苏科版七年级数学下册 95 多项式的因式分解同步习题包含答案解析.docx
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苏科版七年级数学下册95多项式的因式分解同步习题包含答案解析
9.5多项式的因式分解
一．选择题（共18小题）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a（x2﹣1）
2．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（ ）
A．392B．402C．412D．422
3．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（ ）
A．m=6B．n=1C．p=﹣2D．mnp=3
4．把8m2n﹣2mn分解因式（ ）
A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）
5．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定
6．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3=（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣xy+y2=（x﹣y）2D．2x﹣2y=2（x﹣y）
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：
华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（ ）
A．x2﹣4B．x2+2xC．x2﹣4x+4D．（x+3）2﹣2（x+3）+1
二．填空题
9．若a+b=﹣2，a﹣b=4，则a2﹣b2= ．
10．在实数范围内分解因式：
x2﹣3y2= ．
11．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．
12．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ．
13．化简：
a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99= ．
14．分解因式：
3ax2﹣6axy+3ay2= ．
15．分解因式：
9﹣6y﹣x2+y2= ．
三．解答题
16．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证
（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？
请写出理由．
17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：
n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：
F（n）=
．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=
．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：
对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在
（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
18．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：
1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：
1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？
并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
19．代数基本定理告诉我们对于形如xn+
+…+an﹣1x+an=0（其中a1，a2，…an为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2=0的整数根只可能为±1，±2代入检验得x=1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：
（x﹣1）（x2+9x﹣2）=0，进而可求得方程的所有解．根据以上阅读材料请你解方程：
x3+x2﹣11x﹣3=0．
20．已知a，b，c，d是四个不同的实数，且（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，求（b+d）（c+d）的值．
参考答案与解析
一．选择题（共18小题）
1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1=（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2C．x2+4x+4=（x+2）2D．ax2﹣a=a（x2﹣1）
【分析】根据因式分解的意义即可求出答案．
【解答】解：
（A）x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故A不是因式分解，
（B）a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故B不是因式分解，
（D）ax2﹣a=a（x2﹣1）=a（x+1）（x﹣1），故D分解不完全，
故选：
C．
【点评】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的意义，本题属于基础题型．
2．若a，b为两质数且相差2，则ab+1之值可能为下列何者（ ）
A．392B．402C．412D．422
【分析】根据选项的数值，得到ab+1的值，进一步根据平方差公式得到ab的乘积形式，再根据质数的定义即可求解．
【解答】解：
A、当ab+1=392时，ab=392﹣1=40×38，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；
B、当ab+1=402时，ab=402﹣1=41×39，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；
C、当ab+1=412时，ab=412﹣1=42×40，与a，b为两质数且相差2不符合，故本选项错误；
D、当ab+1=422时，ab=422﹣1=43×41，正好与a，b为两质数且相差2符合，故本选项正确，
故选：
D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，质数的定义，解答此类题目的关键是得到ab是哪两个相差为2的数的积．
3．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（ ）
A．m=6B．n=1C．p=﹣2D．mnp=3
【分析】直接利用多项式乘法运算法则得出p的值，进而得出n的值．
【解答】解：
∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），
∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，
∴p=﹣1，3p+2=﹣n，
解得：
n=1．
故选：
B．
【点评】此题考查了因式分解的意义；关键是根据因式分解的意义求出p的值，是一道基础题．
4．把8m2n﹣2mn分解因式（ ）
A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）
【分析】直接找出公因式进而提取得出答案．
【解答】解：
8m2n﹣2mn=2mn（4m﹣1）．
故选：
D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
5．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（ ）
A．大于零B．小于零C．等于零D．不能确定
【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
【解答】解：
∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．
6．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+2x+3=（x+1）2+2B．（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2
C．x2﹣xy+y2=（x﹣y）2D．2x﹣2y=2（x﹣y）
【分析】根据把多项式写成几个整式积的形式叫做分解因式对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：
A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、是多项式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；
C、应为x2﹣2xy+y2=（x﹣y）2，故本选项错误；
D、2x﹣2y=2（x﹣y）是因式分解，故本选项正确．
故选：
D．
【点评】本题考查了因式分解的意义，熟记概念是解题的关键．
7．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：
a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：
华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美B．中华游C．爱我中华D．美我中华
【分析】将原式进行因式分解即可求出答案．
【解答】解：
原式=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）
由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”
故选：
C．
【点评】本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力．
8．将下列多项式因式分解，结果中不含有x+2因式的是（ ）
A．x2﹣4B．x2+2xC．x2﹣4x+4D．（x+3）2﹣2（x+3）+1
【分析】分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．
【解答】解：
A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2），含有x+2因式，不合题意；
B、x2+2x=x（x+2），含有x+2因式，不合题意；
C、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，不含有x+2因式，符合题意；
D、（x+3）2﹣2（x+3）+1=（x+3﹣1）2=（x+2）2，含有x+2因式，不合题意；
故选：
C．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
二．填空题
