北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(解析).doc
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2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
5．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）
A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元
7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（ ）
A．2 B．3 C． D．
8．设直线l：
3x+4y+a=0，圆C：
（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣18，6] B．[6﹣5，6+5] C．[﹣16，4] D．[﹣6﹣5，﹣6+5]
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．在二项式的展开式中，常数项等于______．
10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是______．
11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为______．
12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为______；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为______．
13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则=______；AE=______．
14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有______部优秀影片．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．
（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的定义域和值域．
16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：
小时）分为5组：
[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．
（1）求证：
DG⊥EF；
（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；
（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．
18．设a∈R，函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．
19．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．
20．已知任意的正整数n都可唯一表示为n=a0•2k+a+…+a+ak•20，其中a0=1，a1，a2，…，ak∈{0，1}，k∈N．
对于n∈N*，数列{bn}满足：
当a0，a1，…，ak中有偶数个1时，bn=0；否则bn=1，如数5可以唯一表示为5=1×22+0×21+1×20，则b5=0．
（1）写出数列{bn}的前8项；
（2）求证：
数列{bn}中连续为1的项不超过2项；
（3）记数列{bn}的前n项和为Sn，求满足Sn=1026的所有n的值．（结论不要求证明）
2016年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．设全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x＜1}，则集合（∁UA）∩B=（ ）
A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据全集U=R求出A的补集，再求A的补集与B的交集即可．
【解答】解：
∵全集U=R，集合A={x|0＜x＜2}=（0，2），
B={x|x＜1}=（﹣∞，1），
∴∁UA=（﹣∞，0]∪[2，+∞）；
∴（∁UA）∩B=（﹣∞，0]．
故选：
B．
2．若复数z满足z+z•i=2+3i，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】由z+z•i=2+3i，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出在复平面内z对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：
由z+z•i=2+3i，
得=，
则在复平面内z对应的点的坐标为：
（，），位于第一象限．
故选：
A．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B）=，a=3，c=4，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦定理．
【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）=sinC=，再利用正弦定理求解．
【解答】解：
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC=，
又∵a=3，c=4，
∴=，
即=，
∴sinA=，
故选B．
4．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A．2 B． C．3 D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、判断出位置关系，由直观图求出该四棱锥最长棱的棱长．
【解答】解：
根据三视图可知几何体是一个四棱锥，
底面是一个直角梯形，AD⊥AB、AD∥BC，AD=AB=2、BC=1，
PA⊥底面ABCD，且PA=2，
∴该四棱锥最长棱的棱长为PC===3，
故选：
C．
5．“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由a，b，c，d成等差数列，可得：
a+d=b+c，反之不成立：
例如a=0，d=5，b=1，c=4．即可判断出结论．
【解答】解：
由a，b，c，d成等差数列，可得：
a+d=b+c，反之不成立：
例如a=0，d=5，b=1，c=4．
∴“a，b，c，d成等差数列”是“a+d=b+c”的充分不必要条件．
故选：
A．
6．某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费f（x）（元）满足关系f（x）=，已知某家庭今年前三个月的煤气费如表
月份
用气量
煤气费
一月份
4m3
4元
二月份
25m3
14元
三月份
35m3
19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（ ）
A．11.5元 B．11元 C．10.5元 D．10元
【考点】函数的值．
【分析】根据待定系数法求出A、B、C的值，求出f（x）的表达式，从而求出f（20）的值即可．
【解答】解：
由题意得：
C=4，
将（25，14），（35，19）代入f（x）=4+B（x﹣A），得：
，解得，
∴f（x）=，
故x=20时：
f（20）=11.5，
故选：
A．
7．如图，点A，B在函数y=log2x+2的图象上，点C在函数y=log2x的图象上，若△ABC为等边三角形，且直线BC∥y轴，设点A的坐标为（m，n），则m=（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】根据题意，设出A、B、C的坐标，由线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，得出AB、AC与BC的关系，求出m、n的值，计算出结果．
