝300，第一个零点为（－
，0），第二个零点为（
，0），
∴ω·（－
）＋φ＝0，ω·
＋φ＝π.
解得ω＝100π，φ＝
.
∴I＝300sin（100πt＋
）．
（2）依题意有T≤
，即
≤
，
∴ω≥200π，故ωmin＝629.
2．搜集、归纳、分类现实生活中周期变化的情境模型．
解：
如以下两例：
①人体内部的周期性节律变化和个人的习惯性的生理变化，如人体脉搏、呼吸、排泄、体温、睡眠节奏、饥饿程度等；
②蜕皮（tuipi）昆虫纲和甲壳纲等节肢动物，以及线形动物等的体表具有坚硬的几丁质层，虽有保护身体的作用，但限制动物的生长、发育．因此，在胚后发育过程中，必须进行1次或数次脱去旧表皮，再长出宽大的新表皮后，才变成成虫，这种现象称为蜕皮；蜕下的“旧表皮”称为“蜕”，只有这样，虫体才能得以继续充分生长、发育．蜕皮现象的发生具有周期性，但蜕皮的准备和蜕皮过程是连续进行的．此外，脊椎动物爬行类的蜕皮现象尤为明显，如蜥蜴和蛇具有双层角质层，其外层在定期蜕皮时脱掉，蛇的外层角质层连同眼球外面透明的皮肤，约每2个月为一个周期可完整地脱落1次，称为蛇蜕．
1．本教案设计指导思想是：
充分唤起学生已有的知识方法，调动起相关学科的知识，尽量降低实例背景的相对难度，加大实际问题的鲜明、活跃程度，以引发学生探求问题的兴趣．
2．应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，确定它的周期，从而建立起适当的三角函数模型．如果学生选择了不同的函数模型，教师应组织学生进行交流，或让学生根据自己选择的模型进行求解，然后再根据所求结果与实际情况的差异进行评价．
3．由于实际问题常常涉及一些复杂数据，因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据，有条件的要用多媒体进行动态演示，以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解．
一、备选习题
1．下列函数中，图象的一部分如图6所示的是（ ）
图6
A．y＝sin（x＋
）B．y＝sin（2x－
）
C．y＝cos（4x－
）D．y＝cos（2x－
）
2.已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，|φ|＜π）的一段图象如图7所示，求函数的解析式．
图7
3．已知函数y＝Atan（ωx＋φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<
）的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为（
，0）和（
，0），且过点（0，－3），求此函数的解析式．
4．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s（厘米）和时间t（秒）的函数关系为s＝6sin（2πt＋
）．
（1）单摆开始摆动（t＝0）时，离开平衡位置多少厘米？
（2）单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？
（3）单摆来回摆动一次需要多少时间？
5．函数f（x）＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝kx有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
参考答案：
1．D
2．由图7，得A＝2，
＝
－（－
）＝
，
∴T＝π.∴ω＝2.∴y＝2sin（2x＋φ）．
又∵图象经过点（－
，2），∴2＝2sin（－
＋φ）．∴φ－
＝2kπ＋
（k∈Z）．
∴φ＝2kπ＋
.∴函数解析式为y＝2sin（2x＋
）．
3．∵T＝
＝
－
，∴ω＝
.
∵
×
＋φ＝0，且－3＝Atan（
×0＋φ），∴A＝3，φ＝－
.
故y＝3tan（
x－
）．
4．
（1）t＝0时，s＝3，即离开平衡位置3厘米；
（2）振幅为6，所以最右边离平衡位置6厘米；
（3）T＝1，即来回一次需要1秒钟．
5.将原函数化简为
f（x）＝sinx＋2|sinx|＝
由此可画出图8，
图8
由数形结合可知，k的取值范围为1＜k＜3.
