高中数学 134《三角函数的应用》教案 苏教版必修4.docx

高中数学 134《三角函数的应用》教案 苏教版必修4.docx

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高中数学134《三角函数的应用》教案苏教版必修4

2019-2020年高中数学1.3.4《三角函数的应用》教案苏教版必修4

一、教学目标：

1.掌握用待定系数法求三角函数解析式的方法；

2.培养学生用已有的知识解决实际问题的能力；

3.能用计算机处理有关的近似计算问题.

二、重点难点：

重点是待定系数法求三角函数解析式;

难点是选择合理数学模型解决实际问题.

三、教学过程：

【创设情境】

三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用.

【自主学习探索研究】

1．学生自学完成P42例1

点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.

（1）求物体对平衡位置的位移x（cm）和时间t（s）之间的函数关系；

（2）求该物体在t=5s时的位置.

（教师进行适当的评析.并回答下列问题：

据物理常识，应选择怎样的函数式模拟物体的运动；怎样求ω和初相位θ；第二问中的“t=5s时的位置”与函数式有何关系？

）

2．讲解p43例2（题目加已改变）

2．讲析P44例3

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常的情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮是返回海洋.下面给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.

（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的近似数值.

（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？

在港口能呆多久？

（3）若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：

00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

问题：

（1）选择怎样的数学模型反映该实际问题？

（2）图表中的最大值与三角函数的哪个量有关？

（3）函数的周期为多少？

（4）“吃水深度”对应函数中的哪个字母？

3．学生完成课本P45的练习1，3并评析.

【提炼总结】

从以上问题可以发现三角函数知识在解决实际问题中有着十分广泛的应用，而待定系数法是三角函数中确定函数解析式最重要的方法.三角函数知识作为数学工具之一，在以后的学习中将经常有所涉及.学数学是为了用数学，通过学习我们逐步提高自己分析问题解决问题的能力.

四、布置作业：

P46习题1.3第14、15题

2019-2020年高中数学1.3.4三角函数的应用练习（含解析）苏教版必修4

情景：

如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m，风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t（s）后与地面的距离为h（m）．

思考：

你能求出函数h＝f（t）的关系式吗？

你能画出它的图象吗？

1．已知函数类型求解析式的方法是________．

答案：

待定系数法

2．在y＝Asin（ωx＋φ）的解析式确定中最关键是确定________，可通过________来确定．

答案：

ω　周期

3．三角函数平移变换改变图象的________，伸缩变换改变图象的________．

答案：

位置　形状

4．函数y＝f（x）与y＝f（|x|）图象关系是___________________________________________________________

__________________________________________________________.

答案：

y＝f（x）在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象，连同y＝f（x）在y轴右侧的图象在一起，即是y＝f（|x|）的图象（也包括与y轴的交点）

5．函数y＝f（x）与y＝|f（x）|图象关系是___________________________________________________________

__________________________________________________________.

答案：

y＝f（x）在x轴下方的图象关于x轴对称的图象，连同y＝f（x）在x轴上方的图象在一起，即是y＝|f（x）|的图象（包括图象与x轴交点）

6．三角函数可以作为描述现实世界中________现象的一种数学模型．

答案：

周期

7．y＝|sinx|是以________为周期的波浪型曲线．

答案：

π

8．在三角函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b，（A＞0，ω＞0）中，f（x）的最大值为M，最小值为m，则A＝________，b＝________，周期T＝________，φ的值要利用________求得．

答案：

　代点法

9．用数学知识研究生活中的数学问题，应首先采集________，然后根据数据作出________，通过计算归纳函数关系式，再去研究它的性质，解决实际问题时最容易忽视的是__________________________________________________________．

答案：

数据　分析　实际问题中自变量的取值范围

10．解三角函数的应用问题的基本步骤是________________________________________________________、

______________、______________．

　答案：

阅读理解，审清题意　收集整理数据，建立数学模型依据模型解答，求出结果　将所得结果转化成实际问题

三角函数模型的应用

三角函数的应用主要是其性质的应用，特别是三角函数周期性的应用，一些物理现象如单摆、匀速圆周运动等均用到三角函数的知识．

　建模的一般步骤

数学应用题一般文字叙述较长，反映的事件背景新颖，知识涉及面广，这就要求有较强的阅读理解能力、捕捉信息的能力、归纳抽象的能力．

解决此类函数应用题的基本步骤是：

第一步，阅读理解，审清题意，读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题．

第二步，根据所给模型，列出函数关系式．根据已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．

第三步，利用数学的方法将得到的常规函数问题（即数学模型）予以解答，求得结果．

第四步，再将所得结论转译成原有问题的解答．

1．如果音叉发出的声波可用f（x）＝0.002sin520πt描述，那么音叉声波的频率是________．

答案：

260

2．已知函数y＝2sinωx（ω＞0）的图象与直线y＋2＝0的相邻两个公共点之间的距离为

，则ω的值为________．

答案：

3

3．y＝|sin2x|的最小正周期是________．

答案：

4．下图是函数y＝2sin（ωx＋φ）

的图象，则ω＝________，φ＝________．

答案：

2　

5．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P（x，y）．若初始位置为P0

，当秒针从P0（注此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为________．

答案：

y＝sin

6．若函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的初相为

，且f（x）的图象过点P

，则函数f（x）的最小正周期的最大值为________．

答案：

7．（xx·湖北卷）某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－

cos

t－sin

t，t∈[0，24）．

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

解析：

（1）因为f（t）＝10－2

＝10－2sin

，又0≤t<24，

所以

≤

t＋

<

，－1≤sin

≤1.