【解答】解：
根据题意，设B（x0，2+log2x0），A（m，n），C（x0，log2x0），
∵线段BC∥y轴，△ABC是等边三角形，
∴BC=2，2+log2m=n，
∴m=2n﹣2，∴4m=2n；
又x0﹣m=，
∴m=x0﹣，
∴x0=m+；
又2+log2x0﹣n=1，
∴log2x0=n﹣1，x0=2n﹣1；
∴m+=2n﹣1；2m+2=2n=4m，
∴m=，
故选：
D．
8．设直线l：
3x+4y+a=0，圆C：
（x﹣2）2+y2=2，若在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣18，6] B．[6﹣5，6+5] C．[﹣16，4] D．[﹣6﹣5，﹣6+5]
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由切线的对称性和圆的知识将问题转化为C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，再由点到直线的距离公式得到关于a的不等式求解．
【解答】解：
圆C：
（x﹣2）2+y2=2，圆心为：
（2，0），半径为，
∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，
∴在直线l上存在一点M，使得M到C（2，0）的距离等于2，
∴只需C（2，0）到直线l的距离小于或等于2，
故≤2，解得﹣16≤a≤4，
故选：
C．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．在二项式的展开式中，常数项等于 160 ．
【考点】二项式定理．
【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求
【解答】解：
展开式的通项为=
令6﹣2r=0可得r=3
常数项为=160
故答案为：
160
10．设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最大值是 ．
【考点】简单线性规划．
【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z的最大值即可．
【解答】解：
画出满足条件的平面区域，如图示：
由，解得A（，），
由z=x+3y得：
y=﹣x+，
显然直线过A时，z最大，z的最大值是z=+3×=，
故答案为：
．
11．执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ．
【考点】程序框图．
【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果．
【解答】解：
模拟执行程序，可得
i=2，S=1
S=，i=3
满足条件i＜10，执行循环体，i=5，S==，i=6
满足条件i＜10，执行循环体，i=11，S=×=，i=12
不满足条件i＜10，退出循环，输出S的值为．
故答案为：
．
12．设双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，则其离心率为 ；若点（4，2）在C上，则双曲线C的方程为 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线渐近线和a，b的关系建立方程进行求解即可求出离心率的大小，利用待定系数法求λ，即可得到结论．
【解答】解：
∵双曲线C的焦点在x轴上，渐近线方程为y=x，
∴=，即==e2﹣1=，
则e2=，则e=，
设双曲线方程为﹣y2=λ，λ＞0，
∵若点（4，2）在C上，
∴λ==8﹣4=4，
即双曲线方程为﹣y2=4，
即，
故答案为：
13．如图，△ABC为圆内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC，过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F，若AB=AC=4，BD=5，则= ；AE= 6 ．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】利用平行线的性质，求出；利用弦切角定理、切割线定理，求AE．
【解答】解：
∵BD∥AC，AC=4，BD=5
∴==．
由弦切角定理得∠EAB=∠ACB，又因为，AB=AC，所以∠EAB=∠ABC，
所以直线AE∥直线BC，又因为AC∥BE，所以是平行四边形．
所以BE=AC=4．
由切割线定理，可得AE2=EB•ED=4×（4+5）=36，
所以AE=6．
故答案为：
；6．
14．在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优．若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影，已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此部电影为优秀影片，那么在这10部微电影中，最多可能有 10 部优秀影片．
【考点】进行简单的合情推理．
【分析】记这10部微电影为A1﹣A10，设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部，以此类推可知：
这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．
【解答】解：
记这10部微电影为A1﹣A10，
设这10部微电影为先退到两部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量，且A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有2部；
再考虑3部电影的情形，若A1的点播量＞A2的点播量＞A3的点播量，且A3的专家评分＞A2的专家评分＞A1的专家评分，则优秀影片最多可能有3部．
以此类推可知：
这10部微电影中，优秀影片最多可能有10部．
故答案为：
10．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．已知函数f（x）=（1+tanx）cos2x．
（1）若α为第二象限角，且sina=，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的定义域和值域．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域．
【分析】
（1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．
（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域．
【解答】解：
（1）∵α为第二象限角，且sina=，
∴cosα=﹣，
∴tanα=﹣，
∴f（α）=（1+tanα）cos2α=
（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，
化简f（x）=sin（2x+）+，
∵x≠kπ+，k∈Z
∴2x+≠2kπ+，k∈Z
∴﹣1≤sin（2x+）≤1
∴﹣≤f（x）≤
∴f（x）的值域为[﹣，]
16．某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分成抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：
小时）分为5组：
[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）写出a的值；
（2）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；
（3）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取3人，并用X表示其中初中生的人数，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】
