又∵原不等式组恰有2个整数解，∴x=0，1。
∴1<2a≤2，解得
。
2.如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE，点B，E在C，D的同侧，若AB=
，求BE的长。
【答案】解；因为△ABD和△CDE都是等边三角形，
所以AD=BD，CD=DE，∠ADB=∠CDE=60°.
所以∠ADB-∠CDB=∠CDE-∠CDB，即∠ADC=∠BDE。
在△ADC和△BDE中，因为AD=BD，CD=DE，∠ADC=∠BDE，
所以△ADC≌△BDE，所以AC=BE.
在等腰Rt△ABC中，因为AB=√2，所以AC=BC=1，故BE=1.
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E。
（1）求证；△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长。
【答案】
（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAE，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中：
∠CAD=∠DAE，∠C=∠DEA=90°，AD=AD。
∴Rt△ACD≌Rt△AED（AAS）
（2）∵DC=DE=1，DE⊥AB，∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，∴BD=2DE=2
4.在△ABC中，∠ACB=2∠B，如图①，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE=AC，连结DE，易证AB=AC+CD。
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系?
不需要证明，请直接写出你的猜想。
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB，AC，CD又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明。
【答案】
（1）猜想：
AB=AC+CD.
证明：
如图②，在AB上截取AE=AC，连结DE，∵AD为△ABC的角平分线时，
∴∠BAD=∠CAD，∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，
∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB，∴EB=ED，∴EB=CD，
∴AB=AE+DE=AC+CD.
（2）猜想：
AB+AC=CD.
证明：
在BA的延长线上截取AE=AC，连结ED.
∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD.
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，
∴△EAD≌△CAD.∴ED=CD，∠AED=∠ACD.∴∠FED=∠ACB.
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B十∠EDB，∠EDB=∠B.∴EB=ED.
∴EA+AB=EB=ED=CD.∴AC+AB=CD.
5.某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：
A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元.
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨?
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费?
【答案】
（1）解：
设A种货物运输了x吨，设A种货物运输了y吨，依题意得：
（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330-a）吨，设获得的利润为W元，依题意得：
a≤（330-a）×2①，W=70a+40（330-a）=30a+13320②，由①得a≤220，由②可知W随着a的增大而增大，
故W取最大值时a=220，即W=19800元.
6.如图，已知：
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F.
（1）当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF（如图1）；
（2）如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：
EF=BE-CF；
（3）如图3，当EF与斜边BC这样相交时，猜想EF、BE、CF之间的关系，不必证明.
【答案】
（1）证明：
∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC，∠EBA=∠FAC，AB=AC，
∴△ABE≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF，∴EF=EA+AF=BE十CF.
（2）证明：
∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，∠EBA=∠FAC，∠BEA=∠CFA，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=AF，∵EF=AF+AE，∴EF=BE+CF.
（3）EF=CF-BE，理由是：
∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA==∠CFA=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，∠EBA=∠FAC，∠BEA=∠CFA，AB=AC，
∴△BEA≌△AFC，∴EA=FC，BE=CF.∵EF=EA-AF，∴EF=CF-BE.
7.已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB，AC，BC的距离分别是h1，h2，h3，△ABC的高为h，若点P在一边BC上（图1），此时h3=0，可得结论h1+h2+h3=h，请你探索以下问题：
当点P在△ABC内（图2）和点P在△ABC外（图3）这两种情况时，h1，h2，h3与h之间有怎样的关系，请写出你的猜想，并简要说明理由.
【答案】当点P在△ABC内（图2）时，h1+h2+h3=h；
当点P在△ABC外（图3）时，h1+h2-h3=h.
理由分别如下：
当点P在△ABC内（图2）时，连接AP、BP、CP，
则
即
又∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AC，
∴h1+h2+h3=h即h1+h2+h3=h；
当点P在△ABC外（图3）时，连接PB，PC，PA，由三角形的面积公式
得：
即
又∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC，∴h1+h2-h3=h，即h1+h2-h3=h.
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