新苏科版七年级数学下册《整式乘法与因式分解》复习教案.docx

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新苏科版七年级数学下册《整式乘法与因式分解》复习教案

第九章整式乘法与因式分解

单元总结归纳

一、本章的知识框图

二、重点、难点突破

重点：

（一）单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

（二）单项式乘以多项式

1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad.

2.其几何意义为：

3.单项式与多项式相乘的步骤：

（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；

（2）进行单项式的乘法运算.

（三）多项式乘以多项式

1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

2.其几何意义为：

3.多项式与多项式相乘的步骤：

（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；

（2）把所得的积相加.

（四）乘法公式

1.完全平方式公式：

（a±b）2=a2±2ab+b2.

（1）特征：

完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.

（2）语言叙述：

两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；

两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差

（3）几何意义：

（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b2

2.平方差公式：

（a+b）（a-b）=a2-b2.

（1）特征：

公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

（2）语言叙述：

两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.

（3）几何意义：

（五）因式分解

（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：

把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解.它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.

（2）提公式法分解因式：

提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；

提公因式分解因式的步骤是：

a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；

提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.

（3）公式法分解因式：

平方差公式分解因式：

a2－b2=（a+b）（a－b），两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.

完全平方公式分解因式：

a2±2ab＋b2＝（a±b）2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.

难点：

1.单项式与单项式相乘，应注意：

（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；

（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；

（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；

（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；

（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；

（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.

2.单项式与多项式相乘应注意：

（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：

先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；

（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果

有同类项的要进行合并.

3.多项式乘以多项式应注意：

（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；

（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；

（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.

4.乘法公式

（1）运用完全平方公式时应注意：

明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.

（2）运用平方差公式时应注意：

首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数（项）的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化

（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.

5.因式分解

（1）对因式分解结果的约定：

a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.

（2）用提公因式法分解因式应注意：

a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.

（3）使用公式法分解因式：

如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.

（4）综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意:

1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解;

2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止;

3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.

即：

“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.

整合拓展创新

类型之一、

基本概念型

例1下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？

（1）8a2b3c=2a2b·2b3·2c

（2）3a2+6a=3a（a+2）

（3）x2－

=（x+

）（x－

）

（4）x2－4+3x=（x+2）（x－2）+3x

（5）ma+mb+na+nb=m（a+b）+n（a+

b）

（6）（2a+5b）（2a－5b）=4a2－25b2

【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.

解：

（2）是因式分解，（6）是整式乘法.

【点评】本题旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识.

变式题下列变形中，因式分解对不对？

为什么？

（1）x2y－xy2=xy（x－y）

（2）a3－2ab+ab2=a（a－b）2=a（a2－2ab+b2）

（3）62ab－4ab2+2ab=2ab（3a－2b）

（4）4a2－100=（2a+10）（2a－10）

（5）a2－b2=（a－b）2

提示：

第

（2）题提取公因式a后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.

解：

只有

（1）是正确的.

【说明】此题旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是

（2）中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意.

类型之二、基本运算型

1.整式乘法的运算

例2先规定一种运算：

a＊b=a

b+a-b，其中a、b为有理数，则a＊b+（b-a）＊b等于（）

A.a2-b；B.b2-b；C.b2；D.b2-a.

【思路分析】在（b-a）＊b中，把（b-a）看作是规定运算中的a，展成一般形式后用整式的乘法进行运算.

解：

a＊b+（b-a）＊b=ab+a-b+[（b-a）b+（b-a）-b]=ab+a-b+[b2-ab+b-a-b]=ab+a-b+b2-ab-a=b2-b.选B.

【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键.

变式题已知：

A=2x2+3xy-y2，B=-

xy，C=

x3y3-

x2y4.求：

2AB2-C.

提示：

直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项.

解：

2AB2-C=2（2x2+3xy-y2）（-

xy）2-（

x3y3-

x2y4）

=（4x2+6xy-2y2）（

x2y2）-

x3y3+

x2y4

=x4y2+

x3y3-

x2y4-

x3y3+

x2y4

=x4y2+

x3y3-

x2y4.

例3计算：

（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2；

（2）[（4xn+1-

y）2+4y（xn-

）]÷8x2.

【思路分析】利用乘法公式展开后计算.

解：

（1）原式=3（m2+2m+1）-5（m2-1）+2（m2-2m+1）

=3m2+6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10；

（2）原式=（16x2n+2-4xn+1y+

y2+4xny-

y2）÷8x2

=（16x2n+2-4xn+1y+4xny）÷8x2

=2x2n-

xn-1y+

xn-2y.

【点评】在整式的运算中，为了运算简捷，要尽量利用乘法公式计算，混合运算要注意运算顺序.尽管

（2）中出现了多项式除以单项式运算，但应用倒数可将除法转化为乘法运算，即（m+n）÷a=（m+n）×

=m×

+n×

=m÷a+n÷a.可见掌握转化思想，可以探索新知识，解决新问题.

变式题计算：

（1）（a+b+c-d）（a-b+c+d）；

（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.

提示：

（1）建立平方差公式的模型后求解；

（2）将（x+1）与（x+4），（x+2）与（x+3）先分别相乘.

解：

（1）观察运算符号，两多项式中a、c符号相同，b、d符号相反，因此可以把a、c结合在一起，看成一项，把b、d结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.