二、数学与音乐
若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起．在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育课程之中．今天的新式计算机正在使这条纽带绵延不断．
乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域．在乐稿上，我们看到速度、节拍（4/4拍、3/4拍，等等）、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符，等等．书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应．作曲家创作的音乐是在书写出的乐谱的严密结构中非常美丽而又毫不费力地融为一体的．如果将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数．
除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、指数曲线、周期函数和计算机科学相联系．
毕达哥拉斯学派（公元前585～前400）是最先用比率将音乐与数学联系起来的．他们认识到拨动琴弦所产生的声音与琴弦长度有关，从而发现了和声与整数的关系．他们还发现谐声是由长度成整数比的同样绷紧的弦发出的——事实上被拨弦的每一和谐组合可表示成整数比．按整数比增加弦的长度，能产生整个音阶．例如，从产生音符C的弦开始，C的16/15长度给出B，C的6/5长度给出A，C的4/3长度给出G，C的3/2长度给出F，C的8/5长度给出E，C的16/9长度给出D，C的2/1长度给出低音C.
不管是弦乐器还是由空气柱发声的管乐器，它们的结构都反映出一条指数曲线的形状．
19世纪数学家约翰·傅里叶的工作使乐声性质的研究达到顶点．他证明所有乐声——器乐和声乐——都可用数学式来描述，这些数学式是简单的周期正弦函数的和．每一个声音有三个性质，即音高、音量和音质，将它与其他乐声区别开来．
傅里叶的发现使声音的这三个性质可以在图形上清楚地表示出来．音高与曲线的频率有关，音量和音质分别与周期函数的振幅和形状有关．
如果不了解音乐的数学，在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能有进展．数学发现，具体地说即周期函数，在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的．许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较．电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关．音乐家和数学家将继续在音乐的产生和复制方面发挥着同等重要的作用．
（设计者：
郑吉星）
第2课时
导入新课
思路1.（作业导入）学生搜集、归纳到的现实生活中的周期现象有：
物理情景的①简单和谐运动，②星体的环绕运动；地理情景的①气温变化规律，②月圆与月缺；心理、生理现象的①情绪的波动，②智力变化状况，③体力变化状况；日常生活现象的①涨潮与退潮，②股票变化等等．
思路2.（复习导入）回忆上节课三角函数模型的简单应用例子，这节课我们继续探究三角函数模型在日常生活中的一些简单应用．
推进新课
三角函数性质在生活中的应用．
本章章头引言告诉我们，海水在月球和太阳引力作用下发生周期性涨落现象．回忆上节课的内容，怎样用上节课的方法从数学的角度来定量地解决这个问题呢？
教师引导学生复习、回忆、理清思路，查看上节的课下作业．教师指导、适时设问，调动学生的学习气氛．
例1货船进出港时间问题：
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
0：
00
3：
00
6：
00
9：
00
12：
00
15：
00
18：
00
21：
00
24：
00
水深/米
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
7.5
5.0
2.5
5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）．
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
活动：
引导学生观察上述问题表格中的数据，会发现什么规律？
比如重复出现的几个数据．并进一步引导学生作出散点图．让学生自己完成散点图，提醒学生仔细、准确地观察散点图，如图9.
图9
教师引导学生根据散点的位置排列，思考可以用怎样的函数模型来刻画其中的规律．根据散点图中的最高点、最低点和平衡点，学生很容易确定选择三角函数模型．港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画．其中x是时间，y是水深，我们可以根据数据确定相应的A，ω，φ，h的值．这时注意引导学生与“五点法”相联系．要求学生独立操作完成，教师指导点拨，并纠正可能出现的错误，直至无误地求出解析式，进而根据所得的函数模型，求出整点时的水深．
根据学生所求得的函数模型，指导学生利用计算器进行计算求解．注意引导学生正确理解题意，一天中有两个时间段可以进港．这时点拨学生思考：
你所求出的进港时间是否符合时间情况？
如果不符合，应怎样修改？
让学生养成检验的良好习惯．
在本例的（3）中，应保持港口的水深不小于船的安全水深，那么如何刻画船的安全水深呢？
引导学生思考，怎样把此问题翻译成函数模型？
求货船停止卸货、将船驶向深水域的含义又是什么？
教师引导学生将实际问题的意义转化为数学解释，同时提醒学生注意货船的安全水深、港口的水深同时在变，停止卸货的时间应当在安全水深接近于港口水深的时候．
进一步引导学生思考：
根据问题的实际意义，货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货行吗？
为什么？
正确结论是什么？
可让学生思考、讨论后再由教师组织学生进行评价．通过讨论或争论，最后得出一致结论：
在货船的安全水深正好等于港口的水深时停止卸货将船驶向较深水域是不行的，因为这样不能保证货船有足够的时间发动螺旋桨．
解：
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图9）．
根据图象，可以考虑用函数y＝Asin（ωx＋φ）＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图象可以得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0，由T＝
＝12，得ω＝
.