当t＝2时，sin

＝1；

当t＝14时，sin

＝－1.

于是f（t）在[0，24）上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时实验室需要降温．

由

（1）得f（t）＝10－2sin

，

故有10－2sin

>11，

即sin

<－

.

又0≤t<24，因此

<

t＋

<

，

即10

故在10时至18时实验室需要降温．

8．关于x的方程sinωx＝cosωx在区间

上解的个数判断正确的是（　　）

A．只有一个解　　　　　　　B．至少有一个解

C．至少有两个解D．不一定有解

解析：

本题考查y＝Asin（ωx＋φ）与y＝Acos（ωx＋φ）的图象．由于y＝sinωx与y＝cosωx的周期是

，而区间

是半个周期的长度．y＝sinωx与y＝cosωx在半个周期内至少有一个交点，最多有两个交点．∴sinωx＝cosωx在

内至少有一个解．

答案：

B

9．方程sinx＝k在

上有两个不同解，则实数k的取值范围是________．

解析：

作出y＝sinx和y＝k在

上的图象，若两图象有两个交点，数形结合知

≤k＜1.

答案：

10．函数f（x）＝sinx＋2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．

解析：

y＝f（x）＝sinx＋2|sinx|

＝

在同一平面直角坐标系内画y＝f（x）与y＝k的图象，如图．

由图可知，当y＝f（x）与y＝k的图象有且仅有两个不同交点时，k的取值范围为1＜k＜3.

答案：

（1，3）

11．试结合图象判断方程sinx＝lgx的实根的个数．

解析：

在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sinx与函数y＝lgx的图象，如图所示，要求方程sinx＝lgx的实根个数，只需求函数y＝sinx与函数y＝lgx的图象的交点个数．由于函数y＝lgx的定义域为（0，＋∞），且x>10时有y>1，所以交点只可能在区间（0，10）内．从图象可以看出，这时它们有3个交点，即方程sinx＝lgx有3个实根．

12．函数y＝

，x∈（－π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（　　）

解析：

∵y＝

是偶函数，∴A可排除；

∵当x＝2时，y＝

>2，∴D可排除；

又∵当x＝

时，y＝

＝

>1，∴B可排除．故选C.

答案：

C

13．如下图所示，点P是半径为rcm的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度ωrad/s做圆周运动，求点P的纵坐标y关于时间t的函数关系，并求点的运动周期和频率．

答案：

y＝rsin（ωt＋φ）（t≥0），T＝

，f＝

14．下图为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ度角到OB，设B点与地面距离为h.

（1）求h与θ间关系的函数解析式；

（2）设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间的函数解析式．

解析：

（1）如图，过点O作地面的平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.

当θ＞

时，∠BOM＝θ－

.

h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sin

.

当0≤θ≤

时，上述关系式也适合．

∴h＝5.6＋4.8sin

.

（2）点A在⊙O上逆时针运动的角速度是

rad/s.

∴t秒转过的弧度数为

t.

∴h＝4.8sin

＋5.6，t∈[0，＋∞）．

15．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价为8千元，7月份达到最低价为4千元，该商品每件的售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）＝f（x－2）＋2.

（1）分别写出该商品每件的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；

（2）问哪几个月能盈利？

解析：

（1）f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B，由题意，可得A＝2，B＝6，ω＝

，φ＝－

，

∴f（x）＝2sin

＋6，1≤x≤12且x∈N*，

g（x）＝2sin

＋8，1≤x≤12且x∈N*.

（2）由g（x）>f（x），得sin

x<

.

2kπ＋

π<

x<2kπ＋

π，k∈Z，

∴8k＋3

∵1≤x≤12，k∈Z，∴当k＝0时，3

∴x＝4，5，6，7，8.

当k＝1时，11

∴x＝4，5，6，7，8，12，故4，5，6，7，8，12月份能盈利．

16．以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：

该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元；而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．假设某商店每月购进这种商品m件且当月能售完，请估计哪个月盈利最大，并说明理由．

解析：

设x为月份，则由条件可得出厂价格函数为

y1＝2sin

＋6，x∈[1，12]且x∈N*，

销售价格函数为y2＝2sin

＋8，

则利润函数

y＝m（y2－y1）

＝m

＝m

，

所以，当x＝6时，y＝（2＋2

）m，即6月份盈利最大．