9．若a+b=﹣2，a﹣b=4，则a2﹣b2= ﹣8 ．
【分析】原式利用平方差公式分解后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：
∵a+b=﹣2，a﹣b=4，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=﹣8．
故答案为：
﹣8．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．在实数范围内分解因式：
x2﹣3y2= （x+
y）（x﹣
y） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：
原式=（x+
y）（x﹣
y）．
故答案是：
（x+
y）（x﹣
y）．
【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
11．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 ．
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
【解答】解：
∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），
=0+0，
=0．
故答案是：
0．
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
12．若x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），则m+n的值为 ﹣1 ．
【分析】先把（x+2）（x﹣1）展开，求得m，n的值，再求m+n的值即可．
【解答】解：
∵x2+mx+n分解因式的结果是（x+2）（x﹣1），
∴x2+mx+n=x2+x﹣2，
∴m=1，n=﹣2，
∴m+n=1﹣2=﹣1，
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，求得m，n的值是解题的关键．
13．化简：
a+1+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）99= （a+1）100 ．
【分析】原式提取公因式，计算即可得到结果．
【解答】解：
原式=（a+1）[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）98]
=（a+1）2[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）97]
=（a+1）3[1+a+a（a+1）+a（a+1）2+…+a（a+1）96]
=…
=（a+1）100．
故答案为：
（a+1）100．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．
14．分解因式：
3ax2﹣6axy+3ay2= 3a（x﹣y）2 ．
【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
3ax2﹣6axy+3ay2，
=3a（x2﹣2xy+y2），
=3a（x﹣y）2，
故答案为：
3a（x﹣y）2．
【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
15．分解因式：
9﹣6y﹣x2+y2= （3﹣y+x）（3﹣y﹣x） ．
【分析】首先分组进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式即可．
【解答】解：
9﹣6y+y2﹣x2
=（3﹣y）2﹣x2
=（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．
故答案为：
（3﹣y+x）（3﹣y﹣x）．
【点评】此题主要考查了利用公式法分解因式，正确分组是解题关键．
三．解答题
16．发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证
（1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？
请写出理由．
【分析】验证
（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：
设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：
发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证
（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：
（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：
（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
17．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：
n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：
F（n）=
．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=
．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：
对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在
（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【分析】
（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：
（1）证明：
对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）=
=1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：
15，26，37，48，59；
（3）F（15）=
，F（26）=
，F（37）=
，F（48）=
=
，F（59）=
，
∵
＞
＞
＞
＞
，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为
．
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“吉祥数”的定义是解本题的关键．
18．如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：
1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：
1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．
（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？
并说明理由；
（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．
【分析】
（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：
，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则
=
=
=91a+10b为正整数，易证得任意四位“和谐数”都可以被11整除；
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：
，则
=
=
=9x+y+
为正整数．故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．
【解答】解：
（1）四位“和谐数”：
1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）
任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：
设任意四位“和谐数”形式为：
，则满足：
最高位到个位排列：
a，b，c，d．
个位到最高位排列：
d，c，b，a．
由题意，可得两组数据相同，则：
a=d，b=c，
则
=
=
=91a+10b为正整数．
∴四位“和谐数”能被11整数，
又∵a，b，c，d为任意自然数，
∴任意四位“和谐数”都可以被11整除；
（2）设能被11整除的三位“和谐数”为：
，则满足：
个位到最高位排列：
x，y，z．
最高位到个位排列：
z，y，x．
由题意，两组数据相同，则：
x=z，
故
=
=101x+10y，
故
=
=
=9x+y+
为正整数．
故y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．
【点评】本题考查了因式分解的应用．解题的关键是弄清楚“和谐数”的定义，从而写出符合题意的数．
19．代数基本定理告诉我们对于形如xn+
+…+an﹣1x+an=0（其中a1，a2，…an为整数）这样的方程，如果有整数根的话，那么整数根必定是an的约数．例如方程x3+8x2﹣11x+2=0的整数根只可能为±1，±2代入检验得x=1时等式成立．故x3+8x2﹣11x+2含有因式x﹣1，所以原方程可转化为：
（x﹣1）（x2+9x﹣2）=0，进而可求得方程的所有解．根据以上阅读材料请你解方程：
x3+x2﹣11x﹣3=0．
【分析】把x=±1，±3代入方程进行验证得到x=3符合题意，故x3+x2﹣11x﹣3=0含有因式（x﹣3），由此进行因式分解即可
【解答】解：
取x=±1，±3代入方程，得x=3适合方程，则
原方程可以分解为：
（x﹣3）（x3+4x+1）=0，
解得x=3或x=﹣2+
．
【点评】本题考查了因式分解的意义．因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
20．已知a，b，c，d是四个不同的实数，且（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，求（b+d）（c+d）的值．
【分析】先将原式条件变形为：
b2+（a+d）b+ad=1①，c2+（a+d）c+ad=1②，再由①﹣②可以得到b2﹣c2+（b﹣c）（a+d）=0，就可以求出b+c+a+d=0，得到a+b=﹣（c+d）代入（b+d）（b+a）=1就可以求出结论．
【解答】解：
∵（b+d）（b+a）=1，（c+d）（c+a）=1，
∴b2+（a+d）b+ad=1①c2+（a+d）c+ad=1②，
由①﹣②，得
b2﹣c2+（b﹣c）（a+d）=0，
∴（b+c）（b﹣c）+（b﹣c）（a+d）=0，
∴（b﹣c）（b+c+a+d）=0，
∵a，b，c，d是四个不同的实数，
∵b≠c，
∴b+c+a+d=0，
∴a+b=﹣（c+d），
∵（b+d）（b+a）=1
∴（b+d）•[﹣（c+d）]=1，
∴（b+d）（c+d）=﹣1
【点评】本题考查了因式分解在整式的求值中的运用，本题涉及了等式的恒等变形，提公因式的法的运用及数学的整体思想．
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