（1）根据频率频率直方图的性质，可求得a的值；
（2）由分层抽样，求得初中生有60名，高中有40名，分别求得初高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率及人数，求和；
（3）分别求得，初高中生中阅读时间不足10个小时的学生人数，写出X的取值及概率，写出分布列和数学期望．
【解答】解：
（1）由频率直方图的性质，（0.005+0.02+a+0.04+0.005）×10=1，
a=0.03，
（2）由分层抽样可知：
抽取的初中生有60名，高中有40名，
∵初中生中，阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.25，
∴所有的初中生阅读时间不小于30小时的学生约有0.25×1800=450人，
同理，高中生阅读时间不小于30小时的学生的频率为（0.03+0.005）×10=0.035，
学生人数约为0.35×1200=420人，
所有的学生阅读时间不小于30小时的学生约有450+420=870，
（3）初中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10=0.05，样本人数为0.05×60=3人，
同理，高中生中阅读时间不足10个小时的学生的频率为0.005×10×40=2，
故X的可能取值为：
1，2，3，
P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，
∴X的分布列为：
X
1
2
3
P
∴E（X）=1×+2×+3×=．
17．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点，将正方形ABCD沿着线段EF折起，使得∠DFA=60°，设G为AF的中点．
（1）求证：
DG⊥EF；
（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；
（3）设P，Q分别为线段DG，CF上一点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ长度的最小值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．
【分析】
（1）由矩形性质得出EF⊥DF，EF⊥AF，故EF⊥平面AFD，得出EF⊥DG；
（2）证明DG⊥平面ABEF，以G为原点建立空间直角坐标系，求出和平面BCF的法向量的坐标，则GA与平面BCF所成角的正弦值为|cos＜＞|；
（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），求出的坐标，令=0得出k与λ的关系，得出||关于λ的函数，根据λ的范围求出函数的最小值．
【解答】
（1）证明：
∵E，F分别正方形ABCD的边BC，DA的中点，
∴EF⊥DF，EF⊥AF，
又DF⊂平面ADF，AF⊂平面ADF，DF∩AF=F，
∴EF⊥平面ADF，
∵DG⊂平面ADF，
∴DG⊥EF．
（2）∵DF=AF，∠DFA=60°，
∴△ADF是等边三角形，
∵G是AF的中点，∴DG⊥AF．
又EF⊥DG，EF，AF⊂平面ABEF，AF∩EF=F，
∴DG⊥平面ABEF．
设BE中点为H，连结GH，则GA，GD，GH两两垂直，
以G为原点，以GA，GH，GD为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0）．C（0，4，），F（﹣1，0，0）．
∴=（1，0，0），=（﹣1，0，），=（﹣2，﹣4，0）．
设平面BCF的法向量为=（x，y，z），则，
∴，令z=2得=（2，﹣，2）．
∴=2，||=，||=1．
∴cos＜，＞==．
∴直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．
（3）设P（0，0，k）（0≤k≤），=λ（0≤λ≤1），
则=（1，0，k），=（1，4，），∴=（λ，4λ，λ），
∴=（λ﹣1，4λ，λ﹣k）．
∵DG⊥平面ABEF，∴=（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．
∵PQ∥平面ABEF，∴，∴=（）=0，
∴k=．
∴||===．
∴当λ=时，||取得最小值．
18．设a∈R，函数f（x）=．
（1）若函数f（x）在（0，f（0））处的切线与直线y=3x﹣2平行，求a的值；
（2）若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），求a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】
（1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得a的值；
（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，讨论a=0，a＞0，a＜0，求得单调区间和极值，即可得到a的范围．
【解答】解：
（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，x≠﹣a，
可得函数f（x）在（0，f（0））处的切线斜率为，
由题意可得=3，解得a=±1；
（2）对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f（x2）＜f（x1），
即为f（x）在x≠﹣a不存在最小值，
①a=0时，f（x）=无最小值，显然成立；
②a＞0时，f（x）的导数为f′（x）=，
可得f（x）在（﹣∞，﹣a）递减；在（﹣a，3a）递增，在（3a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极大值，
当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．取x1＜a，x2≠﹣a即可，
当x1＜﹣a时，f（x）在（﹣∞，﹣a）递减，且x1＜x1+|x1+a|＜﹣a，
f（x1）＞f（x1+|x1+a|），故存在x2=x1+|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）；
同理当﹣a＜x1＜a时，令x2=x1﹣|x1+a|，使得f（x2）＜f（x1）也符合；
则有当a＞0时，f（x2）＜f（x1）成立；
③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，3a）递减；在（3a，a）递增，在（﹣a，+∞）递减，
即有f（x）在x=3a处取得极小值，
当x＞a时，f（x）＞0；x＜a时，f（x）＜0．
f（x）min=f（3a），当x1=3a时，不存在x2，使得f（x2）＜f（x1）．
综上可得，a的范围是[0，+∞）．
19．已知椭圆C：
+=1（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形，且其周长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点B（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点B关于原点的对称点为D，若点D总在以线段EF为直径的圆内，求m的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】
（1）由题意列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=0，|EF|=2，点B在椭圆内，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出m的取值范围．
【解答】解：
（1）由题意，得，
又∵a2=b2+c2，解得a=，b=1，c=1，
∴椭圆C的方程为．
（2）当直线l的斜率不存在时，由题意知l的方程为x=0，
此时，E，F为椭圆的上下顶点，且|EF|=2，
∵点D总在以线段EF为直径的圆内，且m＞0，
∴0＜m＜1，∴点
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