原式=[（a+c）+（b-d）][（a+c）-（b-d）]=（a+c）2-（b-d）2=a2+2ac+c2-b2+2bd-d2；

（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x2+5x，再视其为整体进行运算.

原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=[x2+5x+4][x2+5x+6]=[（x2+5x）+4][（x2+5x）+6]=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24=x4+10x3+35x2+50x+24.

2.因式分解

例4

（1）分解因式:

2x2-18=;

（2）分解因式:

a3-2a2b+ab2=;

（3）分解因式:

x2-y2+ax+ay=.

【思路分析】

（1）

（2）先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.

解：

（1）原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）；

（2）原式=a（a2-2ab+b2）+

a（a-b）2；

（3）原式=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）.

【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第

（1）

（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解

时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.

变式题先阅读，再分解因式：

x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2+2x+2）（x2-2x-2）.

仿照这种方法把多项式

分解因式.

提示仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解.

解：

=（x4+16x2+64）-16x2=（x2+8）2-（4x）2=（x2+4x+8）（x2-4x+8）

类型之三、基本应用型

例5若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值.

【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x、y，再化简所求代数式后代入求值.

解：

因为x2－4x＋y2－10y＋29=0，

所以（x2－4x+4）

＋（y2－10y＋25）=0，

（x-2）2+（y-5）2=0，

所以x=2，y=5.

x2y2＋2x3y2＋x4y2=x2y2（1+2x+x2）=（xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.

【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.

变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．

提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.

解：

因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，

所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，

x2（x+y）－y2（x+y）=0，

（x2－y2）（x+y）=0，

（x+y）（x-y）（x+y）=0，

（x+y）2（x-y）=0，

又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.

而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.

矩形的面积为49cm2.

答：

矩形的面积为49cm2.

例6若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.

【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=（x+ay+b）（x+cy+d）,再对比系数求得m.

解：

设x2+7xy+my2-5x+43y-24

=（x+ay+b）（x+cy+d）=x2+（a+c）xy+acy2+（b+d）x+（ad+bc）y+bd.

对比多项式的系数得

由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.

（1）当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥

（2）当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦

∴m=-18.

【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力.

变式题已知多项式2x3-x2+m有一个因式（2x+1）,求m的值.

解答：

由已知条件可以设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），

则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b.

对比多项式系数可得

类型之四、思想方法型

1.整体转化思想

例7a、b互为相反数，c、d互为倒数，e的绝对值是2，并且

x=

+2cd+

e2，求9x2+[x（4x-3）-2x（x-3）]的值.

【思路分析】整体确定a+b、cd的值，进而得到x的值，将求值式化简后再代入.

解：

根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，

所以x=

+2cd+

e2=

+2cd+

e2=

+2×1+

×22=2+2=4.

原式=9x2+（4x2-3x-2x2+6x）=11x2+3x=11×42+4×3=6+12=188.

【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.

变式题

（1）已知（a+b）2=144，（a-b）2=36,求ab与a2+b2的值.

（2）设m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.

提示：

本题在解题时要运用整体思想.

解：

（1）已知（a+b）2=144，（a-b）2=36,

a2+2ab+b2=144，a2-2ab+b2=36，

把ab与a2+b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2+b2）=180，即a2+b2=90，

两式相减，得到4ab=108，即ab=27.

答：

ab=27，a2+b2=90.

（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.

∴m3+2m2+2004=m（m2+m）+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.

答：

m3+2m2+2004=2005.

2.数形结合思想

例8在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）

A.（a+b）（a-b）=a2-b2；B.（a+b）2=a2+2ab+b2；

C.（a-b）2=a2-2ab+b2；D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.

【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.

解：

原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.

【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.

变式题如图，利用图形因式分解：

a2+7ab+12b2.

提示：

结合图形寻求答案.

解：

a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.

五、实践型

1.思维实践型

例9多项式9x2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是.（填上一个你认为正确的即可）

【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x2+1+6x=（3x+1）2，或9x2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：

9x2+1+

x4=（

x2+1）2，9x2+1-1=（3x）2，9x2+1-9x2=12.

解：

所加的单项式可以是±6x或

x4或-1或-9x2.

【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.

变式题观察一组式子：

32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，…猜想一下，第n个式子是.

提示：

通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.

解：

观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=9

2，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n个式子中右边的底数为2n（n+1）+1，因此有：

[2n·（n+1）+1]2-[2n（n+1）]2={[2n·（n+1）+1]+[2n（n+1）]}{[2n（n+1）+1]-[2n（n+1）]}=4n2+4n+1=（2n+1）2.

故第n个式子为（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2.

2.动手实践型

例10现有足够的2×2，3×3的正方形和2×3的矩形图片A、B、C（如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.

（1）选取A型、B型两种图片各1块，C型图片2块，拼成一个正方形；

（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；

（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.

【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.

若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.

如

（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：

没在提供的方格图中画）.

（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.

（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.

变式题已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：

用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？

并画出图形.

提示：

根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为

（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2，

显然需要A正方形纸片3张、B正方形纸片2张、C长方形纸片5张，共10张纸片.

解：

需要A正方形纸片3张、B正方形纸片2张、C长方形纸片5张，共10张纸片.画图如图2所示.