所以这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sin（
x）＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
时刻
0：
00
1：
00
2：
00
3：
00
4：
00
5：
00
6：
00
7：
00
8：
00
9：
00
10：
00
11：
00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
时刻
12：
00
13：
00
14：
00
15：
00
16：
00
17：
00
18：
00
19：
00
20：
00
21：
00
22：
00
23：
00
水深
5.000
6.250
7.165
7.5
7.165
6.250
5.000
3.754
2.835
2.500
2.835
3.754
（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港．
令2.5sin（
x）＋5≥5.5，得sin
x≥0.2.
画出y＝sin（
x）的图象，由图象可得
0．4≤x≤5.6或12.4≤x≤17.6.
故该船在0：
24至5：
36和12：
24至17：
36期间可以进港．
图10
（3）设在时刻x货船的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一坐标系内作出这两个函数的图象，可以看到在6～7时之间两个函数图象有一个交点（如图11）．
图11
通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.2米，此时货船的安全水深约为4.1米；7时的水深约为3.8米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.7时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
点评：
本例是研究港口海水深度随时间呈周期性变化的问题，题目只给出了时间与水深的关系表，要想由此表直接得到函数模型是很困难的．对第
（2）问的解答，教师需要强调，建立数学模型解决实际问题，所得的模型是近似的，并且得到的解也是近似的．这就需要根据实际背景对问题的解进行具体的分析．如本例中，一天中有两个时间段可以进港，教师应引导学生根据问题的实际意义，对答案的合理性作出解释.
变式训练
发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t的函数，IA＝Isinωt，IB＝Isin（ωt＋120°），IC＝Isin（ωt＋240°），则IA＋IB＋IC＝__________.
答案：
0
例2已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0,0≤φ≤π）为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为
.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若sinx＋f（x）＝
，求sinxcosx的值．
解：
（1）∵f（x）为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即sin（－ωx＋φ）＝sin（ωx＋φ）．
∴φ＝
.∴f（x）＝sin（ωx＋
）＝cosωx.
相邻两点P（x0,1），Q（x0＋
，－1）．
由题意，|PQ|＝
＝
，解得ω＝1.
∴f（x）＝cosx.
（2）由sinx＋f（x）＝
，得sinx＋cosx＝
.
两边平方，得sinxcosx＝－
.
例3小明在直角坐标系中，用1cm代表一个单位长度作出了一条正弦曲线的图象．若他将纵坐标改用2cm代表一个单位长度，横坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式是什么？
若他将横坐标改用2cm代表一个单位长度，而纵坐标不变，那么他所作的曲线的函数解析式又是什么？
解：
小明原作的曲线为y＝sinx，x∈R，由于纵坐标改用了2cm代表一个单位长度，与原来1cm代表一个单位长度比较，单位长度增加到原来的2倍，所以原来的1cm只能代表
个单位长度了．由于横坐标没有改变，曲线形状没有变化，而原曲线图象的解析式变为y＝
sinx，x∈R.同理，若纵坐标保持不变，横坐标改用2cm代表一个单位长度，则横坐标被
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