北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题.docx
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北师大版数学九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题
北师大版九年级上册第四章图形的相似
知识点归纳及例题
【学习目标】
1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；
2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；
3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；
4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；
5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.
【知识点网络】
【知识点梳理】
要点一、相似图形及比例线段
1．相似图形：
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形（similarfigures）.
知识点诠释：
（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；
2.相似多边形
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形．
知识点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．
（2）相似多边形对应边的比称为相似比.
3.比例线段：
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:
b=c:
d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
知识点诠释：
（1）若a:
b=c:
d，则ad=bc；（d也叫第四比例项）
（2）若a:
b=b:
c，则
=ac（b称为a、c的比例中项）．
4.平行线分线段成比例：
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例.
知识点二、相似三角形
1.相似三角形的判定:
判定方法
（一）：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法
（二）：
两角分别相等的两个三角形相似.
知识点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
知识点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：
三边成比例的两个三角形相似.
2.相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
知识点诠释：
要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
（3）相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质：
（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似多边形的周长比等于相似比．
（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．
知识点三、位似
1.位似图形定义:
如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2.位似图形的性质:
（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
知识点诠释：
（1）位似图形与相似图形的区别：
位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点
为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【典型例题】
类型一、相似图形及比例线段
1.已知:
a:
b:
c=3:
5:
7且2a+3b-c=28,求3a-2b+c的值.
【答案与解析】
∵a:
b:
c=3:
5:
7
设a=3k,b=5k,c=7k
∵2a+3b-c=28
∴6k+15k-7k=28，∴k=2
∴3a-2b+c=9k-10k+7k=6k=12
【总结升华】题目中已知三个量a,b,c的比例关系和有关a,b,c的等式,我们可以利用这个等量关系,通过设参数k,转化成关于k的一元方程,求出k后,使得问题得解.
举一反三
【变式】如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B.
类型二、相似三角形
2.如图所示，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）∠ABC=________，BC=________；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
【答案与解析】
（1）135°，
（2）△ABC和△DEF相似（或△ABC∽△DEF）.
因为
，
，所以
.
又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°，所以△ABC∽△DEF.
【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点，从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度，利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似．
举一反三：
【变式】下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
3.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BC交ED的延长线于点F，连接AE，CF．
求证：
（1）四边形AFCE是平行四边形；
（2）FG•BE=CE•AE．
【答案与解析】
（1）证明：
∵AF∥BC，
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠FDA=∠CDE，D是AC的中点，
∴△ADF≌△EDC，
∴AF=CE，
∵AF∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）证明：
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴∠AFC=∠AEC，AF=CE，
∵AF∥BC，
∴∠FAB=∠ABE，
∴△AFG∽△BEA，
∴
，
∴FG•BE=AF•AE，
∴FG•BE=CE•AE．
【总结升华】此题主要考查了平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质，根据已知得出证明等积式需证明△AFG∽△BEA是解决问题的关键．
4.（2015•宁夏）在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点．连结AE．
（1）若AB=AE，求证：
∠DAE=∠D；
（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：
FA的值．
【答案与解析】
证明：
（1）在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD，
∵AE=AB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠B=∠EAD，
∵∠B=∠D，
∴∠DAE=∠D；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△AFD，
∴
，
∵E为BC的中点，
∴BE=
BC=
AD，
∴EF：
FA=1：
2．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
举一反三
【变式】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：
EC=2：
3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：
S△EBF：
S△ABF=（ ）.
A．2：
5：
25B．4：
9：
25C．2：
3：
5D．4：
10：
25
【答案】D.
5.如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点E与点A，D不重合），且∠BEF=120°，设
，
.
（1）求y与x的函数解析式；
（2）当x为何值时，y有最大值？
最大值是多少？
【答案与解析】
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC，
AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，所以∠A=∠D=120°，
所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.
因为∠BEF=120°，所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°，
所以∠ABE=∠DEF.
所以△ABE∽△DEF，所以
.
因为
，
，所以
，
所以y与x的函数解析式是
.
（2）
，
所以当
时，y有最大值，最大值为
.
【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，以及二次函数的最值问题.
举一反三
【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为x秒，AE的长为y．
（1）求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少?
【答案】
（1）因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，
所以
.
又因为AB=8，AC=6，
，
，
所以
，即
，
自变量x的取值范围为
.
（2）
.
所以当
时，S有最大值，且最大值为6.
类型三、位似
6.将下图中的△ABC作下列变换，画出相应的图形，指出三个顶点的坐标所发生的变化．
（1）沿y轴负方向平移1个单位；
（2）关于x轴对称；
（3）以C点为位似中心，放大到1.5倍．
【答案与解析】
变换后的图形如下图所示．
（1）将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1，
A1（-5，-1），B1（0，2），C1（0，-1）．
即横坐标不变，纵坐标减小．
（2）将△ABC关于x轴对称后，得△A2B2C2，A2（-5，0），B2（0，-3），C2（0，0）．
即横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数．
（3）将△ABC以C点为位似中心，放大到1.5倍得△A3B3C3（有2个三角形），
显然，A3（-5×1.5，0），B3（0，3×1.5），C3（0，0），
即A3（-7.5，0），B3（0，4.5），C3（0，0）,或A3（7.5,0）、B3（0，-4.5）、C3（0,0）.
【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形，再求出变换后图形的点的坐标，
第（3）问可先求变换后图形的点的坐标，但注意此时的位似中心是原点．
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